Basis, Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:32 Mi 01.12.2004 | | Autor: | destiny |
Hallo!
Könnt ihr mir bitte helfen, diese Aufgabe zu lösen?
Aufgabe:
Sei M eine nichtleere Menge, und sei K ein Körper.
Weiter sei V = { f : M [mm] \to [/mm] K | f(x) [mm] \not= [/mm] 0 für höchstens endlich viele x [mm] \in [/mm] M}
Für f, g [mm] \in [/mm] V und [mm] \alpha \in [/mm] K definieren wir f + g [mm] \in [/mm] V und [mm] \alpha [/mm] f [mm] \in [/mm] V durch:
(f + g) (x) = f(x) + g(x) für x [mm] \in [/mm] M.
[mm] (\alpha [/mm] f) (x) = [mm] \alpha [/mm] f(x) für x [mm] \in [/mm] M.
(a) Zeige, dass (V, +, [mm] \circ) [/mm] ein K-Vektorraum ist.
(b) Gebe eine Basis B von V konkret an, und beweise, dass B eine Basis ist.
Wie beweise ich diese zwei Punkte? Dann hätte ich noch eine Frage:
V ist doch eine Menge, oder? Was bedeutet denn:
V = { f : M [mm] \to [/mm] K | f(x) [mm] \not= [/mm] 0 für höchstens endlich viele x [mm] \in [/mm] M}.
Das verstehe ich nicht ganz.
Danke für eure Hilfe!
Destiny
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:55 Mi 01.12.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo destiny!
Also, ich weiß glaube ich, was dein V bedeutet, ich hoffe, ich kann es erklären...
Deine Menge V besteht ja aus Funktionen f. Und diese Funktionen können gleich Null sein für gewisse x-Werte. Und die Menge V enthält nur solche Funktionen f, bei denen nicht für alle x-Werte ein Wert [mm] \not= [/mm] 0 existiert. Wenn also für jedes x eine Zahl, die nicht 0 ist, rauskommt, so ist dieses f nicht in V. Das heißt im Prinzip, dass die Funktion an sehr vielen Stellen =0 ist.
Ich hoffe, ich habe mich hier jetzt nicht vertan und vielleicht kann man es auch noch einfacher formulieren. Ich habe mich eben strikt an die Definition gehalten.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
|
|
|
| |
|
Hi!
a) Du musst nur die Vektorraum Axiome überprüfen. Dabei folgen die Distributivität, Assoziativität und Kommutativität (bzgl +) ja schon direkt aus den angegebenen Definitionen für die Rechenoperationen.
Fehlen also nur noch:
Nullelement 0: [mm] \forall f\in [/mm] V: 0+f=f=f+0 (ist einfach die konstante Nullfunktion)
Add.-Inv.: [mm] \forall f\in V\exists g\in [/mm] V: f+g=0 (g:=-f)
Einselement der Mult.: ist einfach die 1.
b) das erste was mir als Basis einfällt ist [mm] B=\left(f_a\in V | f_a(x)=\begin{cases} 1, & x=a \\ 0, & x\not= a\end{cases}, a\in M\right)
[/mm]
Die lineare Unabhängigkeit ist damit auch klar. Bleibt nur zu zeigen, dass B V aufspannt.
Sei [mm] f\in [/mm] V bel., dann gibt es endlich viele Elemente [mm] x_1, [/mm] ... [mm] ,x_n\in [/mm] M, so dass [mm] f(x_i)\not=0 [/mm] und f(x)=0, für [mm] x\not=x_i, [/mm] i=1,...,n. Setze [mm] a_i=f(x_i). [/mm] Dann ist [mm] f=\sum_{i=1}^na_if_{x_i}
[/mm]
mfg Verena
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:54 So 05.12.2004 | | Autor: | destiny |
Hallo, Verena!
Erstmal danke für die Antwort!
Ich hätte da eine Frage zu deiner Antwort!
Warum ist klar, dass bei b deine angegeben Basis linear unabhängig ist? das verstehe ich nicht ganz. woran sieht man das?
Und warum hast du [mm] a_{i} [/mm] = f( [mm] x_{i}) [/mm] gesetzt?
dieses f= [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] ... ist das die basis?
danke für deine hilfe!
Destiny
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:57 Mo 06.12.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo destiny!
Ich beziehe mich bei der Beantwortung deiner Nachfragen unmittelbar auf Verenas (wie gewohnt perfekte  ) Antwort.
> Warum ist klar, dass bei b deine angegeben Basis linear
> unabhängig ist? das verstehe ich nicht ganz. woran sieht
> man das?
Sei [mm] $f_{x_1},\ldots,f_{x_n}$ [/mm] eine endliche Teilfamilie und [mm] $\lambda_1,\ldots,\lambda_n \in \IK$ [/mm] mit
(*) $0 = [mm] \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i f_{x_i}$.
[/mm]
Dann ist zu zeigen:
[mm] $\lambda_i=0$ [/mm] für alle [mm] $i=1,\ldots,n$.
[/mm]
Auf beiden Seiten von (*) stehen aber Funktionen (links die Nullfunktion). Setzen wir auf beiden Seite [mm] $x_i$ [/mm] ein, so erhalten wir:
$0 = [mm] 0(x_i) [/mm] = [mm] \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i f_{x_i}(x_i) [/mm] = [mm] \lamba_i$,
[/mm]
denn
[mm] $f_{x_j}(x_i) [/mm] = [mm] \left\{ \begin{array}{ccc} 1 & , & i=j,\\[5pt] 0 & , & \mbox{sonst}. \end{array} \right..$
[/mm]
Das war zu zeigen.
> Und warum hast du [mm]a_{i}[/mm] = f( [mm]x_{i})[/mm] gesetzt?
Damit
$f = [mm] \sum\limits_{i=1}^n a_i f_{x_i}$
[/mm]
gilt.
Denn für alle $x [mm] \in [/mm] M [mm] \setminus \{x_1,\ldots,x_n\}$ [/mm] gilt sowieso:
$f(x) = 0$ und [mm] $f_{x_i}(x)=0$ [/mm] für alle [mm] $i=1,\ldots,n$,
[/mm]
d.h. auf beiden Seiten steht $0$, und für [mm] $x_i$ [/mm] gilt:
[mm] $f(x_i) [/mm] = [mm] \sum\limits_{i=1}^n a_i f_{x_i}(x_i) [/mm] = [mm] a_i$.
[/mm]
Und damit beide Seiten gleich sind, muss man halt [mm] $a_i=f(x_i)$ [/mm] setzen. Man hätte natürlich auch direkt:
$f = [mm] \sum\limits_{i=1}^n f(x_i) f_{x_i}$
[/mm]
setzen können und zeigen können, dass beide Seiten gleich sind. Aber um deutlich zu machen, dass [mm] $\sum\limits_{i=1}^n a_i f_{x_i}$ [/mm] eine Linearkombination ist, ist die Einführung der [mm] $a_i$ [/mm] didaktisch schon sinnvoll.
> dieses $f= [mm] \sum\limits_{i=1}^n$ [/mm] ... ist das die basis?
Nein, die Basis besteht aus den Funktionen [mm] $f_x$, [/mm] $x [mm] \in [/mm] M$, die Verena angegeben hat.
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:31 Do 09.12.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo bebi alias destiny alias ...?!
Wir wollen nicht, dass Mitglieder sich mehrere Accounts besorgen und über diese hier ihre gesamten Übungszettel lösen lassen. Daher machen wir jetzt folgendes: Du sagst uns bitte bis morgen abend, welche Accounts wir von dir löschen können und welcher (als einziger!) bestehen bleibt. Sollte keine Reaktion von dir erfolgen, werden eben alle Accounts von dir gelöscht, die sich anhand deiner IP oder sonstigen Indizien identifizieren lassen. Ich lasse mich hier nur ungerne verarschen. Leute wie du vermiesen uns das Forum und zerstören die Grundideen des "Sich-gegenseitig-Helfens" sowie der "Hilfe zur Selbsthilfe".
Viele Grüße
Stefan
|
|
|
|
