Basis des Nullvektors < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Gegeben ist eine lin. Abbildung A(x) = [mm] \vektor{ x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} \\ x_{2} + x_{3} \\ x_{1} + x_{2} - 2 x_{3} }
[/mm]
Gesucht:
1. Der Kern von A: meine Lösung: [mm] \vektor{ 0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
2. Die Basis des Kerns von A: meine Lösung: [mm] \vektor{ 0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Frage: Nur kann ich in die Gleichung [mm] \lambda \vektor{ 0 \\ 0 \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{ 0 \\ 0 \\ 0} [/mm] jedes beliebige [mm] \lambda [/mm] einsetzen!? Ist demnach der Nullvektor nicht von sich selbst linear abhängig?
3. Die Dimension des Kerns von A: Idee wäre 3
nur kann mir dass jemand begründen?
Danke im Vorraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:47 Fr 25.11.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
wenn ich mich jetzt im Kopf nicht verrechnet habe, dann stimmt dein Kern, denn die Matrix A, die dieser Abbildung entspricht hat vollen Rang.
(aber bitte dies selbst nochmal prüfen)
> 2. Die Basis des Kerns von A: meine Lösung: [mm]\vektor{ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
Nein.
Wenn du nur einen Punkt hast, dann hat dieser Raum keine Dimension, besser : er hat Dimension 0
Vorsicht : Ein einzelner Punkt ist nur dann ein Vektorraum, wenn er der Nullpunkt ist, denn dieser muss ja in jedem VR sein. Dann ist die Basis {} , also leer und die Dimension ist 0.
> Frage: Nur kann ich in die Gleichung [mm]\lambda \vektor{ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
> = [mm]\vektor{ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm] jedes beliebige [mm]\lambda[/mm] einsetzen!?
> Ist demnach der Nullvektor nicht von sich selbst linear
> abhängig?
wieso soll er dann NICHT selbst von sich abhängig sein ? wenn man eine nicht-triviale Lösung findet, ist er doch abhängig - und dies ist auch tatsächlich immer so : der Nullpunkt ist immer linear abhängig (zu sich und zu evtl. anderen Vektoren dann auch immer), deshalb ist der Nullpunkt niemals Teil einer Basis.
Dies liefert auch die Begründung, warum du oben keienn Vektor in der Basis haben kannst und deshalb Dimension 0 hast.
viele Grüße
DaMenge
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Wie kann ich als Erstsemesterstudent begründen dass die Basis vom Nullvektor = {} ist.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:32 Fr 25.11.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
das habe ich doch schon geschrieben : eine basis ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem.
von [mm] $\{ \vektor{0\\0\\0} \}$ [/mm] kommt als Erzeugendensystem nur der Nullpunkt selbst in Frage - aber dieser ist - wie du selbst schon geschrieben hast nicht linear unabhängig...
Also ist die Basis leer.
Du musst mal in deiner Mitschrift nachlesen, wie ihr genau die Basis definiert habt und Beispiele von Dimensionen und so - der nulldimensionale Vektorraum sollte dabei gewesen sein - dann kannst du dich darauf stützen..
viele Grüße
DaMenge
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:27 Fr 25.11.2005 | | Autor: | SEcki |
> Wie kann ich als Erstsemesterstudent begründen dass die
> Basis vom Nullvektor = {} ist.
Andere Möglichkeit: eine Basis ist eine maximal linear unabhängige Teilmenge - da die der Nullraum ja nur aus einem Element besteht, und die ganze Menge nicht linear unabhängig ist, bleibt wohl nur die leere Menge übrig. Otoh, man definiert auch üblicherwiese die leere Summe als den entsprechenden 0-Vektor. Manchmal ist das auch so definiert im Skript.
SEcki
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