Basis Ker und Im < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:05 Mo 18.01.2010 | | Autor: | Ultio |
| Aufgabe | Sei [mm] \alpha [/mm] : [mm] \IQ^5 [/mm] --> [mm] \IQ^4 [/mm] die lineare Abbildung mit
[mm] \alpha [/mm] (x) = A * x, mit A= [mm] \pmat{ 1&0&-1&0&2 \\ 1&1&2&0&1 \\ 0&1&1&1&1 \\ 3&0&1&-2&2 }
[/mm]
a)
Bestimmen Sie eine Basis von [mm] Kern(\alpha) [/mm] und eine Basis von [mm] Bild(\alpha) [/mm] und den Rang von [mm] \alpha.
[/mm]
b)
Für welche der folgenden Matrizen [mm] E_i [/mm] gibt es Basen B von [mm] \IQ^5 [/mm] und C von [mm] \IQ^4, [/mm] so dass [mm] M_{B,C}(\alpha) [/mm] = [mm] E_i [/mm] gilt? Geben Sie jeweils solche Basen an, falls möglich.
[mm] E_2 [/mm] = [mm] \pmat{ 1&0&0&0&0 \\ 0&1&0&0&0 \\ 0&0&0&0&0 \\ 0&0&0&0&0 }, [/mm]
[mm] E_3 [/mm] = [mm] \pmat{ 1&0&0&0&0 \\ 0&1&0&0&0 \\ 0&0&1&0&0 \\ 0&0&0&0&0 }, [/mm]
[mm] E_4 [/mm] = [mm] \pmat{ 1&0&0&0&0 \\ 0&1&0&0&0 \\ 0&0&1&0&0 \\ 0&0&0&1&0 }
[/mm]
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Hallo "Matheraumler",
wäre nett ob mir mal einer sagen kann ob das soweit richtig ist, jedenfalls den Aufgabenteil a. Mit dem Aufgabenteil b komme ich irgendwie nicht klar, kann mir mal jemand bitte sagen wie ich so etwas rechne?
Vielen dank im Voraus.
Lsg:
zu a)
[mm] Kern(\alpha) [/mm] = {x [mm] \in \IQ^5 [/mm] mit Ax = 0}
durch Umformungen erhält man:
[mm] \pmat{ 1&0&-1&0&2 \\ 1&1&2&0&1 \\ 0&1&1&1&1 \\ 3&0&1&-2&2 } \rightarrow \pmat{ 1&0&-1&0&2 \\ 0&1&3&0&-1 \\ 0&1&1&1&1 \\ 0&0&4&-2&-4 } \rightarrow \pmat{ 1&0&-1&0&2 \\ 0&1&1&1&1 \\ 0&0&2&-1&-2 \\ 0&0&4&-2&-4 } \rightarrow \pmat{ 1&0&-1&0&2 \\ 0&1&1&1&1 \\ 0&0&2&-1&-2 \\ 0&0&0&0&0 }
[/mm]
[mm] \Rightarrow Rang(\alpha) [/mm] = dim [mm] (Im(\alpha)) [/mm] = 3
[mm] \Rightarrow dim(Ker(\alpha)) [/mm] = 1
Basis von [mm] Ker(\alpha) [/mm] = [mm] {\vektor{0\\-5\\2\\2\\1}}
[/mm]
Eine Basis zu [mm] Im(\alpha) [/mm] erhält man, indem die Basis vom Kern der Abbildung [mm] \alpha [/mm] zu einer von [mm] \IQ^5 [/mm] ergänzt wird und dabei [mm] \alpha [/mm] auf die hinzugezogenen Basisvektoren anwendet.
In diesem Sinne folgt:
ergänzt wird mit [mm] {\vektor{1\\0\\0\\0\\0},\vektor{0\\0\\0\\1\\0},\vektor{0\\0\\0\\0\\1}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] also ist die Basis von [mm] Im(\alpha)
[/mm]
[mm] {\alpha(1,0,0,0,0)^T, \alpha(0,0,0,1,0)^T, \alpha(0,0,0,0,1)^T} [/mm] = [mm] {\vektor{1\\1\\0\\3}, \vektor{0\\0\\1\\-2}, \vektor{2\\1\\1\\2}}
[/mm]
Der Rang von [mm] \alpha [/mm] ist 3.
zu b)
hierbei habe ich nicht so richtig einen Ansatz. Ich weiß, dass die Erste spalte die Koeffizienten der Linearkombination der Basisvektoren von [mm] \IQ^4 [/mm] sind.
Mir fehlt irgendwie die zündende Idee.
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> Sei [mm]\alpha[/mm] : [mm]\IQ^5[/mm] --> [mm]\IQ^4[/mm] die lineare Abbildung mit
> [mm]\alpha[/mm] (x) = A * x, mit A= [mm]\pmat{ 1&0&-1&0&2 \\ 1&1&2&0&1 \\ 0&1&1&1&1 \\ 3&0&1&-2&2 }[/mm]
>
> a)
> Bestimmen Sie eine Basis von [mm]Kern(\alpha)[/mm] und eine Basis
> von [mm]Bild(\alpha)[/mm] und den Rang von [mm]\alpha.[/mm]
>
> b)
> Für welche der folgenden Matrizen [mm]E_i[/mm] gibt es Basen B von
> [mm]\IQ^5[/mm] und C von [mm]\IQ^4,[/mm] so dass [mm]M_{B,C}(\alpha)[/mm] = [mm]E_i[/mm] gilt?
> Geben Sie jeweils solche Basen an, falls möglich.
>
> [mm]E_2[/mm] = [mm]\pmat{ 1&0&0&0&0 \\ 0&1&0&0&0 \\ 0&0&0&0&0 \\ 0&0&0&0&0 },[/mm]
> [mm]E_3[/mm] = [mm]\pmat{ 1&0&0&0&0 \\ 0&1&0&0&0 \\ 0&0&1&0&0 \\ 0&0&0&0&0 },[/mm]
> [mm]E_4[/mm] = [mm]\pmat{ 1&0&0&0&0 \\ 0&1&0&0&0 \\ 0&0&1&0&0 \\ 0&0&0&1&0 }[/mm]
>
> Hallo "Matheraumler",
> wäre nett ob mir mal einer sagen kann ob das soweit
> richtig ist, jedenfalls den Aufgabenteil a. Mit dem
> Aufgabenteil b komme ich irgendwie nicht klar, kann mir mal
> jemand bitte sagen wie ich so etwas rechne?
>
> Vielen dank im Voraus.
> Lsg:
> zu a)
> [mm]Kern(\alpha)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= {x [mm]\in \IQ^5[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
mit Ax = 0}
> durch Umformungen erhält man:
> [mm]\pmat{ 1&0&-1&0&2 \\ 1&1&2&0&1 \\ 0&1&1&1&1 \\ 3&0&1&-2&2 } \rightarrow \pmat{ 1&0&-1&0&2 \\ 0&1&3&0&-1 \\ 0&1&1&1&1 \\ 0&0&4&-2&-4 } \rightarrow \pmat{ 1&0&-1&0&2 \\ 0&1&1&1&1 \\ 0&0&2&-1&-2 \\ 0&0&4&-2&-4 } \rightarrow \pmat{ 1&0&-1&0&2 \\ 0&1&1&1&1 \\ 0&0&2&-1&-2 \\ 0&0&0&0&0 }[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow Rang(\alpha)[/mm] = dim [mm](Im(\alpha))[/mm] = 3
Hallo,
bis hierher richtig.
Welche Formel verwendest Du nun zur Berechnung der Dimension des Kerns?
> [mm]\Rightarrow dim(Ker(\alpha))[/mm] = 1
> Basis von [mm]Ker(\alpha)[/mm] = [mm]{\vektor{0\\-5\\2\\2\\1}}[/mm]
Dein Kern ist falsch bzw. nur die halbe Wahrheit. Die Dimension des Kerns ist nämlich =2.
Die führenden Zeilenelemente stehen in Spalte 1,2,3, Du kannst daher [mm] x_4 [/mm] und [mm] x_5 [/mm] frei wählen.
> Eine Basis zu [mm]Im(\alpha)[/mm] erhält man, indem die Basis vom
> Kern der Abbildung [mm]\alpha[/mm] zu einer von [mm]\IQ^5[/mm] ergänzt wird
> und dabei [mm]\alpha[/mm] auf die hinzugezogenen Basisvektoren
> anwendet.
Daß das Kokolores ist, kannst Du ohne zu rechnen erkennen:
Der Kern ist eine Teilmenge des Startraumes, also [mm] \subseteq \IQ^5, [/mm] das Bild hingegen eine Teilmenge des Zielraumes, also [mm] \subseteq \IQ^4.
[/mm]
Laß uns neu über das Bild nachdenken: die Bilder der Basisvektoren des Startraumes stehen in den Spalten der Matrix.
Also spannen die Spalten das Bild auf, und es gilt, eine max. linear unabhängige Teilmenge herauszufischen.
Auch hierbei hilft die ZSF: die führenden Zeilenelemente sind in der 1,2.,3. Spalte, also sind die 1.,2.,3. Saplte der Ursprungsmatrix (!) eine Basis des Bildes.
> In diesem Sinne folgt:
> ergänzt wird mit
> [mm]{\vektor{1\\0\\0\\0\\0},\vektor{0\\0\\0\\1\\0},\vektor{0\\0\\0\\0\\1}}[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] also ist die Basis von [mm]Im(\alpha)[/mm]
> [mm]{\alpha(1,0,0,0,0)^T, \alpha(0,0,0,1,0)^T, \alpha(0,0,0,0,1)^T}[/mm]
> = [mm]{\vektor{1\\1\\0\\3}, \vektor{0\\0\\1\\-2}, \vektor{2\\1\\1\\2}}[/mm]
>
> Der Rang von [mm]\alpha[/mm] ist 3.
>
> zu b)
> hierbei habe ich nicht so richtig einen Ansatz. Ich weiß,
> dass die Erste spalte die Koeffizienten der
> Linearkombination der Basisvektoren von [mm]\IQ^4[/mm] sind.
> Mir fehlt irgendwie die zündende Idee.
Hier geht es ja daraum, in welche der Matrizen Du die Matrix aus a) durch Basistransformation verwandeln kannst.
Wenn Du Dir klarmachst, daß sich die Dimensionen von Kern und Bild durch Basiswechsel nicht ändern, ist die Antwort leicht.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:55 Mi 20.01.2010 | | Autor: | Ultio |
Danke für die Antwort,
> > Sei [mm]\alpha[/mm] : [mm]\IQ^5[/mm] --> [mm]\IQ^4[/mm] die lineare Abbildung mit
> > [mm]\alpha[/mm] (x) = A * x, mit A= [mm]\pmat{ 1&0&-1&0&2 \\ 1&1&2&0&1 \\ 0&1&1&1&1 \\ 3&0&1&-2&2 }[/mm]
> >
> > a)
> > Bestimmen Sie eine Basis von [mm]Kern(\alpha)[/mm] und eine
> Basis
> > von [mm]Bild(\alpha)[/mm] und den Rang von [mm]\alpha.[/mm]
> >
> > b)
> > Für welche der folgenden Matrizen [mm]E_i[/mm] gibt es Basen B
> von
> > [mm]\IQ^5[/mm] und C von [mm]\IQ^4,[/mm] so dass [mm]M_{B,C}(\alpha)[/mm] = [mm]E_i[/mm] gilt?
> > Geben Sie jeweils solche Basen an, falls möglich.
> >
> > [mm]E_2[/mm] = [mm]\pmat{ 1&0&0&0&0 \\ 0&1&0&0&0 \\ 0&0&0&0&0 \\ 0&0&0&0&0 },[/mm]
> > [mm]E_3[/mm] = [mm]\pmat{ 1&0&0&0&0 \\ 0&1&0&0&0 \\ 0&0&1&0&0 \\ 0&0&0&0&0 },[/mm]
> > [mm]E_4[/mm] = [mm]\pmat{ 1&0&0&0&0 \\ 0&1&0&0&0 \\ 0&0&1&0&0 \\ 0&0&0&1&0 }[/mm]
>
> > Lsg:
> > zu a)
> > [mm][mm] Kern(\alpha) [/mm] = {x [mm] \in \IQ^5 [/mm] mit Ax = 0}[mm]
> > durch Umformungen erhält man:
> > [mm]\pmat{ 1&0&-1&0&2 \\ 1&1&2&0&1 \\ 0&1&1&1&1 \\ 3&0&1&-2&2 } \rightarrow \pmat{ 1&0&-1&0&2 \\ 0&1&3&0&-1 \\ 0&1&1&1&1 \\ 0&0&4&-2&-4 } \rightarrow \pmat{ 1&0&-1&0&2 \\ 0&1&1&1&1 \\ 0&0&2&-1&-2 \\ 0&0&4&-2&-4 } \rightarrow \pmat{ 1&0&-1&0&2 \\ 0&1&1&1&1 \\ 0&0&2&-1&-2 \\ 0&0&0&0&0 }[/mm]
>
> >
> > [mm]\Rightarrow Rang(\alpha)[/mm] = dim [mm](Im(\alpha))[/mm] = 3
>
> Hallo,
>
> bis hierher richtig.
>
> Welche Formel verwendest Du nun zur Berechnung der
> Dimension des Kerns?
[mm] dim(\IQ^5) [/mm] - dim [mm] (Im\alpha) [/mm] = 5 - 3 = 2
Basis von [mm] Ker(\alpha)={\vektor{0\\-5\\2\\2\\1}, \vektor{1\\-3\\1\\2\\0}}
[/mm]
>
> Die führenden Zeilenelemente stehen in Spalte 1,2,3, Du
> kannst daher [mm]x_4[/mm] und [mm]x_5[/mm] frei wählen.
sind die Vektoren jetzt soweit in Ordnung?
> > Eine Basis zu [mm]Im(\alpha)[/mm] erhält man, indem die Basis vom
> > Kern der Abbildung [mm]\alpha[/mm] zu einer von [mm]\IQ^5[/mm] ergänzt wird
> > und dabei [mm]\alpha[/mm] auf die hinzugezogenen Basisvektoren
> > anwendet.
>
> Daß das Kokolores ist, kannst Du ohne zu rechnen
> erkennen:
>
> Der Kern ist eine Teilmenge des Startraumes, also [mm]\subseteq \IQ^5,[/mm]
> das Bild hingegen eine Teilmenge des Zielraumes, also
> [mm]\subseteq \IQ^4.[/mm]
>
> Laß uns neu über das Bild nachdenken: die Bilder der
> Basisvektoren des Startraumes stehen in den Spalten der
> Matrix.
> Also spannen die Spalten das Bild auf, und es gilt, eine
> max. linear unabhängige Teilmenge herauszufischen.
> Auch hierbei hilft die ZSF: die führenden Zeilenelemente
> sind in der 1,2.,3. Spalte, also sind die 1.,2.,3. Saplte
> der Ursprungsmatrix (!) eine Basis des Bildes.
>
> > In diesem Sinne folgt:
> > ergänzt wird mit
> >
> [mm]{\vektor{1\\0\\0\\0\\0},\vektor{0\\0\\0\\1\\0},\vektor{0\\0\\0\\0\\1}}[/mm]
> > [mm]\Rightarrow[/mm] also ist die Basis von [mm]Im(\alpha)[/mm]
> > [mm]{\alpha(1,0,0,0,0)^T, \alpha(0,0,0,1,0)^T, \alpha(0,0,0,0,1)^T}[/mm]
> > = [mm]{\vektor{1\\1\\0\\3}, \vektor{0\\0\\1\\-2}, \vektor{2\\1\\1\\2}}[/mm]
> >
> > Der Rang von [mm]\alpha[/mm] ist 3.
> >
Damit ist doch der Aufgabenteil a gelöst?
> > zu b)
> > hierbei habe ich nicht so richtig einen Ansatz. Ich
> weiß,
> > dass die Erste spalte die Koeffizienten der
> > Linearkombination der Basisvektoren von [mm]\IQ^4[/mm] sind.
> > Mir fehlt irgendwie die zündende Idee.
>
> Hier geht es ja daraum, in welche der Matrizen Du die
> Matrix aus a) durch Basistransformation verwandeln kannst.
> Wenn Du Dir klarmachst, daß sich die Dimensionen von Kern
> und Bild durch Basiswechsel nicht ändern, ist die Antwort
> leicht.
"Vorbetrachtung":
Das ist dann ja wirklich simpel, wenn ich also die Dimension 3 habe sind [mm] E_2 [/mm] und [mm] E_4 [/mm] nicht möglich. [mm] E_3 [/mm] ist natürlich möglich.
also seien [mm] b_i [/mm] die Basis Vektoren in B und und [mm] c_i [/mm] die Basisvektoren in C, dann gilt
[mm] \alpha(b_1) [/mm] = A [mm] b_1 [/mm] = [mm] x_1 [/mm] = 1* [mm] c_1 [/mm] + [mm] 0*c_2 [/mm] + [mm] 0*c_3+0*c_4
[/mm]
[mm] \alpha(b_2) [/mm] = A [mm] b_3 [/mm] = [mm] x_2 [/mm] = 0* [mm] c_1 [/mm] + [mm] 1*c_2 [/mm] + [mm] 0*c_3+0*c_4
[/mm]
[mm] \alpha(b_3) [/mm] = A [mm] b_3 [/mm] = [mm] x_3 [/mm] = 0* [mm] c_1 [/mm] + [mm] 0*c_2 [/mm] + [mm] 1*c_3+0*c_4
[/mm]
[mm] \alpha(b_4) [/mm] = A [mm] b_4 [/mm] = [mm] x_4 [/mm] = 0* [mm] c_1 [/mm] + [mm] 0*c_2 [/mm] + [mm] 0*c_3+0*c_4
[/mm]
[mm] \alpha(b_5) [/mm] = A [mm] b_5 [/mm] = [mm] x_5 [/mm] = 0* [mm] c_1 [/mm] + [mm] 0*c_2 [/mm] + [mm] 0*c_3+0*c_4
[/mm]
[mm] x_4 [/mm] = 0 --> [mm] b_4 [/mm] =0
[mm] x_5 [/mm] = 0 --> [mm] b_5 [/mm] = 0
zur ersten Gleichung
[mm] \alpha(b_1) [/mm] = A [mm] b_1 [/mm] = A= [mm] \pmat{ 1&0&-1&0&2 \\ 1&1&2&0&1 \\ 0&1&1&1&1 \\ 3&0&1&-2&2 } [/mm] * [mm] \vektor{b_{11}\\b_{12}\\b_{13}\\b_{14}\\b_{15}} [/mm]
[mm] =({(b_{1}-b_{2}+b_{5}),\\(b_{1}+b_{2}-2*b_{3}+b_{5}),\\ (b_{2}+b_{3}+b_{4}+b_{5}),\\(3*b_{1}+b_{3}-2*b_{4}+2*b_{5})})^T [/mm] (da er den Vektor nicht darstellen wollte)= [mm] x_1 [/mm] = 1* [mm] c_1 [/mm] + [mm] 0*c_2 [/mm] + [mm] 0*c_3
[/mm]
[mm] \Rightarrow x_1 [/mm] = [mm] c_1, x_2 [/mm] = [mm] c_2, x_3 [/mm] = [mm] c_3
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] B\subseteq \IQ^5
[/mm]
[mm] B={\vektor{1\\0\\-1\\0\\2},\vektor{1\\ 1\\2 \\0 \\1},\vektor{0\\1 \\1 \\1 \\1},\vektor{0\\0 \\0 \\0 \\0},\vektor{0\\ 0\\ 0\\ 0\\0}} [/mm] = [mm] {\vektor{1\\0\\-1\\0\\2},\vektor{1\\ 1\\2 \\0 \\1},\vektor{0\\1 \\1 \\1 \\1}}
[/mm]
[mm] C={\vektor{3\\2 \\1 \\4 },\vektor{1\\ -1\\ 4\\ 6},\vektor{0\\0 \\4 \\1 },\vektor{0\\0 \\ 0\\ 0}} [/mm] = [mm] {\vektor{3\\2 \\1 \\4 },\vektor{1\\ -1\\ 4\\ 6},\vektor{0\\0 \\4 \\1 }}
[/mm]
Ist das in Ordnung? Vielen Dank.
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Hallo,
leider gibt's bei mir Müll, wenn ich das Post zitiere.
Du hast jetzt richtig ausgerechnet, daß die Dimension des Kerns =2 ist.
Die Basis des Kerns stimmt.
Die Basis des Bildes, die Du angibst, stimmt auch, aber der Weg, auf dem Du sie gewonnen hast, ist nicht richtig.
Einen möglichen Weg hatte ich Dir im anderen Post geschildert.
Es ist richtig, daß [mm] E_3 [/mm] die Matrix ist, die bei geeigneter Basiswahl dieselbe Abbildung wie die gegebene repräsentieren kann.
Die von Dir ermittelten basen können schon deshalb nicht stimmen, weil sie zu wenig Elemente enthalten.
[mm] \IQ^5 [/mm] ist doch 5-dimensional und der [mm] \IQ^4 [/mm] hat die Dimension 4.
Schau Dir [mm] E_3 [/mm] mal an und mach Dir klar, daß [mm] b_4 [/mm] und [mm] b_5 [/mm] linear unabhängige Elemente des Kerns sind,
und [mm] c_1, c_2, c_2 [/mm] linear unabhängige Elemente des Bildes.
damit solltest Du weiterkommen.
Gruß v. Angela
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