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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:26 So 06.12.2009 | | Autor: | katjap |
| Aufgabe | In dieser Aufgabe sei K = {0, 1, 2} der Körper mit 3 Elementen. Ferner seien die folgenden Untervektorräume
des K5 gegeben:
U = Span((1, 2, 2, 0, 2), (1, 0, 1, 2, 0), (0, 2, 1, 2, 2))
W = Span((1, 1, 0, 1, 1), (1, 2, 1, 2, 1), (2, 2, 2, 1, 1))
(i) Untersuchen Sie, ob der Vektor (2, 2, 1, 0, 0) in U bzw. W liegt.
(ii) Bestimmen Sie Basen von U +W und U [mm] \capW. [/mm] |
Hallo!
Ich habe die Aufgabe i) schon gelöst.
Zumindest meine ich es
bei U bekomme ich heraus, dass für r=-1 s= 3/2 und T=1/2 eine Lösung existiert, diese liegen aber nicht im körper, sind daher kein Vektor der in U liegt.
bei W kommt r=1 s=0 und T=2 heraus, dies sind elemente von k sind also auch ein Vektor in W.
bei ii) habe ich nun Probleme, da ich nicht genau weiss
wie das mit U+W gemeint ist.
kann man da jeweils die einzelnen Elemente des SPans addieren?
also [mm] \vektor{1\\ 2\\2\\0\\2} [/mm] + [mm] \vektor{1\\ 1\\0 \\1\\1} [/mm] = [mm] \vektor{2\\3\\2\\1\\3} [/mm] und so jeweils mit den andern? oder wie ist das gemeint,
finde in meinem skript leider nichts zur addition von spans....
leider ebenso wenig für U [mm] \capW. [/mm] fürhinweise dazu bin ich sehr dankbar
es ginge ja dann, wenn das problem gelöst ist darum eine Basis von U+W zu finden, ich weiss dass ich Vektoren suche, die V dann aufspannen und linear unabhängig sind, aber ich weiss nicht wie ich das dann lösen kann, also wie ich das passende lgs ansetze.
danke für die hilfe!
katja
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> In dieser Aufgabe sei K = {0, 1, 2} der Körper mit 3
> Elementen. Ferner seien die folgenden Untervektorräume
> des K5 gegeben:
> U = Span((1, 2, 2, 0, 2), (1, 0, 1, 2, 0), (0, 2, 1, 2,
> 2))
> W = Span((1, 1, 0, 1, 1), (1, 2, 1, 2, 1), (2, 2, 2, 1,
> 1))
> (i) Untersuchen Sie, ob der Vektor (2, 2, 1, 0, 0) in U
> bzw. W liegt.
> (ii) Bestimmen Sie Basen von U +W und U [mm]\capW.[/mm]
> Hallo!
>
> Ich habe die Aufgabe i) schon gelöst.
> Zumindest meine ich es
> bei U bekomme ich heraus, dass für r=-1 s= 3/2 und T=1/2
> eine Lösung existiert, diese liegen aber nicht im körper,
Hallo,
bedenke, daß Du nur im Körper [mm] \IZ_3 [/mm] rechnen darfst, von daher kannst Du überhaupt keine Ergebnisse bekommen, die "nicht im Körper" liegen.
Es kann natürlich passieren, daß ein Gleichungssystem in [mm] \IZ_3 [/mm] keine Lösung hat.
Ich vermute, daß Du so gerechnet hast wie im [mm] \IR. [/mm] Aber in [mm] \IZ_3 [/mm] gibt es keine Brüche. statt mit [mm] \bruch{1}{2} [/mm] hast Du hier das Element [mm] 2^{-1}, [/mm] und das ist das Inverse zu 2 bzgl der Multiplikation. Also ist hier [mm] 2^{-1}=2.
[/mm]
Nachgerechnet habe ich nicht, ob's eine Lösung gibt oder nicht.
> sind daher kein Vektor der in U liegt.
>
> bei W kommt r=1 s=0 und T=2 heraus, dies sind elemente von
> k sind also auch ein Vektor in W.
>
>
> bei ii) habe ich nun Probleme, da ich nicht genau weiss
> wie das mit U+W gemeint ist.
Hier hilft immer ein Blick in Mitschrift, Skript oder Buch.
[mm] U+W:=\{u+w|u\in U, w\in W\}, [/mm] also sind da alle vektoren drin, die man als Summe eines Elementes aus U und eines aus W schreiben kann.
> kann man da jeweils die einzelnen Elemente des SPans
> addieren?
In U+W sind sämtliche Linearkombinationen, die man aus den 6 Vektoren, die U bzw W aufspannen, erzeugen kann.
> leider ebenso wenig für U [mm]\capW.[/mm] fürhinweise dazu bin ich
> sehr dankbar
Du mußt Dir überlegen, daß in U [mm]\capW.[/mm] die vektoren sind, die in beiden Räumen zugleich liegen.
man kann sie also gleichzeitig als Linearkombination aus den Erzeugenden von U als auch aus den Erzeugenden von W schreiben. Dies liefert Dir ein zu lösendes Gleichungssystem.
>
> es ginge ja dann, wenn das problem gelöst ist darum eine
> Basis von U+W zu finden, ich weiss dass ich Vektoren suche,
> die V dann aufspannen und linear unabhängig sind, aber ich
> weiss nicht wie ich das dann lösen kann, also wie ich das
> passende lgs ansetze.
Eine Basis von U+W findest Du, wenn die die erzeugenden vektoren zusammenschüttest und aus Ihnen eine maximale linear unabhängige Teilmenge auswählst.
Ich weiß nicht, wie weit Eure Künst gediehen sind. Ist der Rangbegriff bereits bekannt?
Am Rang der Matrix, die die 6 Vektoren enthält, kannst Du die Dimension von U+W ablesen und sogar eine Basis.
Um Dir hierbei helfen zu können, müßtest Du mindestens Deine Startmatrix und ihre Zeilenstufenform posten.
Gruß v. Angela
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> danke für die hilfe!
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> katja
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