Basis aus orth. Vektoren < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:03 Di 05.01.2010 | | Autor: | lubalu |
| Aufgabe 1 | Geg. sind [mm] v_1=\vektor{1 \\ -2 \\ 1 \\ 3} [/mm] und [mm] v_2=\vektor{2 \\ 1 \\ -3 \\ 1}
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] orthogonal zueinander sind.
b) Ergänzen Sie [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] zu einer Basis [mm] v_1,v_2,v_3,v_4 [/mm] so, dass je zwei Vektoren [mm] v_i [/mm] und [mm] v_j [/mm] für i [mm] \not= [/mm] j zueinander orthogonal sind. |
| Aufgabe 2 | | Ergänzen Sie den Vektotr [mm] u_1=\vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] zu einer Basis [mm] u_1,u_2,u_3 [/mm] des [mm] R^3 [/mm] aus paarweise orthogonalen Vektoren. |
zu Aufgabe 1:
a) ist klar.
b) In der Lösung heißt es hier:
Für [mm] B=(v_1,v_2) \in R^4 [/mm] gilt:
[mm] B^T= \pmat{ 1 & -2 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & -3 & 1 } [/mm] =>...EZU...=> [mm] \pmat{ 1 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & -1 }
[/mm]
=> [mm] w_1=\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 0} [/mm] und [mm] w_2=\vektor{-1 \\ 1 \\ 0 \\ 1} [/mm] sind damit zwei linear unabhängige sowohl zu [mm] v_1 [/mm] als auch zu [mm] v_2 [/mm] orthogonale Vektoren.
Frage 1: Wieso muss ich [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] als Vektoren in die Zeilen und nicht in die Spalten der Matrix schreiben? Auch eine allgemeine Frage: Bei welchen Sachverhalten muss ich die Vektoren in Spalten und bei welchen in Zeilen schreiben?
Frage 2: Woher kommen [mm] w_1 [/mm] und [mm] w_2? [/mm] Ich kann diese Vektoren jedenfalls nirgends finden und sie stehen ja auch nicht in der umgeformten Matrix.
Frage 3: Woher weiß ich, dass [mm] w_1 [/mm] und [mm] w_2 [/mm] zu [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] orthogonal sind? Also wohr weiß man das gleich, ohne es nachzurechnen?
zu Aufgabe 2:
Hier heißt es: Zunächst steht [mm] u_2=\vektor{1 \\ -1 \\ 0} [/mm] auf [mm] u_1 [/mm] senkrecht.
Frage 1: Wie komme ich auf [mm] u_2?
[/mm]
Weiter: [mm] u_3=u_1xu_2=\vektor{1 \\ 1 \\ -2}
[/mm]
Frage 2: Wieso muss ich hier das Kreuzprodukt anwenden?
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> Geg. sind [mm]v_1=\vektor{1 \\ -2 \\ 1 \\ 3}[/mm] und [mm]v_2=\vektor{2 \\ 1 \\ -3 \\ 1}[/mm]
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> a) Zeigen Sie, dass [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2[/mm] orthogonal zueinander
> sind.
>
> b) Ergänzen Sie [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2[/mm] zu einer Basis [mm]v_1,v_2,v_3,v_4[/mm]
> so, dass je zwei Vektoren [mm]v_i[/mm] und [mm]v_j[/mm] für i [mm]\not=[/mm] j
> zueinander orthogonal sind.
> Ergänzen Sie den Vektotr [mm]u_1=\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm] zu einer
> Basis [mm]u_1,u_2,u_3[/mm] des [mm]R^3[/mm] aus paarweise orthogonalen
> Vektoren.
> zu Aufgabe 1:
>
> a) ist klar.
>
> b) In der Lösung heißt es hier:
> Für [mm]B=(v_1,v_2) \in R^4[/mm] gilt:
> [mm]B^T= \pmat{ 1 & -2 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & -3 & 1 }[/mm]
> =>...EZU...=> [mm]\pmat{ 1 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & -1 }[/mm]
>
> => [mm]w_1=\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 0}[/mm] und [mm]w_2=\vektor{-1 \\ 1 \\ 0 \\ 1}[/mm]
> sind damit zwei linear unabhängige sowohl zu [mm]v_1[/mm] als auch
> zu [mm]v_2[/mm] orthogonale Vektoren.
>
> Frage 1: Wieso muss ich [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2[/mm] als Vektoren in die
> Zeilen und nicht in die Spalten der Matrix schreiben?
Hallo,
formulieren wir's stat mit "muß" mal lieber so: warum machen die das so?
Der Gedanke: ich möchte eine Basis des Raumes wissen, welcher orthogonal zu dem von [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] aufgespannten Raum wissen.
Also möchte ich wissen, welche Vektoren [mm] \vektor{x\\y\\z\\t} [/mm] die beiden Gleichungen
[mm] \vektor{1\\-2\\1\\3}* \vektor{x\\y\\z\\t}=0 [/mm] und [mm] \vektor{1\\0\\1\\-1}*\vektor{x\\y\\z\\t} [/mm] =0
<==>
x-2y+z+3t=0
x + z-t=0
lösen.
Deine Matrix ist die Koeffizientenmatrix dieses homogenen LGS, dessen Kern nun bestimmt wird.
> Auch
> eine allgemeine Frage: Bei welchen Sachverhalten muss ich
> die Vektoren in Spalten und bei welchen in Zeilen
> schreiben?
Ich antworte hierauf ungern, weil es für manche Fragestellungen auch verschiedene Möglichkeiten gibt.
Im vorliegenden Fall jedenfalls ergibt sich die Matrix direkt aus dem zu lösenden Gleichungssystem.
>
> Frage 2: Woher kommen [mm]w_1[/mm] und [mm]w_2?[/mm] Ich kann diese Vektoren
> jedenfalls nirgends finden und sie stehen ja auch nicht in
> der umgeformten Matrix.
Wie gesagt: sie sind die Lösung des Gleichungssystems, der Kern der Koeffizientenmatrix also.
>
> Frage 3: Woher weiß ich, dass [mm]w_1[/mm] und [mm]w_2[/mm] zu [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2[/mm]
> orthogonal sind? Also wohr weiß man das gleich, ohne es
> nachzurechnen?
Weil das Gleichungssystem entsprechend aufgestellt wurde.
Um die Aufgabe abschließend zu lösen, müte man [mm] w_1 [/mm] und [mm] w_2 [/mm] aber auch noch orthogonalisieren, denn die beiden sind ja nicht orthogonal zueinander.
>
>
>
> zu Aufgabe 2:
>
> Hier heißt es: Zunächst steht [mm]u_2=\vektor{1 \\ -1 \\ 0}[/mm]
> auf [mm]u_1[/mm] senkrecht.
>
> Frage 1: Wie komme ich auf [mm]u_2?[/mm]
Entweder durch Hingucken: man muß halt irgendeinen Vektor sehen, dessen Skalarprodukt mit [mm] \vektor{1\\1\\1} [/mm] gerade 0 ergibt. Für den [mm] Vektor{13\\17\\-30} [/mm] trifft das ebenfalls zu, nur ist der etwas unbequemer.
Anders gesagt: finde eine Lösung von x+y+z=0.
> Weiter: [mm]u_3=u_1xu_2=\vektor{1 \\ 1 \\ -2}[/mm]
>
> Frage 2: Wieso muss ich hier das Kreuzprodukt anwenden?
"Müssen" tut man das nicht, man kann's auch anders angehen.
Aber wenn man das Kreuzprodukt kennt, dann weiß man, daß der sich ergebende Vektor senkrecht auf den beiden, die man multipliziert, steht, also genau das, was man will.
Du kannst aber auch sagen:
es soll gelten [mm] \vektor{1\\1\\1}*\vektor{x\\y\\z}=0 [/mm] und [mm] \vektor{1\\-1\\0}*\vektor{x\\y\\z}=0, [/mm] und das entstehende Gleichungssystem lösen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:55 Do 07.01.2010 | | Autor: | lubalu |
Ah ja...Vielen Dank für die schnelle Antwort! Jetzt bin ich schon schlauer.
Aber [mm] w_1 [/mm] und [mm] w_2 [/mm] sind doch schon orthogonal zueinander, weil [mm] =0, [/mm] oder?
Wären Sie jetzt nicht schon orth., was müsste ich dann machen? Muss ich dann Gram-Schmidt-Verfahren anwenden?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:26 Do 07.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja!
Gruss leduart
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