Basis der Polynome < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:06 Sa 27.12.2008 | | Autor: | farnold |
| Aufgabe | | Gebe für das Erzeugendensystem span { [mm] x^{2},x^{2}+ [/mm] t , [mm] x^{2} [/mm] + 1 , [mm] x^{7} [/mm] + [mm] x^{5} [/mm] } eine Basis an |
mir ist klar das ein linear unabhängiges Erzeugendensystem eine Basis bildet. Also muss ich die Polynome nur auf lineare unabhängigkeit Überprüfen.
Bei diesem Beispiel sieht man leicht, das die Basisvektoren linear unabhängig sind.wie ist das nun aber wenn man es nicht auf einen BLick sieht, wie gehe ich dann vor "polynomvektoren" auf lineare Unabhängigkeit zu überprüfen?
kann ich diese auch als Matrix schreiben und dann einfach den Gauß-Algorithmus anwenden? Aber wie bringe ich obiges Beispiel in Matrixform? iich meine spätestens bei x² ist unser LGS ja nicht mehr "linear"
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Gebe für das Erzeugendensystem [mm] s\{ x^{2},x^{2}+ t ,x^{2}+ 1 ,x^{7}+x^{5} \} [/mm] eine Basis an
> mir ist klar das ein linear unabhängiges Erzeugendensystem
> eine Basis bildet. Also muss ich die Polynome nur auf
> lineare unabhängigkeit Überprüfen.
> Bei diesem Beispiel sieht man leicht, das die
> Basisvektoren linear unabhängig sind.
Hallo,
Du meinst sicher: die erzeugenden Vektoren.
Von Basisvektoren kann man ja erst reden, wenn die lineare Unabhängigkeit gesichert ist.
Ich sehe etwas anderes auf einen Blick: für t=1 sind die nicht linear unabhängig.
> wie ist das nun aber
> wenn man es nicht auf einen BLick sieht, wie gehe ich dann
> vor "polynomvektoren" auf lineare Unabhängigkeit zu
> überprüfen?
Wie immer: Du schaust, ob sie sich nur trivial zur Null linearkombinieren lassen. Schreib die Gleichung mal hin.
> kann ich diese auch als Matrix schreiben und dann einfach
> den Gauß-Algorithmus anwenden?
Ja.
> Aber wie bringe ich obiges
> Beispiel in Matrixform? iich meine spätestens bei x² ist
> unser LGS ja nicht mehr "linear"
Doch. (Beachte, daß Du hier nicht nach x auflösen willst, sondern nach den Koeffizienten der Linearkombination)
Offensichtlich ist span [mm] \{ x^{2},x^{2}+ t ,x^{2}+ 1 ,x^{7}+x^{5} \} [/mm] ein Unterraum des Raumes der Polynome vom Höchstgrad 7 mit der kanonischen Basis [mm] (1,x,x^2,...,x^7).
[/mm]
Du kannst die den Span erzeugenden Vektoren als Koordinatenvektoren bzgl dieser Basis schreiben, sie als Spalten in eine Matrix stellen und mithilfe des Gaußalgorithmus ihre Unabhängigkeit prüfen.
Gruß v. Angela
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:39 Sa 27.12.2008 | | Autor: | farnold |
>Wie immer: Du schaust, ob sie sich nur trivial zur Null >linearkombinieren lassen. Schreib die Gleichung mal hin.
z.b mithilfe des Gaußalgorithmus?
$ [mm] s\{ x^{2},x^{2}+ 2 ,x^{2}+ 1 ,4x^{3}+5x^{4} \} [/mm] $
(leicht geändert)
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 1 & 0& 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0& 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 5 & 4 & 0 & 0& 0 }
[/mm]
und nun Gaußalgorithmus => Zeilenstufenform => Anzahl an Zeilen = Dimension?
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> >Wie immer: Du schaust, ob sie sich nur trivial zur Null
> >linearkombinieren lassen. Schreib die Gleichung mal hin.
>
> z.b mithilfe des Gaußalgorithmus?
>
> [mm]s\{ x^{2},x^{2}+ 2 ,x^{2}+ 1 ,4x^{3}+5x^{4} \}[/mm]
> (leicht geändert)
>
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 1 & 0& 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0& 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 5 & 4 & 0 & 0& 0 }[/mm]
>
> und nun Gaußalgorithmus => Zeilenstufenform => Anzahl an
> Zeilen = Dimension?
>
Hallo,
ja, so kannst Du es machen. Ich selbst bevorzuge aus verschiedenen Gründen den Eintrag der vektoren in Spalten, aber für den Zweck, den Du verfolgst ist es so ok. Die entstehenden Zeilen liefern Dir sogar eine Basis des aufgespannten Raumes.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:08 Sa 27.12.2008 | | Autor: | farnold |
super, vielen dank, das hab ich nun verstanden :)
wir haben in der vorlesung aber noch einen anderen für mich abstrakten Vektorraum betrachtet
Es heißt das alle Lösungen der Differntialgleicung (d² y / dt²) + y = 0 einen Vektorraum bilden.
nur leider kann ich mir darunter nun überhaupt nichts vorstellen, gibt es da auch sowas wie "(Basis-) Vektoren
was bedeutet die Schreibweise d²y / dt²
wie kann man mit solchen ungewöhnlichen Vektorräumen arbeiten?
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[mm] \bruch{d^2y}{dt^2} [/mm] ist y, zweimal nach t abgeleitet. Das schreibt man bei Ableitung nach t gerne als [mm] \ddot{y}, [/mm] bei Ableitung nach x würde man wohl [mm] \a{}y'' [/mm] bevorzugen.
Im übrigen wird da ein Vektorraum definiert, er existiert nicht einfach so in der Gegend herum. Lösungen der DGL sind ja z.B. [mm] y=\pm\sin{t}, y=\pm\cos{t} [/mm] und [mm] \a{}y=0.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:27 Sa 27.12.2008 | | Autor: | farnold |
das heißt also, es gibt hier keine kanonische Basis wie bei [mm] K^n [/mm] oder eine Monombasis wie bei den Polynomen?
Kann man die Vektorraum der DGL auch als Matrix schreiben?
Und dieser Vektorraum beinhaltet also [mm] \underline{jede} [/mm] Funktion die sich 2 mal ableiten lässt?
also z.b. y = t² ist in diesem Vektorraum, weil y' = 2t und y'' = 2 ( => lässt sich 2 mal ableiten)
Dann noch eine Frage, bildet dann auch die Funktionen die sich 1 mal oder 3 mal ableiten lassen einen Vektorraum?
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> das heißt also, es gibt hier keine kanonische Basis wie bei
> [mm]K^n[/mm] oder eine Monombasis wie bei den Polynomen?
> Kann man die Vektorraum der DGL auch als Matrix
> schreiben?
Hallo,
da der von Dir angesprochene Vektorraum aus Funktionen besteht, sind die Vektoren (=Elemente des Vektorraumes) hier Funktionen, also auch die Basisvektoren.
> Und dieser Vektorraum beinhaltet also [mm]\underline{jede}[/mm]
> Funktion die sich 2 mal ableiten lässt?
Nein, er beinhaltet von der Gesamtheit der 2-mal diffbaren Funktionen diejenigen, welche die besagte DGL lösen.
> also z.b. y = t² ist in diesem Vektorraum, weil y' = 2t
> und y'' = 2 ( => lässt sich 2 mal ableiten)
Nein, f(t):= [mm] t^2 [/mm] ist da nicht drin, denn es ist [mm] f''(t)+f(t)=2+t\not=0.
[/mm]
>
> Dann noch eine Frage, bildet dann auch die Funktionen die
> sich 1 mal oder 3 mal ableiten lassen einen Vektorraum?
Das könntest Du mal versuchen herauszufinden.
Du solltest wissen, daß die stetigen Funktionen einen VR bilden.
Nun kannst Du Dir überlegen, ob die Mengen der 1- bzw. 3-mal diffbaren Funktionen die Unterraumkriterien erfüllt.
> Kann man die Vektorraum der DGL auch als Matrix
> schreiben?
???
Welchen Vektorraum kann man also Matrix schreiben? Keinen, oder?
Allerdings gibt es Räume, die aus matrizen bestehen.
Vielleicht meinst Du irgendetwas anderes mit Deiner Frage, und ich hab#s nicht verstanden. Dann frag' nochmal.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:12 Sa 27.12.2008 | | Autor: | farnold |
| Aufgabe | | Zeigen sie zunächst, dass jede der beiden Mengen A = [mm] {1,t,e^{t},te^{t}}und [/mm] B = [mm] {e^{3t},te^{3t},t²e^{3t}} [/mm] linear unabhängig im Vektorraum aller Funktionen f: IR -> IR ist. Daher ist A eine Basis für V = <A> und B eine Basis für W = <B>. Geben sie die Matrixdarstellung von D:V->V und D: W->W an, wobei dD der Differntialoperator D(f) = df/dt ist. |
[mm] {1,t,e^{t},te^{t}} [/mm] l.u. zeigen:
[mm] k_{1}1 [/mm] + [mm] k_{2} [/mm] t + [mm] k_{3} e^t [/mm] + [mm] k_{4} [/mm] t [mm] e^t [/mm] = 0 |d/dt
[mm] =>k_{2}+k_{3} e^t [/mm] + [mm] k_{4} [/mm] t [mm] e^t [/mm] + [mm] k_{4} e^t [/mm] = 0 | d/dt
=> [mm] e^t [/mm] (( [mm] k_{3} [/mm] + [mm] 2k_{4} [/mm] ) * 1 + [mm] k_{4}* [/mm] t) = 0
so wurde in meiner lösung die lineare Unabhängigkeit gezeigt, aber im ersten Teil der Aufgabe war doch noch gar keine rede von Ableiten?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:29 Sa 27.12.2008 | | Autor: | Merle23 |
Es muss für alle t gelten.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:33 Sa 27.12.2008 | | Autor: | Merle23 |
> ... aber im ersten Teil der Aufgabe war doch noch gar keine Rede von Ableiten.
Das heisst ja nicht, dass man es nicht benutzen darf um die Aufgabe zu lösen.
Im zweiten Teil sollst du nur die Darstellende Matrix angeben, mehr nicht.
Und das verbietet es dir ja nicht das Ableiten in der ersten Aufgabe zu benutzen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:40 So 28.12.2008 | | Autor: | farnold |
und wieso kann ich zeigen das diese Vektoren linear unabhängig sind indem ich sie ableite? kann man das ganze wie bei den polynomen nicht irgendwie in Matrixform bringen und so zeigen das sie l.u. sind?
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> und wieso kann ich zeigen das diese Vektoren linear
> unabhängig sind indem ich sie ableite?
Hallo,
weil es funktioniert, und weil dies eine Möglichkeit ist, um an die Koeffizienten zu kommen.
Du kannst die Sache auch anders angehen:
[mm] k_1*1+k_2*t+k_3*e^t+k_4*te^t=0
[/mm]
Was bedeutet das eigentlich? Für jedes [mm] t\in \IR [/mm] ist [mm] k_1*1+k_2*t+k_3*e^t+k_4*te^t=0
[/mm]
==> das gilt auch für t=0,1,2, 3
==> es ist
[mm] k_1*1+k_2*0+k_3*e^0+k_4*0*e^0=0
[/mm]
[mm] k_1*1+k_2*1+k_3*e^1+k_4*1*e^1=0
[/mm]
[mm] k_1*1+k_2*2+k_3*e^2+k_4*2*e^2=0
[/mm]
[mm] k_1*1+k_2*3+k_3*e^3+k_4*3*e^3=0
[/mm]
==> ... Die Lösung dieses GSs sollte [mm] k_i=0 [/mm] für i=1,2,3,4 ergeben.
>kann man das ganze
> wie bei den polynomen nicht irgendwie in Matrixform bringen
> und so zeigen das sie l.u. sind?
Du kannst es ja nur "irgendwie in Matrixform bringen", wenn Du bereits eine Basis des zu betrachtenden (Ober)Raumes kennst, und wenn diese Basis endlich ist.
Hier haben ich beim Vektorraum der Funktionen ärgste Zweifel.
Das in Matrixform Bringen setzt ja voraus, daß wir die vorliegenden Vektoren als Koordinatenvektoren bzgl. irgendeiner Basis schreiben.
Allerdings: das obige LGS kannst Du natürlich mit den Gaußverfahren lösen.
Die Matrizen, die in der Aufgabe von Dir gefordert werden, sind dann die darstellenden Matrizen der Abbildung [mm] D:V\to [/mm] V (bzgl. der Basis A) und [mm] D:W\to [/mm] W (bzgl. der Basis B).
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:40 So 28.12.2008 | | Autor: | farnold |
und die darstellende MAtrix bezüglich der Basis A wäre dann
f(1)= 0
f(t)= 1
[mm] f(e^t)= [/mm] 1 * [mm] e^t
[/mm]
[mm] f(te^t)= te^t [/mm] + [mm] 1*e^t
[/mm]
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1 & 1}
[/mm]
=Darstellungsmatrix der Basis A (und man bekommt die Koordinaten bezüglich A raus => [mm] D_A_A
[/mm]
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> und die darstellende MAtrix bezüglich der Basis A wäre
> dann
>
> f(1)= 0
> f(t)= 1
> [mm]f(e^t)=[/mm] 1 * [mm]e^t[/mm]
> [mm]f(te^t)= te^t[/mm] + [mm]1*e^t[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1 & 1}[/mm]
Hallo,
fast: es kommen die Bilder der Basisvektoren in die Spalten(!).
Du mußt also die letzte und vorletzte Spalte vertauschen.
Gruß v. Angela
>
> =Darstellungsmatrix der Basis A (und man bekommt die
> Koordinaten bezüglich A raus => [mm]D_A_A[/mm]
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![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]"){kind=small}
![[kopfkratz2]](/images/smileys/kopfkratz2.gif "[kopfkratz2]"){kind=small}
![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]"){kind=small}
![[kopfkratz]](/images/smileys/kopfkratz.gif "[kopfkratz]"){kind=small}
![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]"){kind=small}
