Basis des Bilds und Kerns < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:50 Mi 09.02.2011 | | Autor: | Karander |
| Aufgabe | Sei V der [mm]\IR[/mm]-Vektorraum der symmetrichen 2x2 Matrizen und
g: [mm] V \rightarrow \IR^2;M \rightarrow (M^T+M) {1 \choose 1} [/mm]
Bestimmen Sie Basis von Bild(g) und Kern(g) |
Ich hab für die Darstellungsmatrix folgendes herausbekommen:
[mm]\begin{pmatrix}
2 & 0 & 2 \\
0 & 2 & 2 \end{pmatrix}[/mm]
Durch hinsehen bin ich mir recht sicher, dass der Kern =<[mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}[/mm]> ist und die Basis davon schaut denke ich genauso aus.
Bild sind doch die lin. unabh. Spalten der Matrix deswegen (glaube ich) kann ich einfach beliebige 2 von ihnen wählen (da je 2 hier lin. unabh. sind) und somit ist eins der Bilder z.B. [mm] \begin{pmatrix}
2 & 0 \\
0 & 2
\end{pmatrix}[/mm] (oder kommt [mm] \begin{pmatrix}
2 & 2 \\
0 & 2
\end{pmatrix}[/mm] als Bild nicht in Frage? )
Als basis davon hab ich jetzt [mm]{1 \choose 0},{0 \choose 1}[/mm] aber ich bin mir recht sicher, dass das falsch ist :/
Kann mal jemand kurz schauen in wieweit das hier richtig ist?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:23 Do 10.02.2011 | | Autor: | kamaleonti |
Hier stand Quatsch.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:53 Do 10.02.2011 | | Autor: | Karander |
Also als Basis einer symmetrischen 2x2 matrix würde ich zuerst [mm]\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 1 \end{pmatrix} und \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0 \end{pmatrix}[/mm] auflisten und hier dürfte [mm]M^T=M=>M^T+M=2M[/mm] wegen der symmetrie sein also rechne ich weiter mit
g([mm]\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \end{pmatrix}[/mm])= 2M *[mm]{1 \choose 1}[/mm]=[mm]{2 \choose 2}[/mm]
[mm]{2 \choose 2}[/mm]=2[mm]{1 \choose 0}[/mm]+2[mm]{0 \choose 1}[/mm]
g([mm]\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 1 \end{pmatrix}[/mm])= 2M *[mm]{1 \choose 1}[/mm]=[mm]{0 \choose 2}[/mm]
[mm]{0 \choose 2}[/mm]=0[mm]{1 \choose 0}[/mm]+2[mm]{0 \choose 1}[/mm]
g([mm]\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0 \end{pmatrix}[/mm])= 2M *[mm]{1 \choose 1}[/mm]=[mm]{2 \choose 0}[/mm]
[mm]{2 \choose 0}[/mm]=2[mm]{1 \choose 0}[/mm]+0[mm]{0 \choose 1}[/mm]
und aus den Kombinationen der Einheitsvektoren ( die witzigerweise mit Bildern der Basisvektoren übereinstimmen ) stelle ich die Matrix dann zusammen. und komme so auf diese Matrix, ist was falsch? :/
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Hi,
> Also als Basis einer symmetrischen 2x2 matrix würde ich
> zuerst [mm]\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 1 \end{pmatrix} und \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0 \end{pmatrix}[/mm]
> auflisten
Das ist keine Basis...Ersetze das erste Element durch [mm] \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} [/mm] Dann ist es eine.
> und hier dürfte [mm]M^T=M=>M^T+M=2M[/mm] wegen der
> symmetrie sein
Ok.
> also rechne ich weiter mit
>
> g([mm]\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \end{pmatrix}[/mm])= 2M *[mm]{1 \choose 1}[/mm]=[mm]{2 \choose 2}[/mm]
>
> [mm]{2 \choose 2}[/mm]=2[mm]{1 \choose 0}[/mm]+2[mm]{0 \choose 1}[/mm]
Das hier dann noch einmal neu berechnen 
>
> g([mm]\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 1 \end{pmatrix}[/mm])= 2M *[mm]{1 \choose 1}[/mm]=[mm]{0 \choose 2}[/mm]
>
> [mm]{0 \choose 2}[/mm]=0[mm]{1 \choose 0}[/mm]+2[mm]{0 \choose 1}[/mm]
>
> g([mm]\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0 \end{pmatrix}[/mm])= 2M *[mm]{1 \choose 1}[/mm]=[mm]{2 \choose 0}[/mm]
>
> [mm]{2 \choose 0}[/mm]=2[mm]{1 \choose 0}[/mm]+0[mm]{0 \choose 1}[/mm]
>
> und aus den Kombinationen der Einheitsvektoren ( die
> witzigerweise mit Bildern der Basisvektoren übereinstimmen )
Das ist klar, sind ja die Einheitsvektoren
> stelle ich die Matrix dann zusammen. und komme so auf diese Matrix, ist was falsch? :/
Naja, das eine Basiselement 
Ansonsten ist es richtig
Kamaleonti
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:26 Do 10.02.2011 | | Autor: | Karander |
Nagut, hab zwar die Nuller und Einzer versehentlich vertauscht gehabt aber so oder so kommt bei dem ersten Basisvektor das gleiche raus :P , also [mm](2,2)^T[/mm]. Ist die Matrix und die restlichen Dinge die ich am Anfang aufgelistet hab nun dennoch falsch oder ist doch was richtiges dabei?
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Hallo Karander,
> Nagut, hab zwar die Nuller und Einzer versehentlich
> vertauscht gehabt aber so oder so kommt bei dem ersten
> Basisvektor das gleiche raus :P , also [mm](2,2)^T[/mm]. Ist die
> Matrix und die restlichen Dinge die ich am Anfang
> aufgelistet hab nun dennoch falsch oder ist doch was
> richtiges dabei?
Es in der Tat so, daß es egal ist, ob die 1en in der Haupt-
oder Nebendiagonale stehen, dennoch muß die Basis so lauten:
[mm] \red{ \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0 \end{pmatrix}},\ \begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 1 \end{pmatrix}, \ \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0 \end{pmatrix} [/mm]
Die Bilder hast Du richtig errechnet.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:15 Do 10.02.2011 | | Autor: | Karander |
Und was ist mit der Basis von Bild(g) und Kern(g) die ich am Anfang erwähnt habe?
[mm]M^B_{E}(g)\begin{pmatrix}
2 & 0 & 2 \\
\ 0 & 2 & 2
\end{pmatrix}[/mm]
Kern(g)=[mm]<\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}>[/mm] Basis davon schaut genauso aus
Bild(g) sind die lin. unabh. Vektoren von g also [mm] \begin{pmatrix}
2 & 0 \\
0 & 2
\end{pmatrix}[/mm] (würde [mm] \begin{pmatrix}
2 & 2 \\
0 & 2
\end{pmatrix}[/mm] auch als Bild von g in Frage kommen? ) und ich würde sagen, dass die Basis davon [mm]{1 \choose 0} ,{0 \choose 1}[/mm] ist aber das ich die Stelle von der ich mir am wenigsten sicher bin :/
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Hallo Karander,
> Und was ist mit der Basis von Bild(g) und Kern(g) die ich
> am Anfang erwähnt habe?
>
> [mm]M^B_{E}(g)\begin{pmatrix}
2 & 0 & 2 \\
\ 0 & 2 & 2
\end{pmatrix}[/mm]
> Kern(g)=[mm]<\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}>[/mm] Basis
> davon schaut genauso aus
> Bild(g) sind die lin. unabh. Vektoren von g also
> [mm] \begin{pmatrix}
2 & 0 \\
0 & 2
\end{pmatrix}[/mm] (würde [mm] \begin{pmatrix}
2 & 2 \\
0 & 2
\end{pmatrix}[/mm] auch als Bild von g in
> Frage kommen? ) und ich würde sagen, dass die Basis davon
> [mm]{1 \choose 0} ,{0 \choose 1}[/mm] ist aber das ich die Stelle
> von der ich mir am wenigsten sicher bin :/
Die Basis von Bild(g) stimmt.
Die Basis von Kern(g) muss aus Matrizen bestehen.
Demnach sind Matrizen B gesucht, die durch g auf
den Nullvektor [mm]\in \IR^{2}[/mm] abgebildet werden.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:16 Do 10.02.2011 | | Autor: | Karander |
B=([mm] \begin{pmatrix}
1 & -1 \\
-1 & 1
\end{pmatrix}[/mm]) das müsste also dann die Basis für das Kern(g) sein aber wieso? Für die Funktion stimmt es ja aber das ist nie und nimmer die Bassis von [mm]<\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}>[/mm]. Bedeutet es, dass meine Darstellungsmatrix falsch ist? Ich hab ja gedacht, dass [mm]M^B_{E}(g)*M'=g(M')[/mm] ist hier aber offensichtlich nicht der Fall :(
Gruß
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Hallo Karander,
> B=([mm] \begin{pmatrix}
1 & -1 \\
-1 & 1
\end{pmatrix}[/mm]) das müsste also
> dann die Basis für das Kern(g) sein aber wieso? Für die
Die Abbildung geht vom Vektorraum der symmetrischen
reellen 2x2-Matrizen in den [mm]\IR^{2}[/mm], daher
besteht der Kern aus ebensolchen Matrizen.
> Funktion stimmt es ja aber das ist nie und nimmer die
> Bassis von [mm]<\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}>[/mm].
> Bedeutet es, dass meine Darstellungsmatrix falsch ist? Ich
Die Darstellungsmatrix ist richtig.
> hab ja gedacht, dass [mm]M^B_{E}(g)*M'=g(M')[/mm] ist hier aber
> offensichtlich nicht der Fall :(
Hier hast Du etwas verwechselt.
Das was Du hier als Kern herausbekommen hast,
sind die Parameterwerte.
Damit ist eine Basis des Kerns:
[mm]\blue{1}*\pmat{1 & 0 \\ 0 & 0}+\blue{1}*\pmat{0 & 0 \\ 0 & 1}+\blue{\left(-1\right)}*\pmat{0 & 1 \\ 1 & 0}[/mm]
>
> Gruß
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:59 Do 10.02.2011 | | Autor: | Karander |
AHHHHHH...... ein Licht geht auf^^
Super, vielendank, hat mir wirklich geholfen :)
MfG Karander
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