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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] , [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 1} [/mm] , [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] eine basis von V = [mm] \IR^{3} [/mm] ist |
hallo, ich bereite mich gerade auf meine klausur vor und habe irgendwie probleme bei den basen und erzeugendensystem. ich habe mal hier eine die ich nicht lösen kann,ich hofffe mir kann da jemand helfen ,danke schon mal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:47 Mi 21.06.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
eine Basis ist doch maximal linear unabhängig.
Im [mm] $\IR^3$ [/mm] hat jede Basis drei Elemente - deshalb reicht es hier aus zu zeigen, dass die drei Vektoren linear unabhängig sind.
Dazu schreibst zum Beispiel einfach die Vektoren als Spalten oder Zeilen in eine Matrix und bestimmst deren Rang, denn das gibt dir die Anzahl der linear unabhängigen Spalten bzw. Zeilen.
(Zeilenrang=Spaltenrang)
wenn die Matrix also vollen rang hat, sind sie linear unabhängig.
viele Grüße
DaMenge
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danke für deine antwort, ich fange gerade an das zu wiederholen und es sollte laut aufgabe eigentlich nach der ersten definition was linear unabhängig und abhängig ist, möglich sein,dei aufgabe zu lösen.
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> danke für deine antwort, ich fange gerade an das zu
> wiederholen und es sollte laut aufgabe eigentlich nach der
> ersten definition was linear unabhängig und abhängig ist,
> möglich sein,dei aufgabe zu lösen.
Wenn's denn sein muss:
Um zu zeigen, dass deine drei Vektoren eine Basis sind, musst du zeigen, dass
- jeder Vektor im Vektorraum linear von ihnen abhängig ist.
Dazu reicht es zu zeigen, dass jeder Standardbasisvektor linear von ihnen abhängig ist.
(Das haben wir in dem anderen Antwortstrang zu deiner Frage aber schon geklärt.)
- sie untereinander linear unabhängig sind.
d.h. du musst zeigen, dass:
[mm] \overbrace{\lambda*\vektor{0 \\ 1 \\ 1}+\mu*\vektor{1 \\ 1 \\ 0}+ \nu*\vektor{1 \\ 1 \\ 1} }^{\mbox{deine drei Vektoren}}=\vektor{0 \\ 0
\\ 0} \Rightarrow \lambda=\mu=\nu=0[/mm]
Gruß Karthagoras
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Es sind 3 Vektoren und der Raum, den du erzeugen sollst ist dreidimensional.
Dann reicht es, die 3 Standardbasisvektoren des Raumes aus deinen dreien zu erzeugen.
[mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1}-\vektor{1 \\ 1 \\ 0}=\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
Zack das war Nummer 1.
[mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1}-\vektor{0 \\ 1 \\ 1}=\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm]
Zack das war der zweite.
Fehlt nur noch [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
Der springt dir, wenn du ihn suchst, genauso schnell vor die Füße.
Gruß Karthagoras
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| Aufgabe | ich hab nun folgendes gemacht:
[mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 1} [/mm] + [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 1}
[/mm]
[mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 1} [/mm] - [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] |
meine frage nun: darf ich das so machen oder gibt es da irgendwelche regeln das ich nur substrahieren darf ???
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> ich hab nun folgendes gemacht:
>
> [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 1}[/mm] + [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 0}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 1}[/mm]
>
> [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 1}-\vektor{1 \\ 1 \\ 1}=\vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Wenn du's ganz deutlich haben willst schreibst du:
[mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 1}+\vektor{1 \\ 1 \\ 0}- \vektor{1 \\ 1 \\ 1}=\vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
>
> meine frage nun: darf ich das so machen oder gibt es da
> irgendwelche regeln das ich nur substrahieren darf ???
Na ja, du darfst sogar das hier schreiben:
[mm] \overbrace{\lambda*\vektor{0 \\ 1 \\ 1}+\mu*\vektor{1 \\ 1 \\ 0}+ \nu*\vektor{1 \\ 1 \\ 1} }^{\mbox{deine drei Vektoren}}=\vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
Das ist aber das schöne an deiner Aufgabe, dass alle Koeffizienten
- so schön handlich und einfach sind.
- so leicht zu erraten waren.
Gruß Karthagoras
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