Basis als Menge gegeben < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
"V sei der reelle Vektorraum der Polynome mit einer Variablen X vom Grad <= 2 mit reellen Koeffizienten. Zeigen Sie: Die Menge B := [mm] \left\{ 1, x, x^2 \right\} [/mm] ist eine Basis von V."
Dazu muss man zeigen, dass die Vektoren linear-unabhängig sind. Sind mit dieser Mengenschreibweise die Vektoren
(1)
(0)
(0)
(0)
(x)
(0)
und
(0)
(0)
[mm] (x^2)
[/mm]
gemeint?
Chris.
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Bin mir nicht sicher, aber, wenn du sie überhaupt noch umschreiben willst, würde ich es eher mit (1,0,0), (0,1,0) und (0,0,1) versuchen, den deine Elemente sehen ja folgendermaßen aus: [mm] \summe_{i=0}^{2}a_ix^{i}, [/mm] also [mm] a_0x^{0}+a_1x^{1}+a_2x^{2}. [/mm] Ich bin mir aber nicht sicher, lass das also lieber noch einmal überprüfen.
Gruß, San
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Hi,
> Bin mir nicht sicher, aber, wenn du sie überhaupt noch
> umschreiben willst, würde ich es eher mit (1,0,0), (0,1,0)
> und (0,0,1) versuchen,
danke für deine Antwort, aber was wäre denn die Alternative zum Umschreiben? Man braucht doch Vektoren und wenn diese dann linear-unabhängig sind, sind die eine Basis in diesem Vektorraum, oder nicht?
Chris
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:05 So 08.05.2005 | | Autor: | SEcki |
San hatte doch keinen wirklichen Fehler im Post?
> danke für deine Antwort, aber was wäre denn die Alternative
> zum Umschreiben?
Nicht umschreiben? Was soll das denn bringen?
> Man braucht doch Vektoren
... welche nicht durch eine Schreibweise charaktisiert sind.
> und wenn diese
> dann linear-unabhängig sind, sind die eine Basis in diesem
> Vektorraum, oder nicht?
Falsch. Das mach dir mal im [mm]\IR^3[/mm] selber klar. Was müssen sie noch sein?
SEcki
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> San hatte doch keinen wirklichen Fehler im Post?
Das habe ich auch nicht behauptet. Inzwischen steht "Antwort fertig" da. In der History von meiner ersten Frage hat Stefan die Antwort wohl auf "10:49 (Frage) teilw. beantwortet" gesetzt, keine Ahnung ob das damit zu tun hatte. (Falls ich es doch war war's ein Versehen, Entschuldigung).
> > danke für deine Antwort, aber was wäre denn die Alternative
> > zum Umschreiben?
>
> Nicht umschreiben? Was soll das denn bringen?
Ja, Gegenfragen helfen mir jetzt aber auch nix.
> > Man braucht doch Vektoren
>
> ... welche nicht durch eine Schreibweise charaktisiert
> sind.
>
> > und wenn diese
> > dann linear-unabhängig sind, sind die eine Basis in diesem
> > Vektorraum, oder nicht?
>
> Falsch. Das mach dir mal im [mm]\IR^3[/mm] selber klar. Was müssen
> sie noch sein?
Normiert!?
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Nein, das nicht, da du sie ja ganz einfach beliebig mit Körperelementen multiplizieren kannst. Was wichtig ist, dass sie auch wirklich deinen ganzen Raum erzeugen. Das ist, was du zusätzlich zur linearen Unabhängigkeit noch zeigen musst.
San
PS: Äh, habe ehrlich gesagt selbst die Antwort auf fehlerhaft gesetzt, weil ich mir eigentlich überhaupt nicht sicher war. Bin aber noch einmal in mich gegangen und habe die Sache gründlich überdacht;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:19 So 08.05.2005 | | Autor: | chris2000 |
> Nein, das nicht, da du sie ja ganz einfach beliebig mit
> Körperelementen multiplizieren kannst. Was wichtig ist,
> dass sie auch wirklich deinen ganzen Raum erzeugen. Das
> ist, was du zusätzlich zur linearen Unabhängigkeit noch
> zeigen musst.
Keine Ahnung wie das gehen soll.
> PS: Äh, habe ehrlich gesagt selbst die Antwort auf
> fehlerhaft gesetzt, weil ich mir eigentlich überhaupt nicht
> sicher war. Bin aber noch einmal in mich gegangen und habe
> die Sache gründlich überdacht;)
Ok, dann nehme ich (1,0,0), (0,1,0) und (0,0,1).
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:31 So 08.05.2005 | | Autor: | Sanshine |
Du nimmst dir ganz einfach ein beliebiges Element aus dem Raum und zeigst, dass du es mit deinen Vektoren ausdrücken kannst. Dein Element hat dann die Form eines Polynom höchstens 2. GRades, also in etwa sei y [mm] \in [/mm] V. Dann existieren a,b,c [mm] \in [/mm] K mit [mm] y=ax^{0}+bx+cx^{2}.
[/mm]
So. Jetzt zu zeigen, dass y von deinen Vektoren erzeugt werden dürfte ein leichtes sein.
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Du kannst auch so mit 1, x und [mm] x^{2} [/mm] arbeiten. Da du aus einem Körperelemet mittels Multiplikation mit einem Körperelement wohl kaum x oder [mm] x^{2} [/mm] erhalten wirst. Dasselbe gilt entsprechend für x und [mm] x^{2}. [/mm] Das Umschreiben verwirrt meiner Meinung nach nur.
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Hi,
> Du kannst auch so mit 1, x und [mm]x^{2}[/mm] arbeiten. Da du aus
> einem Körperelemet mittels Multiplikation mit einem
> Körperelement wohl kaum x oder [mm]x^{2}[/mm] erhalten wirst.
> Dasselbe gilt entsprechend für x und [mm]x^{2}.[/mm] Das Umschreiben
> verwirrt meiner Meinung nach nur.
Sorry wenn ich mich blöd anstelle, aber ich hab keine Ahnung was Körper und Körperelemente sind. Was meinst du jetzt mit "mit 1, x, und x² arbeiten"?
Nochmal langsam: Wenn ich zeigen soll dass 3 Vektoren linear unabhängig sind, brauche ich 3 Vektoren. Ich hätte das jetzt so gemacht, wie wenn 3 Vektoren mit ganz normalen Zahlen gegeben gewesen wären. Also:
[mm] a \vektor{1 \\ 0 \\ 0} + b \vektor{0 \\ x \\ 0} + c \vektor{0 \\ 0 \\ x^{2}} = 0 [/mm]
Dieses LGS hat jetzt ja wohl keine andere Lsg. als a=0, b=0 und c=0, d.h. die Vektoren sind linear unabhängig.
Geht das so, oder nicht? Und wenn nicht, warum nicht und wie dann?
Das war eigentlich meine Ausgangsfrage, habe ich wohl nicht ausführlich genug geschrieben, sorry.
Chris
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Doch, das hatte ich schon verstanden, ich finde es nur sonderbar, das x bzw [mm] x^{2} [/mm] mit in den Vektor zu nehmen, weiß auch nicht warum. Was ich nur sagen möchte, ist, dass du dir diese ganze Umdenkerei sparen kannst, und es schreiben kannst als [mm] a*1+b*x+c*x^{2}=0. [/mm] Damit kommst du genausogut zum Ziel, weil auch schon daraus folgen muss, dass a,b,c=0 sein müssen. Denn a,b,c sind Körperelemente (Elemente aus dem Körper K über dem du deinen VR K[x] erzeugt hast. Wahrscheinlich ist das hier [mm] \IR[x], [/mm] also [mm] \IR?) [/mm] und 1 x und [mm] x^{2} [/mm] lassen sich nicht durch die Multiplikation von einfachen Elementen aus [mm] \IR [/mm] so "hinbasteln", dass du sie addieren kannst. Sry, weiß nicht, wie ich es ausdrücken soll.
San
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:58 So 08.05.2005 | | Autor: | chris2000 |
Ok, dann ist alles klar. Danke nochmal.
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