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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:48 Di 02.01.2007 | | Autor: | PixCell |
| Aufgabe | Es sei v1, v2, . . . , vn eine Basis des K-Vektorraumes V und v [mm] \in [/mm] V .
Beweisen Sie: Genau dann ist v, v2, . . . , vn eine Basis von V , wenn in der Basisdarstellung v = [mm] \summe_{i=1}^{n} a_{i}v_{i} [/mm] der Koeffizient [mm] a_{1} [/mm] ungleich 0 ist. |
Hallo zusammen,
Und auch im neuen Jahr wirft LA wieder eine Unmenge verwirrender Fragen für mich auf... Vielleicht kann mit ja jemand bei obigem Beweis weiterhelfen? Ich habe leider noch nicht einmal einen Ansatz, sondern nur schwammige Vermutungen.
Also wahrscheinlich läufts es wohl irgendwie auf lineare Unabhängigkeit raus, dadurch, dass mindestens ein Koeffizient (nämlich [mm] a_{1} [/mm] ) ungleich 0 ist. Aber wieso das gerade [mm] a_{1} [/mm] sein muss, kapier ich schon nicht. Hat das evtl. was mit der maximalen Anzahl an linear unabhängiger Vektoren bei einer Basis zu tun?
FÜR EURE HILFE WÄRE ICH ECHT DANKBAR!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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hy
also etwa dein v bei
v = $ [mm] \summe_{i=1}^{n} a_{i}v_{i} [/mm] $
ist kein Element von dem v1;..;vn dan ist die Ausgabe das a1 ungleich null sinvoll.
Denn da must du Beweißen das mann mit den Basen alle ander Vektoren des Vektoraum V alls Linearkombination darstellen läßt. (außer den Nullvektor, sonst wären es ja kein Basen)
Ich hoff ich hab die Aufgabe so richtig verstanden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:03 Di 02.01.2007 | | Autor: | PixCell |
Hallo TIB-Student,
erst mal Danke für deine Mühe und das in den Ferien.
Also, in der Tat ist wohl mein v nicht Element von [mm] v_{1}, [/mm] ..., [mm] v_{n}. [/mm] Dennoch verstehe ich nicht wieso dann ausgerechnet mein [mm] a_{1} [/mm] ungleich Null sein soll, es könnte doch auch [mm] a_{2} [/mm] oder [mm] a_{n} [/mm] sein, oder etwa nicht?
Könntest du mir auch deinen folgenden Satz noch ein bisschen verständlicher formulieren? Ich versteh nicht so ganz, was du mir hier erklärtst, sorry.
Denn da must du Beweißen das mann mit den Basen alle ander Vektoren des Vektoraum V alls Linearkombination darstellen läßt. (außer den Nullvektor, sonst wären es ja kein Basen).
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:00 Di 02.01.2007 | | Autor: | DaMenge |
Hallo zusammen,
also dass $v = [mm] \summe_{i=1}^{n} a_{i}v_{i} [/mm] $ immer als eine solche Summe schreibbar ist, sollte klar sein, denn die [mm] v_i [/mm] bilden ja eine Basis - also ist jeder Vektor v als LinKombi der Basisvektoren darstellbar.
so, das [mm] a_1 [/mm] spielt eine besondere Rolle, denn v soll ja gerade [mm] v_1 [/mm] "ersetzen" in der Basis...
zu zeigen sind zwei Richtungen:
1) wenn { v, [mm] v_2 [/mm] ,..., [mm] v_n [/mm] } eine Basis ist, dann ist der Koeffizient [mm] a_1 [/mm] in obiger Darstellung ungleich 0.
(durch Widerspruch : was wäre, wenn [mm] $a_1=0$ [/mm] und man die Formel oben nach [mm] $0=a_1*v_1$ [/mm] umstellt ?!?)
2) wenn [mm] a_1 [/mm] ungleich 0 ist, dann bildet { v, [mm] v_2 [/mm] ,..., [mm] v_n [/mm] } eine Basis, denn:
wenn [mm] a_1 [/mm] in obiger Darstellung ungleich 0 ist, dann kann man die Gleichung nach [mm] v_1 [/mm] umstellen (genauen Term angeben !) und hat damit eine Darstellung von [mm] v_1 [/mm] als Linkombi von v und den restlichen [mm] v_i
[/mm]
also ist span( [mm] $v_1 [/mm] , [mm] v_2 ,\ldots [/mm] , [mm] v_n$ [/mm] )=span( $v , [mm] v_2 ,\ldots [/mm] , [mm] v_n$ [/mm] )
(indem man den berechneten Term als [mm] v_1 [/mm] einsetzt !)
und weil alle Basen gleiche Länge haben, muss letzteres Erzeugendensystem schon minimal sein, also eine Basis darstellen.
viele Grüße
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:31 Di 02.01.2007 | | Autor: | PixCell |
Hallo DaMenge,
danke zunächt für deine Erkärung; der Nebel schwindet bei mir zumindest mal ein bisschen. Ich versuche das jetzt erst mal in Ruhe durchzurechnen, um da genauer durchzusteigen und werde mein Ergebnis dann noch mal hier zum prüfen reinstellen.
Bis dann also und lieben Dank bis hierhin!
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