Basis der linearen Hülle < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:40 So 13.11.2011 | | Autor: | nee |
| Aufgabe | Bestimmen Sie eine Basis der linearen Hülle der folgenden Vektoren:
[mm] v_{1}= \vektor{0 \\ 1 \\ 1 \\ 1} v_{2}= \vektor{-2 \\ 1 \\ 2 \\ 1} v_{3}= \vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 2} v_{4}= \vektor{-1 \\ 2 \\ 1 \\ -1} v_{5}= \vektor{-3 \\ 3 \\ 5 \\ 4} [/mm] |
N'Abend!
Bei dieser Aufgabe habe ich entweder was nicht verstanden, oder aber die Aufgabe ist nicht lösbar....
Wenn ich die 5 Vektoren über den Gauß zu lösen versuche, erhalte ich eine Nullzeile, was ja eigentlich bedeutet, dass die Vektoren nicht linear unabhängig voneinander sind. Daraus folgt dann ja wieder, dass sie keine Basis bilden können.
Würd mich freuen, wenn einer den Knoten zu lösen weiß!
|
|
| |
|
Hallo nee,
> Bestimmen Sie eine Basis der linearen Hülle der folgenden
> Vektoren:
>
> [mm]v_{1}= \vektor{0 \\ 1 \\ 1 \\ 1} v_{2}= \vektor{-2 \\ 1 \\ 2 \\ 1} v_{3}= \vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 2} v_{4}= \vektor{-1 \\ 2 \\ 1 \\ -1} v_{5}= \vektor{-3 \\ 3 \\ 5 \\ 4}[/mm]
>
> N'Abend!
>
> Bei dieser Aufgabe habe ich entweder was nicht verstanden,
> oder aber die Aufgabe ist nicht lösbar....
>
> Wenn ich die 5 Vektoren über den Gauß zu lösen versuche,
> erhalte ich eine Nullzeile, was ja eigentlich bedeutet,
> dass die Vektoren nicht linear unabhängig voneinander
> sind. Daraus folgt dann ja wieder, dass sie keine Basis
> bilden können.
>
Richtig.
> Würd mich freuen, wenn einer den Knoten zu lösen weiß!
Es sind diejenigen Vektoren zu bestimmen,
die eine Basis der linearen Hülle bilden.
Das erhältst Du auch aus dem Gauss-Algorithmus.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:08 So 13.11.2011 | | Autor: | nee |
Das heißt also, ich lass die Nullzeile wegfallen und schaue, welche Vektor am Besten zusätzlich "zu streichen" ist, damit ich wieder eine gültige Matrix habe?
|
|
|
| |
|
Hallo nee,
> Das heißt also, ich lass die Nullzeile wegfallen und
> schaue, welche Vektor am Besten zusätzlich "zu streichen"
> ist, damit ich wieder eine gültige Matrix habe?
Nein.
Beginne doch erst damit, den Gauss-Algorithmus durchzuführen.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:48 So 13.11.2011 | | Autor: | nee |
Komm mir grad völlig dumm vor...
Hier meine Lösung soweit:
[mm] \pmat{ \pm 0 & -2 & +1 & -1 & |-3 \\ +1 & +1 & +1 & +2 & |+3 \\ \pm 0 & \pm 0 & -1 & +1 & |+1 \\ \pm 0 & \pm 0 & \pm 0 & -2 & |+2}
[/mm]
Okay, entgegen meiner ersten Annahme, erhalte ich zumindest in der letzten Zeile ein [mm] x_{4}= [/mm] 0, also lin. unabhängig. Habe ich mich vertan? Bzw. wie gehe ich jetzt weiter vor, einfach für die anderen Komponenten auch die lin. Unabhägigkeit nachweisen?
|
|
|
| |
|
Hallo nee,
> Komm mir grad völlig dumm vor...
>
> Hier meine Lösung soweit:
>
> [mm]\pmat{ \pm 0 & -2 & +1 & -1 & |-3 \\ +1 & +1 & +1 & +2 & |+3 \\ \pm 0 & \pm 0 & -1 & +1 & |+1 \\ \pm 0 & \pm 0 & \pm 0 & -2 & |+2}[/mm]
>
Das stimmt nicht.
Poste dazu Deine bisherigen Rechenschritte.
> Okay, entgegen meiner ersten Annahme, erhalte ich zumindest
> in der letzten Zeile ein [mm]x_{4}=[/mm] 0, also lin. unabhängig.
> Habe ich mich vertan? Bzw. wie gehe ich jetzt weiter vor,
> einfach für die anderen Komponenten auch die lin.
> Unabhägigkeit nachweisen?
>
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:24 So 13.11.2011 | | Autor: | nee |
1.
[mm] \pmat{ \pm 0 & -2 & +1 & -1 & |-3 \\ +1 & +1 & +1 & +2 & |+3 \\ +1 & +2 & +1 & +1 & |+5 \\ +1 & +1 & +2 & -1 & |+4}
[/mm]
Aus [mm] Z_{3} [/mm] - [mm] Z_{4} :\Rightarrow
[/mm]
2.
[mm] \pmat{ \pm 0 & -2 & +1 & -1 & |-3 \\ +1 & +1 & +1 & +2 & |+3 \\ +1 & +2 & +1 & +1 & |+5 \\ \pm 0 & +1 & -1 & +2 & |+1}
[/mm]
Aus [mm] Z_{1} [/mm] - [mm] Z_{3} :\Rightarrow
[/mm]
3.
[mm] \pmat{ \pm 0 & -2 & +1 & -1 & |-3 \\ +1 & +1 & +1 & +2 & |+3 \\ \pm 0 & -1 & \pm 0 & +1 & |-2 \\ \pm 0 & +1 & -1 & +2 & |+1}
[/mm]
Aus [mm] Z_{3} [/mm] + [mm] Z_{4} :\Rightarrow
[/mm]
4.
[mm] \pmat{ \pm 0 & -2 & +1 & -1 & |-3 \\ +1 & +1 & +1 & +2 & |+3 \\ \pm 0 & -1 & \pm 0 & +1 & |-2 \\ \pm 0 & \pm 0 & -1 & +3 & |-1}
[/mm]
Aus [mm] Z_{1} [/mm] - [mm] 2*Z_{3} :\Rightarrow
[/mm]
5.
[mm] \pmat{ \pm 0 & -2 & +1 & -1 & |-3 \\ +1 & +1 & +1 & +2 & |+3 \\ \pm 0 & \pm 0 & -1 & +1 & |+1 \\ \pm 0 & \pm 0 & -1 & +3 & |-1}
[/mm]
Aus [mm] Z_{3} [/mm] - [mm] *Z_{4} :\Rightarrow
[/mm]
die Matrix aus meiner letzten Frage
|
|
|
| |
|
Hallo nee,
> 1.
>
> [mm]\pmat{ \pm 0 & -2 & +1 & -1 & |-3 \\ +1 & +1 & +1 & +2 & |+3 \\ +1 & +2 & +1 & +1 & |+5 \\ +1 & +1 & +2 & -1 & |+4}[/mm]
>
> Aus [mm]Z_{3}[/mm] - [mm]Z_{4} :\Rightarrow[/mm]
>
> 2.
>
> [mm]\pmat{ \pm 0 & -2 & +1 & -1 & |-3 \\ +1 & +1 & +1 & +2 & |+3 \\ +1 & +2 & +1 & +1 & |+5 \\ \pm 0 & +1 & -1 & +2 & |+1}[/mm]
>
> Aus [mm]Z_{1}[/mm] - [mm]Z_{3} :\Rightarrow[/mm]
>
> 3.
>
> [mm]\pmat{ \pm 0 & -2 & +1 & -1 & |-3 \\ +1 & +1 & +1 & +2 & |+3 \\ \pm 0 & -1 & \pm 0 & +1 & |-2 \\ \pm 0 & +1 & -1 & +2 & |+1}[/mm]
>
Hier hast Du doch [mm]Z_{\blue{2}}-Z_{3}[/mm] gerechnet.
> Aus [mm]Z_{3}[/mm] + [mm]Z_{4} :\Rightarrow[/mm]
>
> 4.
>
> [mm]\pmat{ \pm 0 & -2 & +1 & -1 & |-3 \\ +1 & +1 & +1 & +2 & |+3 \\ \pm 0 & -1 & \pm 0 & +1 & |-2 \\ \pm 0 & \pm 0 & -1 & +3 & |-1}[/mm]
>
> Aus [mm]Z_{1}[/mm] - [mm]2*Z_{3} :\Rightarrow[/mm]
>
> 5.
>
> [mm]\pmat{ \pm 0 & -2 & +1 & -1 & |-3 \\ +1 & +1 & +1 & +2 & |+3 \\ \pm 0 & \pm 0 & -1 & +1 & |+1 \\ \pm 0 & \pm 0 & -1 & +3 & |-1}[/mm]
>
Hier hast Du Dich verrechnet:
[mm]\pmat{ \pm 0 & -2 & +1 & -1 & |-3 \\ +1 & +1 & +1 & +2 & |+3 \\ \pm 0 & \pm 0 &
\red{-1} & \red{+1} & |+1 \\ \pm 0 & \pm 0 & -1 & +3 & |-1}[/mm]
> Aus [mm]Z_{3}[/mm] - [mm]*Z_{4} :\Rightarrow[/mm]
>
> die Matrix aus meiner letzten Frage
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:34 So 13.11.2011 | | Autor: | nee |
Habe den Fehler gefunden und nach der Korrektur folgendes erhalten:
[mm] \pmat{ \pm 0 & -2 & +1 & -1 & |-3 \\ +1 & +1 & +1 & +2 & |+3 \\ \pm 0 & \pm 0 & +1 & -3 & |+1 \\ \pm 0 & \pm 0 & \pm 0 & \pm 0 & |\pm 0}
[/mm]
Wie gehe ich nun weiter vor?
|
|
|
| |
|
Hallo nee,
> Habe den Fehler gefunden und nach der Korrektur folgendes
> erhalten:
>
> [mm]\pmat{ \pm 0 & -2 & +1 & -1 & |-3 \\ +1 & +1 & +1 & +2 & |+3 \\ \pm 0 & \pm 0 & +1 & -3 & |+1 \\ \pm 0 & \pm 0 & \pm 0 & \pm 0 & |\pm 0}[/mm]
>
> Wie gehe ich nun weiter vor?
Jetzt hast Du herausgefunden, daß sich die beiden letzten Vektoren
als Linearkombination der restlichen Vektoren darstellen lassen.
Damit ist ... eine Basis der linearen Hülle.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:54 So 13.11.2011 | | Autor: | nee |
Ah okay! Damit hätte sich wenigstens der erste Knoten gelöst, aus dem leider aber der zweite folgt.
Muss ich jetzt reale Werte nehmen um die Basis zu bestimmen?
Oder sind einer oder mehr, meiner gegebenen Vektoren die Basis der lin Hülle?
|
|
|
| |
|
Hallo nee,
> Ah okay! Damit hätte sich wenigstens der erste Knoten
> gelöst, aus dem leider aber der zweite folgt.
>
> Muss ich jetzt reale Werte nehmen um die Basis zu
> bestimmen?
> Oder sind einer oder mehr, meiner gegebenen Vektoren die
> Basis der lin Hülle?
Nimm doch einfach die entsprechenden Vektoren.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:09 So 13.11.2011 | | Autor: | nee |
Das heißt, ich muss jetzt meine ersten drei Vekotren darauf untersuchen, ob sie eine Basis bilden?
Also auf lineare Unabhängigkeit prüfen und das war es dann?
|
|
|
| |
|
Hallo nee,
> Das heißt, ich muss jetzt meine ersten drei Vekotren
> darauf untersuchen, ob sie eine Basis bilden?
>
> Also auf lineare Unabhängigkeit prüfen und das war es
> dann?
Das brauchst Du nicht machen.
Diese ersten 3 Vektoren bilden eine Basis.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:26 So 13.11.2011 | | Autor: | nee |
Ich freue mich, dass der rechnerische Teil der Aufgabe gelöst ist.
Würd mich, auch wenns undankbar erscheint, freuen, wenn du mir erklären könntest, wie das Ganze jetzt von statten gegangen ist.
Ich verstehe nicht ganz, wie ich darauf komme, dass [mm] v_{4} [/mm] und [mm] v_{5} [/mm] eine Lin Kombi sind, welche die anderen Vektoren erzeugt. Und daraus dannn schließe, dass die anderen drei eine Basis sind.
Versuche mir gerade einzureden, dass die letzen beiden Vektoren mein [mm] \lambda, [/mm] bzw. mein [mm] \mu [/mm] sind.
Ist das richtig?
|
|
|
| |
|
Hallo,
Du warst gestartet mit der Matrix [mm] pmat{v_1&v_2&v_3&v_4&v_5} [/mm] und hattest die Zeilenstufenform
[mm] \pmat{ +1 & +1 & +1 & +2 & +3 \\
0 & -2 & +1 & -1 & -3 \\
0 & 0 & +1 & -3 & +1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0} [/mm]
erhalten.
Aus dieser kannst Du ablesen, daß die Gleichung
[mm] \lambda_1v_1+...+\lambda_5v_5=0 [/mm] nicht eindeutig lösbar ist.
Insbesondere ist [mm] \lambda_1=...=\lambda_5=0 [/mm] nicht die einzige Lösung.
Also sind die 5 Vektoren nicht linear unabhängig.
Der Rang der Matrix (=3) sagt Dir, daß die Dimension des von den Spalten aufgespannten Raumes, also die der linearen Hülle von [mm] v_1,..., v_5 [/mm] , gerade 3 ist.
Um eine Basis anzugeben, kannst Du also aus dem Erzeugendensystem 3 linear unabhängige Vektoren abfischen.
Nimmst Du die ersten drei, also [mm] v_1, v_2, v_3, [/mm] so bekommst Du als ZSF die ersten drei Spalten Deiner ZSF, und man sieht sofort:
die Gleichung [mm] \lambda_1v_1+\lambda_2v_2+\lambda_3v_3=0 [/mm] hat nur die Lösung [mm] \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0, [/mm] also sind die drei Vektoren linear unabhängig.
Du hast also eine Basis der linearen Hülle gefunden, und es kann nicht anders sein, als daß es eindeutig bestimmt [mm] a_i [/mm] gibt mit
[mm] a_1v_1+a_2v_2+a_3v_3=v_4,
[/mm]
für [mm] v_5 [/mm] analog. Die [mm] a_i [/mm] kannst Du bei Lust und Laune ja ausrechnen.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
