Basis bestimmen von Span < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:54 Mi 28.06.2006 | | Autor: | faston |
| Aufgabe | $W = span [mm] \left\{\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \right\}$
[/mm]
Finden Sie eine Basis von W. |
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Hallo,
Ich habe die 4 vektoren als Matrix zusammengefasst und nach Gauß auf Zeilenstufenform gebracht. Dabei sind Zeile 3 und Zeile 4 Nullzeilen.
Meine Frage : Ist die vorgehensweise überhaupt korrekt ?
Falls ja, ich habe ja nun 2 Nullzeilen und dennoch 4 vektoren, muss ich dann die Basisvektoren als [mm] \IR^2 [/mm] aufschreiben (also nur Zeile 1 und 2 und die Nullzeilen weglassen). Spannt die Basis nun eine Ebene in [mm] \IR^4 [/mm] Vektorraum auf ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:09 Mi 28.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo faston
> $W = span [mm] \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}\right\}$
[/mm]
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> Finden Sie eine Basis von W.
> Ich habe die 4 vektoren als Matrix zusammengefasst und nach
> Gauß auf Zeilenstufenform gebracht. Dabei sind Zeile 3 und
> Zeile 4 Nullzeilen.
>
> Meine Frage : Ist die vorgehensweise überhaupt korrekt ?
Ja, so kriegst du raus, wieviel linear unabhängige Vektoren du hast.
> Falls ja, ich habe ja nun 2 Nullzeilen und dennoch 4
> vektoren, muss ich dann die Basisvektoren als [mm]\IR^2[/mm]
> aufschreiben (also nur Zeile 1 und 2 und die Nullzeilen
> weglassen). Spannt die Basis nun eine Ebene in [mm]\IR^4[/mm]
> Vektorraum auf ?
Die Zeilenvektoren sind ja nicht die Vektoren, die gegeben sind, du kannst beliebige 2 von den ursprünglichen nehmen, die lin. unabhängig sind. (hier sind glaub ich je zwei lin. unabhängig, also kannst du irgend 2 nehmen.
Es wird wirklich nur ein 2d Unterraum des [mm] \IR^{4} [/mm] vn den Vektoren beschrieben (falls du richtig gerechnet hast) i.A. nennt man den aber nicht Ebene (nur im [mm] \IR^{3} [/mm] heisst die so im [mm] \IR^{4} [/mm] ist ein 3d Unterraum eine Hyperebene.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:25 Mi 28.06.2006 | | Autor: | faston |
Vielen Dank !
Wenn ich das nun richtig verstanden habe, kann ich nun einfach 2 Vektoren nehmen, z.b. [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] und [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} [/mm] oder ?
also $B = [mm] \left\{ \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \mu \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} | \lambda , \mu \in \IR\right\}$ [/mm] ?
Und W selber könnte ich einfach als matrix aufschreiben wenn ich die basisvektoren nehme für [mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu [/mm] z.b. 2 einsetze ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:37 Mi 28.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo faston
> Vielen Dank !
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> Wenn ich das nun richtig verstanden habe, kann ich nun
> einfach 2 Vektoren nehmen, z.b. [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
> und [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}[/mm] oder ?
Richtig!
> also B = [mm]\lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm] , [mm]\mu \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}[/mm] | [mm]\lambda[/mm] , [mm]\mu \in \IR[/mm] ?
>
üblicherweise gibt man einfach die 2 Basisvektoren an, ohne [mm] \mu [/mm] und [mm] \lambda
[/mm]
> Und W selber könnte ich einfach als matrix aufschreiben
> wenn ich die basisvektoren nehme für [mm]\lambda[/mm] und [mm]\mu[/mm] z.b. 2
> einsetze ?
Nein, das ist nur ein Vektor aus W, W ist die Menge aller Vektoren [mm] w=\mu*a+\lambda*b, [/mm] a,b die Basisvektoren.[mm]\lambda[/mm] , [mm]\mu \in \IR}[/mm] ?
Gruss leduart
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