Basis auf Eigenvektoren < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:16 Di 14.05.2013 | | Autor: | Physy |
Hat man eine lineare Abbildung f von einem Vektorraum V nach V (also einen Endomorphismus), so sehe ich ständig, dass, wenn man eine Basis aus Eigenvektoren hat, dann die Darstellungsmatrix eine Diagonalmatrix mit den Eigenvektoren auf der Diagonalen ist. Aber wieso stehen die Eigenwerte nur auf der Diagonalen? Kann mir das jemand erklären?
Das heißt, wenn [mm] k_{i} [/mm] Eigenwert zum Eigenvektor [mm] v_{i} [/mm] ist, mit i=1,...,n und n = dim(V), dann hat die Darstellungsmatrix ja die Form [mm] (f(v_{1}),...,f(v_{n}))=(k_{1}*v_{1},...,k_{n}*v_{n}). [/mm] Aber wo kommen nun die Nullen her und wohin verschwinden die v's?
Viele Grüße und danke :)
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> Hat man eine lineare Abbildung f von einem Vektorraum V
> nach V (also einen Endomorphismus), so sehe ich ständig,
> dass, wenn man eine Basis aus Eigenvektoren hat, dann die
> Darstellungsmatrix eine Diagonalmatrix mit den
> Eigenvektoren auf der Diagonalen ist. Aber wieso stehen die
> Eigenwerte nur auf der Diagonalen? Kann mir das jemand
> erklären?
>
> Das heißt, wenn [mm]k_{i}[/mm] Eigenwert zum Eigenvektor [mm]v_{i}[/mm] ist,
> mit i=1,...,n und n = dim(V), dann hat die
> Darstellungsmatrix ja die Form
> [mm](f(v_{1}),...,f(v_{n}))=(k_{1}*v_{1},...,k_{n}*v_{n}).[/mm] Aber
> wo kommen nun die Nullen her und wohin verschwinden die
> v's?
Hallo,
eigentlich sagst Du schon fast alles selbst.
[mm] f(v_1)=k_1*v_1=k_1v_1+0*v_2+0*v_3+...+0*v_n
[/mm]
Dies muß nun als Koordinatenvektor bzgl der Basis [mm] B:=(v_1,v_2,...,v_n) [/mm] geschrieben werden:
[mm] ...=\vektor{k_1\\0\\0\\\vdots\\0}.
[/mm]
Damit hast Du die erste Spalte der Matrix.
Die anderen entsprechend.
LG Angela
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