Basis aus mehreren Vektoren < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:03 Fr 05.11.2010 | | Autor: | lexjou |
| Aufgabe | Wähle eine Basis von Vektoren (durch Markieren) aus (im Raum [mm] \IR^{3} [/mm] :
[mm] \vektor{-1 \\1\\0} \vektor{-1 \\-1\\-1} \vektor{0 \\-2\\-1} \vektor{-1 \\1\\0} \vektor{-2 \\0\\-1} \vektor{-3 \\-3\\-3} \vektor{-1 \\1\\0} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Mir ist klar, dass die Basis sich aus linear unabhängigen Vektoren bildet, also das Skalar muss für jeden Vektor gleich sein und zusammen müssen sie den Nullvektor ergeben.
Aber wenn ich als Koeffizienten die 0 nehme und jeden Vektor damit multipliziere und dann die Vektoren addiere, dann sind doch alle beliebige Vektoren (also in diesem Fall 3 Stück) aus der o.g. Aufgabenstellung eine Basis, oder nicht?
Bzw. wie kann ich schnell erkennen, welche drei Vektoren eine Basis bilden?
Und warum ist dann [mm] \vektor{1 \\0\\0} \vektor{0 \\1\\0} \vektor{0 \\0\\1} [/mm] eine Basis? Mit welchen Koeffizienten werden diese Vektoren denn bitte multipliziert, damit es ein Nullvektor ergibt?
Danke für eure Hilfe!
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> Wähle eine Basis von Vektoren (durch Markieren) aus (im
> Raum [mm]\IR^{3}[/mm] :
>
>
> [mm]\vektor{-1 \\
1\\
0} \vektor{-1 \\
-1\\
-1} \vektor{0 \\
-2\\
-1} \vektor{-1 \\
1\\
0} \vektor{-2 \\
0\\
-1} \vektor{-3 \\
-3\\
-3} \vektor{-1 \\
1\\
0}[/mm]
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Mir ist klar, dass die Basis sich aus linear unabhängigen
> Vektoren bildet, also das Skalar muss für jeden Vektor
> gleich sein und zusammen müssen sie den Nullvektor
> ergeben.
Hallo,
am besten, Du fängst mal mit den Definitionen an für
-linear unabhängig
-Erzeugendensystem
-Basis.
Wenn die dastehen, kann man sinnvoller über das Thema reden.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:25 Fr 05.11.2010 | | Autor: | lexjou |
Vielen Dank für die Antwort aber die hilft mir nicht weiter!
Wenn ich die Definitionen im Zusammenhang verstehen würde, dann hätte ich die Frage nicht gestellt!
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> Vielen Dank für die Antwort aber die hilft mir nicht
> weiter!
>
> Wenn ich die Definitionen im Zusammenhang verstehen würde,
> dann hätte ich die Frage nicht gestellt!
Hallo,
ja eben.
Du hast offensichtlich die Definition von linear unabhängig nicht vestanden, und deshalb wäre es sinnvoll, würdest Du sie hier mal posten, am besten zusammen mit den anderen benötigten Definitionen, damit wir sie vor Augen haben, (sehen, ob sie korrekt reproduziert sind), sie besprechen und anwenden können.
Die Definitionen brauchen wir, und einiges spricht dafür, daß Du sie aufschreibst und nicht die, die Dir helfen möchten.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:37 Fr 05.11.2010 | | Autor: | lexjou |
Also ich habe linear unabhängig so verstanden, dass die Addition mit allen Vektoren, die mit einem Koeffizienten multipliziert werden, eines Vektorraums V den Nullvektor ergibt.
Also die Gleichung:
[mm] a_{1}\vec{v_{1}}+a_{2}\vec{v_{2}}+...+a_{n}\vec{v_{n}}=\vec{0}
[/mm]
ergibt!
Ist das soweit richtig?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:42 Fr 05.11.2010 | | Autor: | lexjou |
Und wenn ich mich nicht irre ergibt sich doch für alle [mm] a_{1}=a_{2}=...=a_{n}=0 [/mm] ein Nullvektor, oder?
Also wenn ich jeden Vektor mit 0 multipliziere kommt doch immer ein Nullvektor raus, oder?
Und die Summe aus Nullvektoren ist doch ein Nullvektor!?!
Oder muss a immer unterschiedliche Werte haben?
(ich dachte, wenn a unterschiedliche Werte hat, dann ist es linear abhängig).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:46 Fr 05.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Also ich habe linear unabhängig so verstanden, dass die
> Addition mit allen Vektoren, die mit einem Koeffizienten
> multipliziert werden, eines Vektorraums V den Nullvektor
> ergibt.
>
> Also die Gleichung:
>
> [mm]a_{1}\vec{v_{1}}+a_{2}\vec{v_{2}}+...+a_{n}\vec{v_{n}}=\vec{0}[/mm]
>
> ergibt!
> Ist das soweit richtig?
Nein.
Die Vektoren [mm] \vec{v_{1}}, [/mm] ...., [mm] \vec{v_{n}} [/mm] heißen linear unabhängig, wenn aus
[mm]a_{1}\vec{v_{1}}+a_{2}\vec{v_{2}}+...+a_{n}\vec{v_{n}}=\vec{0}[/mm]
stets folgt, dass [mm] $a_1=...=a_n [/mm] = 0$ ist.
FRED
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:08 Fr 05.11.2010 | | Autor: | lexjou |
Na das hatte ich ja gerade geschrieben!
die Koeffizienten sind alle=0! Also ergeben sich aus den Vektoren ja auch Nullvektoren!
Somit schlussfolgere ich, dass alle Vektoren Basen sein könnten, da ich ja jeden beliebigen Vektor mit 0 multiplizieren kann und dann aus der Summe der Vektoren doch immer ein Nullvektor entsteht.
Das kann ja aber so nicht sein, sonst wären ja die Aufgaben nicht falsch, die ich lösen musste.
Wo liegt also mein Denkfehler?
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Hallo,
Du verwechselst gerade die Richtungen, in die gefolgert werden muß.
Ich nehme jetzt mal bloß drei Vektoren, damit die Sache übersichtlicher ist.
Die drei Vektoren [mm] \vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3} [/mm] heißen linear unabhängig, wenn die einzige Linearkombination der drei Vektoren, welche den Nullvektor ergibt, die triviale Linearkombination ist, wenn also aus
[mm] a_1\vec{v_1} [/mm] + [mm] a_2\vec{v_2} +a_3\vec{v_3}=\vec{0} [/mm] folgt, daß [mm] a_1=a_2=a_3=0.
[/mm]
Die umgekehrte Richtung, daß aus [mm] a_1=a_2=a_3=0 [/mm] folgt, daß [mm] a_1\vec{v_1} [/mm] + [mm] a_2\vec{v_2} +a_3\vec{v_3}=\vec{0}, [/mm] ist nicht so der Knaller: das trifft auf jegliche Vektoren zu, egal ob unabhängig oder nicht.
Ich zeige Dir jetzt mal, daß [mm] \vektor{1\\1\\1}, \vektor{2\\2\\3} [/mm] und [mm] \vektor{4\\5\\5} [/mm] linear unabhängig sind.
Los geht's:
wir betrachten die Linearkombination
[mm] a_1\vektor{1\\1\\1} [/mm] + [mm] a_2\vektor{2\\2\\3} [/mm] + [mm] a_3\vektor{4\\5\\5}=\vektor{0\\0\\0}.
[/mm]
Wenn wir das ganze komponentenweise betrachten, erhalten wir das lineare Gleichungssystem
[mm] a_1+2a_2+4a_3=0
[/mm]
[mm] a_1+2a_2+5a_3=0
[/mm]
[mm] a_1+3a_2+5a_3=0
[/mm]
Auflösen ergibt, daß [mm] a_1=a_2=a_3=0 [/mm] die einzige Lösung ist.
Also sind die Vektoren linear unabhängig.
Jetzt ein Beispiel für Abhängigkeit:
wir betrachten [mm] \vektor{1\\1\\1}, \vektor{2\\2\\3} [/mm] und [mm] \vektor{4\\4\\5}.
[/mm]
Aus [mm] a_1\vektor{1\\1\\1} [/mm] + [mm] a_2\vektor{2\\2\\3} [/mm] + [mm] a_3\vektor{4\\4\\5}=\vektor{0\\0\\0} [/mm]
erhalten wir das lineare Gleichungssystem
[mm] a_1+2a_2+4a_3=0
[/mm]
[mm] a_1+2a_2+4a_3=0
[/mm]
[mm] a_1+3a_2+5a_3=0.
[/mm]
Dieses GS hat viele Lösungen, es wird gelöst für
[mm] a_1=2t, a_2=t, a_3=-t [/mm] mit [mm] t\in \IR [/mm] beliebig.
Natürlich ist [mm] a_1=a_2=a_3=0 [/mm] eine Lösung, aber
[mm] a_1=2, a_2=1, a_3=-1 [/mm] ist beispielsweise auch eine.
Daher sind diese drei Vektoren nicht linear unabhängig.
Wenn Du meine beiden Beispiele durchgearbeitet hast, nimm Dir mal drei Deiner Vektoren und prüfe ihre Unabhängigkeit.
Stell Dein Tun ggf. hier vor, so können wir sehen, ob Du es richtig verstanden hast.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:58 Sa 06.11.2010 | | Autor: | lexjou |
Hallo Angela,
also erstmal vielen Dank für Deine ausführlichen Erklärungen!
Ich habe es anhand Deiner Erklärung auch verstanden! Aber ich habe jetzt auch meinen Denkfehler gefunden!
Ich dachte, dass [mm] a_{1}, a_{2} [/mm] und [mm] a_{3} [/mm] immer den gleichen Wert haben müssen, damit man die Vektoren als linear unabhängig bezeichnen kann! Und ich habe mich auch schon die ganze Zeit gewundert, warum das a einen Index bekommt...
Wahrscheinlich, weil das erste Beispiel, welches ich gelesen hatte, für lineare Unabhängigkeit mit der Lösung:
[mm] a_{1}=a_{2}=a_{3}=0
[/mm]
war! Deshalb bin ich davon ausgegangen, dass ich einen Koeffizienten finden muss, mit dem ich alle drei Vektoren multipliziere und dann als Ergebnis den Nullvektor zu erhalten!
Da war mein Denkfehler!
Ich hatte in dem Online Portal die Übungsaufgaben ja alle richtig, aber nicht, weil ich gerechnet hatte, sondern weil ich immer nur nach x, y ODER z geguckt habe und dann drei Vektoren gesucht habe, bei denen die Addition dieser einen Zeile 0 ergibt und die anderen beiden Zeilen zwei verschiedene Werte ergeben!
Völlig aus dem Zusammenhang mit der Definition... aber es hat geklappt! :)
Also: Danke!
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