Basis Kern / Bild einer Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:26 Sa 06.01.2007 | | Autor: | aggy |
| Aufgabe | [mm] A=\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 }
[/mm]
Ermitteln Sie: Kern, Bild, Basis des Kern und Basis des Bild der Matrix A. |
Ich bin bisher von
Kern(A)= [ [mm] \vektor{-1 \\ 2\\-1} [/mm] ]
Bild(A)= [ [mm] \vektor{1 \\ 4\\7};\vektor{2 \\ 5\\8} [/mm] ]
ausgegangen. Wie komm ich denn an die Basen von Bild und Kern?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> [mm]A=\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 }[/mm]
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> Ermitteln Sie: Kern, Bild, Basis des Kern und Basis des
> Bild der Matrix A.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
> Ich bin bisher von
>
> Kern(A)= [ [mm]\vektor{-1 \\ 2\\-1}[/mm] ]
>
> Bild(A)= [ [mm]\vektor{1 \\ 4\\7};\vektor{2 \\ 5\\8}[/mm] ]
Deine eckigen Klammern sollen sicher den Span bzw. erzeugten Unterraum bzw die lineare Hülle andeuten. (?)
Ich habe Deine Vektoren nicht nachgerechnet, ich gehe davon aus, daß sie so richtig sind.
Du hast Deine Basen schon! Der Kern wird erzeugt von [mm] \vektor{-1 \\ 2\\-1}, [/mm] und dieser eine Vektor ist mit Sicherheit linear unabhängig, also eine Basis.
Bild A wird erzeugt von den beiden angegebenen Vektoren. Man sieht auf einen Blick, daß sie unabhängig sind. Also sind sie eine Basis des Bildes.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:08 Sa 06.01.2007 | | Autor: | aggy |
| Aufgabe | [mm] A=\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 }
[/mm]
Ermitteln Sie: Kern, Bild, Basis des Kern und Basis des
Bild der Matrix A. |
Hallo Angela,
zuerst einmal vielen Dank für die schnelle Antwort. Diese deckt sich zudem mit meinen vermutungen.
Ist bei der Aufgaben denn auch folgende Lösung möglich:
[mm] Bild(A)=[\vektor{1 \\ 4\\7};\vektor{2 \\ 5\\8};\vektor{3 \\ 6\\9}]
[/mm]
[mm] Basis_Bild(A)=[\vektor{1 \\ 4\\7};\vektor{2 \\ 5\\8}]
[/mm]
Es ist in der Aufgabenstellung ja beides Gefragt.
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> [mm]A=\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 }[/mm]
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> Ermitteln Sie: Kern, Bild, Basis des Kern und Basis des
> Bild der Matrix A.
> Hallo Angela,
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> zuerst einmal vielen Dank für die schnelle Antwort. Diese
> deckt sich zudem mit meinen vermutungen.
>
> Ist bei der Aufgaben denn auch folgende Lösung möglich:
>
> [mm]Bild(A)=[\vektor{1 \\ 4\\7};\vektor{2 \\ 5\\8};\vektor{3 \\ 6\\9}][/mm]
Ja, das Bild wird von diesen drei Vektoren aufgespannt, und es ist
[mm] [\vektor{1 \\ 4\\7};\vektor{2 \\ 5\\8};\vektor{3 \\ 6\\9}]=<\vektor{1 \\ 4\\7};\vektor{2 \\ 5\\8}>
[/mm]
Diese beiden Räume sind gleich. [mm] (\vektor{1 \\ 4\\7};\vektor{2 \\ 5\\8}) [/mm] ist eine Basis des Bildes.
Guck nochmal nach mit Deinen eckigen Klammern. Wenn die bei Euch den aufgespannten Raum signalisieren, solltest Du nicht die gleichen Klammern für die Angabe einer Basis verwenden.
Im aufgespannten Raum sind ganz viele Vektoren, in der Basis nur "Einzelexemplare", in diesem Falle zwei.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:24 Sa 06.01.2007 | | Autor: | aggy |
Damit wäre die Frage (für mich) abschließend geklärt.
Danke nochmal und schönes (rest-) Wochenende.
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