Basis des R2,2 < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:19 So 29.11.2009 | | Autor: | Aoide |
| Aufgabe | Wir betrachten den Vektorraum der 2x2 Matrizen [mm] /IR^{2,2} [/mm] und die Matrizen
[mm] \vmat{5&0\\0&-2}, \vmat{0&5\\5&0}, \vmat{3&-4\\0&0}, \vmat{0&0\\1&0}, \vmat{1&1\\0&0}, \vmat{-5&1\\4&5}, \vmat{3&0\\0&-5}, \vmat{0&4\\3&-3}, \vmat{-2&3\\0&0}
[/mm]
Wählen Sie aus diesen Matrizen eine Basis aus, sodass aus den übrigen Matrizen eine weitere Basis gebildet werden kann. |
Entschuldigt diese kurzfristige Anfrage, aber ich zerbreche mir seit zwei Tagen den Kopf über diese Aufgabe, obwohl ich eigentlich dachte, dass sie sehr einfach ist.
Der Raum [mm] \IR^{2,2} [/mm] enthält ja 4 Basiselemente. D.h. von den 9 Matrizen muss ich 8 auf jeden Fall benutzen. Nun müssen die Basiselemente ja voneinander linearunabhängig sein, d.h. meine Basis sollte nicht zwei Matrizen einer Form enthalten, z.B. [mm] \vmat{-2&3\\0&0} [/mm] und [mm] \vmat{3&-4\\0&0}. [/mm] Da drei Matrizen dieser Form enthalten sind, müssen also beide Basen eine solche Matrix enthalten. Welche, spielt keine Rolle. Dann tauchen noch [mm] \vmat{5&0\\0&-2} [/mm] und [mm] \vmat{3&0\\0&-5} [/mm] auf, die auch die selbe Form haben. Also müssen beide Basen auch jeweils eine dieser Matrizen enthalten.
Somit habe ich ja dann erst mal zwei Basen mit zwei Elementen, zu denen ich jeweils zwei weitere Elemente hinzufüge, sodass alle 4 Elemente linear unabhängig sind.
Dass habe ich jetzt in verschiedensten Kombinationen durchgespielt und komme auf keine mögliche Lösung.
Deshalb gehe ich davon aus, dass mein Ansatz falsch ist. Aber warum?
Kann mir jemand helfen?
Danke!
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> Wir betrachten den Vektorraum der 2x2 Matrizen [mm]/IR^{2,2}[/mm]
> und die Matrizen
> [mm]\vmat{5&0\\0&-2}, \vmat{0&5\\5&0}, \vmat{3&-4\\0&0}, \vmat{0&0\\1&0}, \vmat{1&1\\0&0}, \vmat{-5&1\\4&5}, \vmat{3&0\\0&-5}, \vmat{0&4\\3&-3}, \vmat{-2&3\\0&0}[/mm]
>
> Wählen Sie aus diesen Matrizen eine Basis aus, sodass aus
> den übrigen Matrizen eine weitere Basis gebildet werden
> kann.
Hallo!
> Der Raum [mm]\IR^{2,2}[/mm] enthält ja 4 Basiselemente.
Du wolltest sicher dieses sagen: der [mm] \IRaum \IR^{2,2} [/mm] hat die Dimension 4, also muß eine jede Basis 4 Elemente enthalten.
> D.h. von
> den 9 Matrizen muss ich 8 auf jeden Fall benutzen.
Ja. Wobei das zweitrangig ist fürs Verständnis der Aufgabe.
> Nun
> müssen die Basiselemente ja voneinander linearunabhängig
> sein,
Ja.
> d.h. meine Basis sollte nicht zwei Matrizen einer
> Form enthalten, z.B. [mm]\vmat{-2&3\\0&0}[/mm] und [mm]\vmat{3&-4\\0&0}.[/mm]
Hier machst Du einen Fehler!
Rechne jetzt mal nach, daß diese beiden Matrizen linear unabhängig sind,
daß also aus [mm] \lambda_1[/mm] [mm]\vmat{-2&3\\0&0}[/mm] [mm] +\lambda_2[/mm] [mm]\vmat{3&-4\\0&0}.[/mm] =Nullmatrix folgt [mm] \lambda_1=\lambda_2=0
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:54 So 29.11.2009 | | Autor: | Aoide |
[mm] -2\lambda_{1} [/mm] + [mm] 3\lambda_{2} [/mm] = 0
[mm] 3\lambda_{1} [/mm] - [mm] 4\lambda_{2} [/mm] = 0
die Nullzeilen spar ich mir jetzt mal.
Ich habs *sich selbst gegen den Kopf schlag*!
Es müssen ja beide Gleichungen für die selben Variablen erfüllt sein.
Somit gibt es keine andere Lösung als 0.
Ohje, vielen Dank, manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht...
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