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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:47 Fr 30.10.2009 | | Autor: | kegel53 |
| Aufgabe | Seien X,Y topologische Räume, [mm] U\subseteq [/mm] X und [mm] V\subseteq [/mm] Y offen.
Zeigen Sie, dass die Mengen [mm] U\times [/mm] V eine Basis der Produkttopologie auf [mm] X\times [/mm] Y liefern. |
Hallo Leute,
also was ich hier doch zeigen muss ist, dass [mm] B:=\{U\times V| U\subseteq X, V\subseteq Y\} [/mm] eine Basis ist, wenn alle offenen Mengen eine Vereinigung von Elementen aus B sind also eine Vereinigung der Mengen [mm] U\times [/mm] V. Soweit so gut. Aber wie mach ich dann weiter? Es würd mir echt schon reichen, wenn mir jemand einen Schubs in die richtige Richtung gibt. Besten Dank schon mal.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:32 Fr 30.10.2009 | | Autor: | pelzig |
Wie habt ihr denn die Produkttopologie definiert?
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:46 Fr 30.10.2009 | | Autor: | kegel53 |
Die Produkttopologie war wie folgt definiert:
Seien [mm] X_1 [/mm] und [mm] X_2 [/mm] topologische Räume und [mm] X:=X_1\times X_2 [/mm] ihr kartesisches Produkt sowie [mm] \pi_i: X-->X_i
[/mm]
die kanonische Projektion mit [mm] \pi(x_1,x_2)=x_i [/mm] für i=1,2.
Sei weiter [mm] A=\{\pi_i^{-1}(U_i)\subseteq X: U_i\subseteq X_i \text{ offen für i=1,2}\}
[/mm]
Dann nennen wir die von A erzeugte Topologie die Produkttopologie auf X.
Wär echt klasse, wenn du an Tipp für mich hättest wie ich des zeigen kann!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:01 Fr 30.10.2009 | | Autor: | pelzig |
Ok d.h. ihr habt die Produkttopologie [mm] $\mathcal{T}$ [/mm] definiert als "die gröbste Topologie, bzgl. derer die natürlichen Projektionen [mm] $\pi_i$ [/mm] stetig sind". Nun sollst du zeigen, dass die Menge [mm] $B:=\{U\times V\mid U\text{ offen in }X_1\text{ und }V\text{ offen in }X_2\}$ [/mm] eine Basis von [mm] $\mathcal{T}$ [/mm] ist, d.h. Jedes [mm] $\matcal{O}\in\mathcal{T}$ [/mm] lässt sich schreiben als Vereinigung von Mengen aus B. Ich würde das wie folgt machen:
1) Zeige, dass [mm] $B\subset\mathcal{T}$ [/mm] ist.
2) Zeige, dass die Menge der Vereinigungen von Mengen aus B, [mm] $$\mathcal{T}^\star:=\left\{\bigcup_{i\in I}B_i\mid B_i\in B\forall i\in I\right\}$$ [/mm] bereits eine Topologie ist.
Daraus folgt dann [mm] $\mathcal{T}=\mathcal{T}^\star$ [/mm] (warum?).
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:55 Mo 02.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Hey vielen Dank für die tolle Antwort. Ich tu mich aber im Moment noch etwas schwer damit zu zeigen, dass [mm] B\subseteq\mathcal{T}. [/mm] Irgendwie bin ich durch die Definition der Produkttopologie etwas verwirrt. Wie mach ich das? Ein Element aus B wählen und dann zeigen , dass es in der von A erzeugten Topologie drin ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:42 Mo 02.11.2009 | | Autor: | pelzig |
Naja wie gesagt: [mm] \mathcal{T} [/mm] ist die gröbste Topologie auf [mm] $X\times [/mm] Y$, sodass die Projektionen [mm] $\pi_i$ [/mm] stetig sind (was heißt stetig bei topologischen Räumen?). Um [mm] $B\subset\mathcal{T}$ [/mm] zu zeigen, musst du also beweisen dass wenn die [mm] $\pi_i$ [/mm] stetig sein sollen, dann müssen mindestens alle Mengen der Form [mm] $U\times [/mm] V$ mit $U$ offen in $X$ und $V$ offen in $Y$, in [mm] $\mathcal{T}$ [/mm] enthalten sein. Nur so als Tip: Was ist [mm] $\pi_1^{-1}(U)$? [/mm] Was ist [mm] $\pi_2^{-1}(V)$? [/mm]
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:36 Di 03.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Also [mm] \pi_1^{-1}(U) [/mm] und [mm] \pi_2^{-1}(V) [/mm] sind eben Urbilder offener Mengen und durch die Stetigkeit von [mm] \pi [/mm] somit offene Mengen in [mm] X\times [/mm] Y. Ich versteh aber immer noch nich wie mir das beim Beweis, dass [mm] B\subseteq \mathcal{T} [/mm] ist, weiterhilft. Wie komm ich mit deinem Tip zur gewünschten Aussage?? Könntest du das nochmal genauer sagen? Danke schon mal.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:06 Di 03.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Kann es sein, dass [mm] \pi_1^{-1}(U)\cap \pi_2^{-1}(V)=U\times [/mm] V gilt. Dann hätte ich Mengen der Form [mm] U\times [/mm] V dargestellt als eine Menge aus der Produkttopologie wordurch dann [mm] U\times V\in \mathcal{T}. [/mm] Stimmt das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:08 Di 03.11.2009 | | Autor: | pelzig |
> Kann es sein, dass [mm]\pi_1^{-1}(U)\cap \pi_2^{-1}(V)=U\times V[/mm] gilt?
Bingo.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:57 Di 03.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Okay sehr gut dann stimmt das also schon mal. Das Problem is ich hab mir das jetzt quasi hergeleitet anhand einem anschaulichen Bild und muss das ja jetzt noch zeigen nur wie mach ich das? Ich mein warum gilt die Beziehung [mm] \pi_1^{-1}(U)\cap \pi_2^{-1}(V)=U\times [/mm] V denn? Wie zeig ich das formal und nicht mit einem Bildchen?
Und unser Tutor meinte wir sollen dann nachdem wir geziegt haben [mm] B\subset \mathcal{T} [/mm] auch noch die andere Inklusion zeigen also [mm] \mathcal{T}\subset [/mm] B. Ist die Variante, die du vorgeschlagen hast nun besser oder doch die von meinem Tutor? Besten Dank für die Hilfe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:14 Di 03.11.2009 | | Autor: | pelzig |
> Okay sehr gut dann stimmt das also schon mal. Das Problem
> is ich hab mir das jetzt quasi hergeleitet anhand einem
> anschaulichen Bild und muss das ja jetzt noch zeigen nur
> wie mach ich das? Ich mein warum gilt die Beziehung
> [mm]\pi_1^{-1}(U)\cap \pi_2^{-1}(V)=U\times[/mm] V denn? Wie zeig
> ich das formal und nicht mit einem Bildchen?
Richtig, Bildchen sind keine Beweise. Naja, schau dir doch mal an wie [mm] $\pi_i$ [/mm] definiert ist. Und dann überlege mal was [mm] $\pi_1^{-a}(U)$ [/mm] ist, d.h. welche Punkte aus [mm] $X\times [/mm] Y$ werden von [mm] $\pi_1$ [/mm] in die Menge [mm] $U\subset [/mm] X$ abgebildet? Das ist nich so schwer...
> Und unser Tutor meinte wir sollen dann nachdem wir geziegt
> haben [mm]B\subset \mathcal{T}[/mm] auch noch die andere Inklusion
> zeigen also [mm]\mathcal{T}\subset[/mm] B. Ist die Variante, die du
> vorgeschlagen hast nun besser oder doch die von meinem Tutor?
Also wahrscheinich verdrehst du jetzt was oder dein Tutor hat Mist erzählt. Es gilt nämlich gar nicht [mm] $\mathcal{T}\subset [/mm] B$. Schon anschaulich: In B liegen nur "offene Quader", aber [mm] $\mathcal{T}$ [/mm] hat viel mehr Mengen, z.B. wenn ich zwei nichtdisjunkte offene Quader vereinige, ist das kein offener Quader mehr.
Was du noch zeigen musst, ist dass diese Menge [mm] $\mathcal{T}^\star$ [/mm] die ich dir oben definiert habe bereits eine Topologie ist. Denn wenn B eine Basis von [mm] $\mathcal{T}$ [/mm] sein soll, dann muss [mm] $\mathcal{T}$ [/mm] ja genau [mm] $\mathcal{T}^\star$ [/mm] sein, das ist die Definition einer Basis.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:48 Di 03.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Okay also auf ein neues. Es ist doch [mm] \pi_1^{-1}(U)=U\times [/mm] Y sowie [mm] \pi_2^{-1}(V)=X\times [/mm] V. So wie komm ich nun auf [mm] \pi_1^{-1}(U)\cap \pi_2^{-1}(V)=U\times [/mm] V ?? Das leuchtet mir immer noch nich so ganz ein.
Gut wenn ich das dann mal hab, dann muss noch die Topologie-Axiome von [mm] \mathcal{T^\star} [/mm] prüfen also sprich:
a) [mm] \bigcup_{j\in J} \bigcup_{i\in I}B_i \in \mathcal{T^\star} [/mm]
b) [mm] \bigcap_{n=1}^{k} \bigcup_{i\in I}B_i \in \mathcal{T^\star} [/mm] für [mm] k\in \IN
[/mm]
c) [mm] \emptyset, X\times [/mm] Y [mm] \in \mathcal{T^\star}
[/mm]
Richtig so? Dank dir.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:57 Mi 04.11.2009 | | Autor: | pelzig |
> Okay also auf ein neues. Es ist doch [mm]\pi_1^{-1}(U)=U\times[/mm]
> Y sowie [mm]\pi_2^{-1}(V)=X\times[/mm] V. So wie komm ich nun auf
> [mm]\pi_1^{-1}(U)\cap \pi_2^{-1}(V)=U\times[/mm] V ?? Das leuchtet
> mir immer noch nich so ganz ein.
[mm] $(x,y)\in\pi_1^{-1}(U)\cap\pi_2^{-1}(V)\gdw x\in (U\times Y)\cap (X\times V)\gdw x\in U\wedge y\in Y\wedge x\in X\wedge y\in Y\gdw x\in U\wedge y\in [/mm] V$
> Gut wenn ich das dann mal hab, dann muss noch die
> Topologie-Axiome von [mm]\mathcal{T^\star}[/mm] prüfen also
> sprich:
> a) [mm]\bigcup_{j\in J} \bigcup_{i\in I}B_i \in \mathcal{T^\star}[/mm]
> b) [mm]\bigcap_{n=1}^{k} \bigcup_{i\in I}B_i \in \mathcal{T^\star}[/mm]
> für [mm]k\in \IN[/mm]
> c) [mm]\emptyset, X\times[/mm] Y [mm]\in \mathcal{T^\star}[/mm]
Richtig. Bei b) genügt es übrigens den Fall $k=2$ zu betrachten, der Rest folgt induktiv. Es genügt sogar zu zeigen, dass zu je zwei Elementen [mm] $B_1,B_2\in\mathcal{B}$ [/mm] und jedem [mm] $x\in B_1\cap B_2$ [/mm] ein Element [mm] $B_3\in\mathcal{B}$ [/mm] gibt sodass [mm] $x\in B_3\subset B_1\cap B_2$ [/mm] (warum?).
Gruß, Robert
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:15 Mi 04.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Okay dann nochmals vielen Dank für die Hilfe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:41 Di 03.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Ich will wirklich nicht drängen, weil alle hier ja freiwillig helfen und es auch schon spät is. Aber ich muss die Aufgabe morgen abgeben und es wär echt wahnsinnig nett, wenn jemand noch kurz seinen Senf dazu abgeben könnt und mir helfen würd sie zu lösen. Danke.
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