Basis/Erzeugsys. Polynom 3.Gra < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Im Vektorraum [mm] \Pi_{3} [/mm] der Polynome vom Höchstgrad 3 betrachten wir folgende Polynome:
[mm] p_{1}(x)=1-2x-x^3
[/mm]
[mm] p_{2}(x)=1+x-x^2+2x^3
[/mm]
[mm] p_{3}(x)=1-x+x^2-x^3
[/mm]
[mm] p_{4}(x)=5+x^2+x^3
[/mm]
[mm] p_{5}(x)=1^+2x^2
[/mm]
Entscheiden Sie ob die Folgenden Teilmengen ein, kein Erzeugendensystem oder eine Basis von [mm] \pi_{3} [/mm] bilden.
[mm] \{p_{1},p_{2},p_{3}\}
[/mm]
[mm] \{p_{1},p_{2},p_{3},p_{4}\}
[/mm]
[mm] \{p_{1},p_{2},p_{3},p_{5}\}
[/mm]
[mm] \{p_{1},p_{2},p_{3},p_{4},p_{5}
\} [/mm] |
Hallo.
Die Definitionen die ich über dieses System gefunden habe beziehen sich überwiegend auf Vektorräume, weswegen ich mich Hilfe suchend für Vorschläge und Korrekturen an euch wende.
Die Definition des Erzeugendensystems habe ich so verstanden, dass eine beliebige Teilmenge E im Vektorraum mit K-Körper V ein Erzeugersystem für eine andere Teilmenge W im selben Vektorraum darstellt, falls alle
w [mm] \in [/mm] W durch Linearkombination aus allen e [mm] \in [/mm] E darstellbar ist.
Fragt man nach der Basis von V so sucht man das kleinste Erzeugendensystem für W [mm] \subset [/mm] V [mm] \wedge [/mm] V [mm] \subset [/mm] W [mm] \Leftrightarrow [/mm] W=V, sodass jedes v [mm] \in [/mm] V durch alle e [mm] \in [/mm] E dargestellt werden kann.
Dies sind alle linear unabhängige Vektoren [mm] \in [/mm] E , da diese in Linearkombination alle Vektoren aus V bilden können.
Frage: Wenn ich bspw. als Vektorraum [mm] \IR^3 [/mm] wähle und [mm] E:=\{\pmat{ 1 \\ 0 }\} \subset \IR [/mm] definiere, ist E dann ein Erzeugendensystem?
Denn im Prinzip kann ich aus diesem Vektor jeden eindimensionalen Vektor in eine n-Richtung darstellen.
Damit würde gelten E [mm] \subset [/mm] W [mm] \subset \IR^3.
[/mm]
Irgendwie bezweifle ich das, da somit jeder ein bis dreidimensionale Vektor ein Erzeugendensystem darstellen würde.
Edit:
Meine Überlegungen sind die Folgenden:
1.Die Polynome [mm] p_{1}-p_{5} [/mm] stellen hier -im übertragenen Sinne- Vektoren aus dem Vektorraum dar. ( e [mm] \in [/mm] E [mm] \subset [/mm] V [mm] \Rightleftarrow p_{i} \in [/mm] P [mm] \subset \Pi_{3})
[/mm]
2.Wäre die Vermutung meiner Frage korrekt, so wäre jede Teilmenge mit k Elementen [mm] p_{i} [/mm] ein Erzeugendensystem.
Irgendwas übersehe ich hier..
Über Hilfe würde ich mich freuen.
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:26 Di 24.04.2012 | | Autor: | Stoecki |
> Im Vektorraum [mm]\Pi_{3}[/mm] der Polynome vom Höchstgrad 3
> betrachten wir folgende Polynome:
> [mm]p_{1}(x)=1-2x-x^3[/mm]
> [mm]p_{2}(x)=1+x-x^2+2x^3[/mm]
> [mm]p_{3}(x)=1-x+x^2-x^3[/mm]
> [mm]p_{4}(x)=5+x^2+x^3[/mm]
> [mm]p_{5}(x)=1^+2x^2[/mm]
>
>
> Entscheiden Sie ob die Folgenden Teilmengen ein, kein
> Erzeugendensystem oder eine Basis von [mm]\pi_{3}[/mm] bilden.
> [mm]\{p_{1},p_{2},p_{3}\}[/mm]
> [mm]\{p_{1},p_{2},p_{3},p_{4}\}[/mm]
> [mm]\{p_{1},p_{2},p_{3},p_{5}\}[/mm]
> [mm]\{p_{1},p_{2},p_{3},p_{4},p_{5}
\}[/mm]
>
> Hallo.
>
> Die Definitionen die ich über dieses System gefunden habe
> beziehen sich überwiegend auf Vektorräume, weswegen ich
> mich Hilfe suchend für Vorschläge und Korrekturen an euch
> wende.
>
> Die Definition des Erzeugendensystems habe ich so
> verstanden, dass eine beliebige Teilmenge E im Vektorraum
> mit K-Körper V ein Erzeugersystem für eine andere
> Teilmenge W im selben Vektorraum darstellt, falls alle
> w [mm]\in[/mm] W durch Linearkombination aus allen e [mm]\in[/mm] E
> darstellbar ist.
das ist etwas unglücklich formuliert. ich formuliere es mal um: E heißt erzeugendensystem eines K-Vektorraums V (oder dem Vektorraum V über einem Körper K), wenn für jedes element w [mm] \in [/mm] V eine linearkombination aus den vektoren in E existiert, die diesen vektor w darstellen. (es müssen nicht alle skalare ungleich 0 sein. ergo müssen nicht alle vektoren bei der darstellung eines bestimmten w verwendet werden)
>
> Fragt man nach der Basis von V so sucht man das kleinste
> Erzeugendensystem für W [mm]\subset[/mm] V [mm]\wedge[/mm] V [mm]\subset[/mm] W
> [mm]\Leftrightarrow[/mm] W=V, sodass jedes v [mm]\in[/mm] V durch alle e [mm]\in[/mm]
> E dargestellt werden kann.
> Dies sind alle linear unabhängige Vektoren [mm]\in[/mm] E , da
> diese in Linearkombination alle Vektoren aus V bilden
> können.
>
> Frage: Wenn ich bspw. als Vektorraum [mm]\IR^3[/mm] wähle und
> [mm]E:=\{\pmat{ 1 \\ 0 }\} \subset \IR[/mm] definiere, ist E dann
> ein Erzeugendensystem?
nein, denn [mm] \pmat{ 1 \\ 0 } [/mm] ist kein element von [mm] \IR [/mm] aber wenn du das erzeugendensystem von diesem vektor nimmst ist dieser raum isomorpf zu [mm] \IR. [/mm] d.h. es gibt eine bijektive lineare abbildung zwischen den beiden mengen
> Denn im Prinzip kann ich aus diesem Vektor jeden
> eindimensionalen Vektor in eine n-Richtung darstellen.
schon, aber es sind dennoch verschiedene räume. bei teilmenge würde das element ja auch wirklich zu dem raum gehören. aber die elemente in [mm] \IR [/mm] haben nur eine komponente, nicht zwei
> Damit würde gelten E [mm]\subset[/mm] W [mm]\subset \IR^3.[/mm]
>
> Irgendwie bezweifle ich das, da somit jeder ein bis
> dreidimensionale Vektor ein Erzeugendensystem darstellen
> würde.
>
> Edit:
> Meine Überlegungen sind die Folgenden:
> 1.Die Polynome [mm]p_{1}-p_{5}[/mm] stellen hier -im übertragenen
> Sinne- Vektoren aus dem Vektorraum dar. ( e [mm]\in[/mm] E [mm]\subset[/mm] V
nicht nur im übertragenen sinne... es sind vektoren in [mm] \pi_3
[/mm]
> [mm]\Rightleftarrow p_{i} \in[/mm] P [mm]\subset \Pi_{3})[/mm]
> 2.Wäre die
> Vermutung meiner Frage korrekt, so wäre jede Teilmenge mit
> k Elementen [mm]p_{i}[/mm] ein Erzeugendensystem.
>
damit du ein erzeugendensystem von [mm] \pi_3 [/mm] hast, müssen deine vektoren alle polynome des grades kleiner gleich 3 erzeugen können. damit brauchst du mindestsns 4 vektoren, damit [mm] \pi_3 [/mm] auch wirklich erzeugt wird. brauchst du genau 4 weißt du, dass es auch eine basis ist.
> Irgendwas übersehe ich hier..
>
> Über Hilfe würde ich mich freuen.
> Viele Grüße
ich denke du hast in bezug auf erzeugendensysteme noch etwas nicht verstanden. ein erzeugendensystem ist méine menge von vektoren, mit denen man alle vektoren eines vektorrau´ms darstellen kann. damit ist eine basis ebenfalls ein erzeugendensystem. allerdings ein besonderes. entfernt man aus einer basis einen vektor, ist es eben kein erzeugendensystem mehr, da bestimmte vektoren nicht mehr dargestellt werden können. bei einem erzeugendensystem, das keine basis ist, kann man (mindestsens) einen vektor entfernen, ohne das die eigenschaft erzeugendensystem verloren geht. dieser vektor ist jedoch nicht beliebig. in bezug auf den raum der polynome kannst du dir auch den isomorphen raum [mm] \IR^{4} [/mm] ansehen. stelle dir vor, dass alle koeffizienten vor [mm] x^{0} [/mm] die erste, vor [mm] x^{1} [/mm] die zweite, vor [mm] x^{2} [/mm] die dritte und vor [mm] x^{3} [/mm] die vierte komponente des vektors sind. sind diese vektoren ein erzeugendensysten des [mm] \IR^{4}, [/mm] so sind sie es auch für [mm] \pi_3 [/mm] usw.
hoffe das hilft dir weiter
gruß bernhard
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Hallo und danke für die Antwort.
Ich habe hier noch ein paar Fragen zu und würde mich über Antworten auch weiterhin freuen.
Ich meinte [mm] \vektor{ 1 \\ 0} \in \IR^2. \subset \IR^3.
[/mm]
Demnach ist W ja [mm] \IR^2 [/mm] und [mm] \vektor{1 \\ 0} \in [/mm] E.
Aber alle Vektoren w aus [mm] \IR^2 [/mm] könnte ich nicht durch [mm] \vektor{1 \\0} [/mm] , sondern mit [mm] \vektor{1 \\1} [/mm] darstellen.
[mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] wäre kein Erzeugendensystem , aber [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] schon?
Zu den Polynomen:
Die Polynome sind hier als Funktionen in Abhängigkeit zu x dargestellt.
Vektoren sind aber nicht nur durch Betrag, sondern durch Richtung Betrag und Orientierung angegeben.
Sollen die unabhängige und die abhängige Variable hier Richtungen darstellen?
Viele Grüße und danke
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:07 Di 24.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Ich meinte [mm]\vektor{ 1 \\ 0} \in \IR^2. \subset \IR^3.[/mm]
Warum [mm] $\IR^2\subset\IR^3$? [/mm] Die Elemente von [mm] $\IR^2$ [/mm] sind Paare, die Elemente von [mm] $\IR^3$ [/mm] dagegen Tripel.
> Demnach ist W ja [mm]\IR^2[/mm] und [mm]\vektor{1 \\ 0} \in[/mm] E.
Du suchst also gerade ein Beispiel für ein Erzeugendensystem von [mm] $\IR^2$?
[/mm]
> Aber alle Vektoren w aus [mm]\IR^2[/mm] könnte ich nicht durch
> [mm]\vektor{1 \\0}[/mm] , sondern mit [mm]\vektor{1 \\1}[/mm] darstellen.
Auch mit dem Vektor [mm] $\vektor{1 \\1}$ [/mm] allein könntest du nicht alle Vektoren von [mm] $\IR^2$ [/mm] linear kombinieren. Z.B. [mm] $\vektor{1 \\0}$ [/mm] lässt sich nicht als Linearkombination (also skalares Vielfaches) von [mm] $\vektor{1 \\1}$ [/mm] schreiben.
> [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm] wäre kein Erzeugendensystem , aber
> [mm]\vektor{1 \\ 1}[/mm] schon?
Beide Systeme bilden keine Erzeugendensysteme. Übrigens gilt [mm] $\operatorname{dim}_{\IR}\IR^2=2$, [/mm] also besteht jedes Erzeugendensystem von [mm] $\IR^2$ [/mm] aus mindestens 2 Vektoren.
> Zu den Polynomen:
> Die Polynome sind hier als Funktionen in Abhängigkeit zu
> x dargestellt.
(Ich würde eher von Ausdrücken als von Funktionen sprechen.)
> Vektoren sind aber nicht nur durch Betrag, sondern durch
> Richtung Betrag und Orientierung angegeben.
In beliebigen Vektorräumen haben Vektoren zunächst einmal überhaupt keinen Betrag.
> Sollen die unabhängige und die abhängige Variable hier
> Richtungen darstellen?
Was meinst du mit abhängigen und unabhängigen Variablen? Was soll eine Richtung in einem beliebigen Vektorraum sein?
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Hallo und danke für beide Antworten.
Ich habe die Formalien der Vektorenschreibweise etwas baumeln lassen.
Mir ging es im Prinzip darum, dass auch Vektoren wie [mm] \vektor{1\\1\\0} [/mm] in [mm] \IR^3 [/mm] vorkommen, sprich "zwei-dimensionale" Vektoren (optisch betrachtet).
Zu den Vektorräumen:
Ich habe gedacht, dass die Polynome da sie sich in [mm] \PI_{3} [/mm] befinden drei Raumrichtungen haben, was natürlich nicht sein muss.
Gelesen habe ich also [mm] \Pi^3 [/mm] statt [mm] \Pi_{3}. [/mm]
Daher auch die Frage mit den Raumorientierungen.
Es könnten ja auch Ausdrücke wie z(x,y)=3x+4y gegeben sein, so dass wir in einem Koordsystem bestimmte dreidimensionale Vektoren erhalten würden.
Zur ursprünglichen Aufgabe:
Die Polynome sind also Vektoren im Vektorraum [mm] \Pi_{3}.
[/mm]
Betrachte ich nun eine eine der gegebenen Teilmengen und die darin enthaltenen Elemente sind linear abhängig, so handelt es sich um ein Erzeugersystem?
Kann ich aus einer der gegebenen Teilmengen alle Vektoren aus [mm] \Pi_{3} [/mm] bilden, so habe ich die Basis gefunden? Diese Teilmenge wäre ein System von Vektoren und sind alle Vektoren des Systems linear unabhängig, so kann ich durch Linearkombination dieser Vektoren jeden anderen Vektor in [mm] \Pi_{3} [/mm] darstellen?
Danke für die Geduld, aber wir haben kein Skript zu und die zahlreichen google Links führen mich zur Linearen Algebra 1; sehr interessant, aber nur in meiner Freizeit lesbar :/.
Viele Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:03 Di 24.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Betrachte ich nun eine eine der gegebenen Teilmengen und
> die darin enthaltenen Elemente sind linear abhängig, so
> handelt es sich um ein Erzeugersystem?
Nein. Z.B. $(x,2x)$ ist linear abhängig, aber kein Erzeugendensystem.
> Kann ich aus einer der gegebenen Teilmengen alle Vektoren
> aus [mm]\Pi_{3}[/mm] bilden, so habe ich die Basis gefunden?
So hast du ein Erzeugendensystem gefunden, aber nicht notwendig eine Basis.
Es gibt nicht DIE Basis eines Vektorraumes, sondern viele Basen. Du solltest daher von EINER Basis sprechen.
> Diese
> Teilmenge wäre ein System von Vektoren und sind alle
> Vektoren des Systems linear unabhängig,
Die Frage ist nie, ob die einzelnen Vektoren linear unabhängig sind, sondern ob das System der Vektoren linear unabhängig ist.
> so kann ich durch
> Linearkombination dieser Vektoren jeden anderen Vektor in
> [mm]\Pi_{3}[/mm] darstellen?
Dass kannst du genau dann, wenn du ein Erzeugendensystem vorliegen hast.
Jedes System von Vektoren eines Vektorraumes kannst du auf lineare Unabhängigkeit und auf die Eigenschaft, Erzeugendensystem zu sein, untersuchen. Diese beiden Eigenschaften sind unabhängig voneinander (d.h. aus dem (Nicht-)Vorliegen der einen kannst du nicht auf (Nicht-)Vorliegen des anderen schließen).
Eine Basis ist ein System von Vektoren, dass beide Eigenschaften hat.
Kurz: Basis = linear unabhängiges Erzeugendensystem
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:42 Di 24.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Masseltof,
das Wesentliche hat Bernhard schon geschrieben, nur ein paar kleine Ergänzungen:
> Fragt man nach der einer Basis von V so sucht man das kleinste ein minimales
> Erzeugendensystem für W [mm]\subset[/mm] V [mm]\wedge[/mm] V [mm]\subset[/mm] W [mm]\Leftrightarrow[/mm] W=V V, sodass jedes v [mm]\in[/mm] V durch [mm] $\red($alle\red)$ [/mm] e [mm]\in[/mm]
> E dargestellt werden kann.
> Dies sind alle linear unabhängige Vektoren [mm]\in[/mm] E , da
> diese in Linearkombination alle Vektoren aus V bilden
> können.
Die Formulierung "alle linear unabhängige Vektoren" passt nicht. Linear unabhängig oder linear abhängig ist immer ein System von Vektoren, nicht ein einzelner Vektor.
(Man kann natürlich zu jedem einzelnen Vektor [mm] $v\in [/mm] V$ das System $(v)$ betrachten, dass nur aus dem Vektor $v$ besteht. Es ist für alle [mm] $v\in [/mm] V$ mit [mm] $v\not=0$ [/mm] linear unabhängig. Aber alle [mm] $v\in [/mm] V$ mit [mm] $v\not=0$ [/mm] bilden typischerweise keine Basis von $V$.)
Viele Grüße
Tobias
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Hallo.
Ich habe mir noch einmal die Definitionen durch den Kopf gehen lassen, aber weiß nicht, wie ich nun weiterkommen soll bei den Polynomen.
Warum brauche ich denn 4Vektoren um ein EZS zu erzeugen.
Mein EZS muss ja alle Polynome des Raumes [mm] \PI_{3} [/mm] enthalten.
Die größtmöglichen Polynome des Raumes wären ja Polynome der Darstellung:
[mm] p_{i}=a+x+x^2+x^3
[/mm]
Würde jeder der Vektoren im System nur zu einem Teil zu [mm] a+bx+cx^2+dx^3 [/mm] beitragen also
[mm] p_{i}=a
[/mm]
[mm] p_{i+1}=bx
[/mm]
[mm] p{i+2}=cx^2
[/mm]
[mm] p_{i+3}=dx^3
[/mm]
dann könnte ich nur durch Linearkombination aller gegebenen Polynome(Vektoren) [mm] a+bx+cx^2+dx^3 [/mm] darstellen.
Aber gegeben sind Polynome mit
[mm] p_{1}=1-2x-x^3
[/mm]
Ich weiß, dass ich durch ein Polynom [mm] p_{n}=x^2 [/mm]
nicht alle Polynome vom Typ [mm] p_{i}=a+bx+cx^2+dx^3 [/mm] darstellen könnte, aber woher weiß ich, dass es mindestens vier sein müssen?
Und wenn ich überprüfen möchte ob ein System von Vektoren ein EZS bildet kann wie sollte ich da rangehen?
[mm] \vektor{p_{i} \\ p_{i+1} \\ p_{i+2} \\ p_{i+3}}\cdot \vektor{\lambda_{1}\\ \lambda_{2}\\ \lambda_{3}\\ \ambda_{4}\\}=p_{n}:= a+bx+cx^2+dx^2
[/mm]
D.h ein System von Vektoren multipliziert mit bestimmten Konstanten kann jeden beliebigen Vektor [mm] p_{n} [/mm] ergeben?
Aber wie setze ich das in der Rechnung um?
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:17 Mi 25.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. ist dir klar, warum dein [mm] \Pi_3 [/mm] ein Vektorraum ist?
seine Vektoren haben alle di form [mm] a_0+a_1*x+a_2*x^2+a_3*x^3
[/mm]
sind also durch die vier [mm] a_i [/mm] festgelegt.
Deshalb kann man sie auch durch das Zahlen 4-Tupel [mm] (a_0,a_1,a_2,a_3) [/mm] darstellen dein p1 also als p1=(1,-1,0,-1= [mm] p_5=(1,0,0,2) [/mm] usw.
Damit hast du eine Abbildung von [mm] \Pi_3 [/mm] auf [mm] \IR^4 [/mm] und kannst entsprechend, wie da vorgehen.
(Allerdings nicht mit Skalarprodukt und Betrag, weil man die in jedem VR erst definieren muss, aber die brauchst du ja hier nicht)
Gruss leduart
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Hallo leduart.
Danke für die Antwort.
Ich dachte, dass die Vektoren anders dargestellt werden also
[mm] \vektor{p_{1} \\ p_{2} \\ p_{3}} [/mm] was natürlich schwachsinnig ist.
Also ich fasse kurz zusammen:
1.Alle meine Vektoren in [mm] \Pi_{3} [/mm] sind definiert durch die Form [mm] p_{i}=a_{0}+a_{1}*x+a_{2}*x^2+a_{3}*x^3
[/mm]
2. Um zu überprüfen ob ein System von Vektoren ein EZS bildet, muss ich überprüfen ob das System jeden Vektor aus [mm] \Pi_{3} [/mm] darstellen kann.
[mm] \lambda_{1}*p_{1}(x)+\lambda_{2}*p_{2}(x)+.....\lambda_{i}*p_{k}(i)= a_{0}+a_{1}*x+a_{2}*x^2+a_{3}*x^3
[/mm]
3.Ist die Bedingung für ein EZS gegeben und sind die Vektoren eines Systems linear unabhängig so handelt es sich um eine möglich Base meines Vektorraums.
Für die Teilmenge [mm] \{p_{1}(x),p_{2}(x),p_{3}(x),p_{4}(x)\} [/mm] müsste also
[mm] \lambda_{1}*\vektor{1 \\ -2 \\ 0 \\ 1}+\lambda_{2}*\vektor{1 \\ 1 \\ -1 \\ 2}+ \lambda_{3}*\vektor{1 \\ -1 \\ 1 \\ -1}+ \lambda_{3}*\vektor{5 \\ 0 \\ 2 \\ 1}= \vektor{a_{0} \\ a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3}} [/mm] gelten.
Das müsste ich dann noch auflösen und schauen ob das System Lösungen hat.
Hat es Lösungen so ist es ein EZS.
Edit: Den Vektorbefehl vergessen.
Danke für die Hilfe und Geduld.
Ich werde im Verlauf des Abends meinen Lösungsvorschlag mitteilen.
Viele Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:43 Mi 25.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
richtig gemeint, falsch aufgeschrieben! es lihnt sich seine posts mit Vorschau anzusehen vor dem Abschicken
Gruss leduart
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Guten Abend.
Ich melde mich erneut zu Wort, da ich nicht ganz auf dem Laufenden bin wie ich diese Gleichungen auflösen soll.
Mit Linearen Gleichungssystemen haben wir erst begonnen, sodass ich nicht wirklich weiß, wie ich hiermit rumhantieren muss.
Löse ich die gg. Gleichung auf, so erhalte ich eine Matrix der folgenden Form:
[mm] \pmat{1 & 1& 1&5&a_{0}\\0&1&-2&-4&a_{1}-a_{0}\\0&0&-7&-2&a_{3}+5a_{0}-3a_{1}\\0&0&0&P&P}
[/mm]
P sind hier Ausdrücke welche durch [mm] \bruch{7}{3} [/mm] multipliziert werden müssen.
Ausformuliert wird in der letzten Zeile:
[mm] \bruch{-14}{3}+10=a_{3}-2a_{2}+2a_{0}-\bruch{7}{3}*(a_{2}+5a_{0}-3a_{1}) [/mm]
stehen.
Aber was sagt mir diese Lösung denn genau aus? Ich denke etwas falsch gemacht zu haben oder übersehen zu haben.
Über Hilfe wäre ich dankbar.
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:44 Do 26.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich versteh nicht , was du gemacht hast. du willst doch fesstellen ob es [mm] \lambda_i [/mm] gibt, die dein GS lösen. wo sind die geblieben?
dein zweites [mm] \lambda_3 [/mm] muss noch immer [mm] \lambda_4 [/mm] sein.
die [mm] a_i [/mm] sind einfach beliebige Zahlen.
Weisst du wann ein LGS eie Lösung hat, ohne die lösung auszurechnen?
Gruss leduart
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Hallo leduart.
Zunächst, danke für die Geduld.
Ich kann meine Denkweise gerade selbst nicht nachvollziehen.
Mich hat denke ich mal die Ungeduld gepackt, statt darüber Nachzudenken.
Alle Vorfaktoren vor den gegebenen Vektoren müssten erhalten bleiben, oder?
Ich weiß nicht, wann ein LGS eine Lösung hat, ohne dieses auszurechnen, kann jetzt gerade aber auch irgendwie nicht mehr denken. Ist das etwas, was man aus der Schule kennen müsste?
Da ich eine andere Mathe 1 Vorlesung gehört habe, liege ich einfach 4Wochen an LA zurück, ziemlich bedrückend....
Grüße
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> Hallo leduart.
>
> Zunächst, danke für die Geduld.
>
> Ich kann meine Denkweise gerade selbst nicht
> nachvollziehen.
> Mich hat denke ich mal die Ungeduld gepackt, statt
> darüber Nachzudenken.
> Alle Vorfaktoren vor den gegebenen Vektoren müssten
> erhalten bleiben, oder?
Hallo,
ich weiß nicht, was Du damit meinst.
Du willst die Vorfaktoren [mm] \lambda_i [/mm] ausrechnen, bzw. zumindest wissen, ob es welche gibt, so daß das Polynom [mm] a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3 [/mm] rauskommt.
>
> Ich weiß nicht, wann ein LGS eine Lösung hat, ohne
> dieses auszurechnen, kann jetzt gerade aber auch irgendwie
> nicht mehr denken. Ist das etwas, was man aus der Schule
> kennen müsste?
Kann sein, daß Du es aus der Schule kennst, kann auch nicht sein.
Entweder rechnet Du jetzt die [mm] \lambda_i [/mm] der Reihe nach aus. Natürlich werden sie von den [mm] a_i [/mm] abhängen.
Oder - falls Du solche Kenntnisse bereits nutzen kannst - Du entscheidest anhand der ZSF der Matrix, ob das System lösbar ist:
lösbar <==> Koeffizientenmatrix hat denselben Rang wie erweiterte Koeffizientenmatrix.
Anders ausgedrückt: in ZSF gebracht gibt es keine unwahre Gleichung der Gestalt 0=7 o.ä.
LG Angela
> Da ich eine andere Mathe 1 Vorlesung gehört habe, liege
> ich einfach 4Wochen an LA zurück, ziemlich
> bedrückend....
>
>
> Grüße
>
>
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Hallo und danke für die Antwort.
Ich nenne die lambda einfach mal g,b,c,d.
Also es wird dastehen [mm] g*\vektor{1\\-2\\0\\-1}+b\vektor{1\\1\\-2\\2}+c\vektor{1\\-1\\1\\-1}+d\vektor{5\\0\\2\\1}=\vektor{a_{0}\\a_{1}\\a_{2}\\a_{3}}
[/mm]
In einer Matrix würde ja stehen:
[mm] \pmat{1g&1b&1c&5d&a_{0}\\-2g&1b&-1c&0d&a_{1}\\0g&-1b&1c&2d&a_{2}\\-1g&2b&-1c&1d&a_{3}}
[/mm]
Ich könnte keine Aussage darüber treffen ob das LSG lösbar ist und damit auch nicht ob es ein EZS ist.
Ebenso wenig bei [mm] P_{1},P_{2},P_{3},P_{5}
[/mm]
Nur über [mm] P_{1},P_{2},P_{3},P_{4},P_{5} [/mm] könnte ich die Aussage treffen, dass es ein EZS ist (5 Vektoren im 4Dimensionalen Raum).
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:18 Do 26.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. man lässt in der Matrixschreibweise die zu bestimmenden Variablen erst mal weg.,man weiss ja wo sie stehen!
dann bring die mtrix auf Dreieckform, damit kannst du dann lösen. oder du kannst den Rang der matrix bestimmen, und den der um die [mm] a_i [/mm] erweiterten, wenn die geich sind gibt es eine Lösung. aber so schwer ist es auch nicht einfach nach deinen a,b,c usw aufzulösen.
Dass 5 vektoren ein ES in 4 d erzeugen ist falsch! die könnten ja z.T lin abhängig sein. wenn 4 davon allerdings ein Es sind, dann bilden sie auch eine Basis, und ein 5 ter dazu dann eben ein ES.
3 alleine allerdings können keine basis und kein ES bilden in 4d
Also lös jetzt einfach die 2 Fälle mit 4 Vektoren.
Gruss leduart
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