Basis einer Lösungsmenge < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:17 Sa 13.11.2010 | | Autor: | sissenge |
| Aufgabe | Sei U [mm] \subseteq R^4 [/mm] die Lösungsmenge der folgenden Gleichung:
[mm] x_{1} [/mm] - [mm] 2x_{2} -5x_{3} [/mm] + [mm] 3x_{4} [/mm] = 0
Bestimmen Sie eine Basis von U. Finden Sie ein Komplement E zu U, dh. [mm] \IR^4 [/mm] = E [mm] \oplus [/mm] U |
Also hätte ich ein paar Vektoren und ich soll da die Basis berechnen, dann wüsste ich wenigstens was ich machen soll.. aber hier???
Also die Basis bilden ja alle Vektoren, mit denn man jeden Vektor des Lösungsraums als linearkombination bilden kann.
Mein Lösungsraum ist in diesem Fall diese Gleichung...
aber irgendwie hängt mein Gedankengang jetzt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:23 So 14.11.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Sei U [mm]\subseteq R^4[/mm] die Lösungsmenge der folgenden
> Gleichung:
>
> [mm]x_{1}[/mm] - [mm]2x_{2} -5x_{3}[/mm] + [mm]3x_{4}[/mm] = 0
> Bestimmen Sie eine Basis von U. Finden Sie ein Komplement
> E zu U, dh. [mm]\IR^4[/mm] = E [mm]\oplus[/mm] U
> Also hätte ich ein paar Vektoren und ich soll da die
> Basis berechnen, dann wüsste ich wenigstens was ich machen
> soll.. aber hier???
Erste Möglichkeit : dann verschaff' dir doch ein paar Vektoren.
Denke dir fünf bis sieben Möglichkeiten für Zahlen [mm] x_1 [/mm] ... [mm] x_4 [/mm] aus, die die Gleichung erfüllen, du erhälst so fünf bis sieben Vektoren [mm] \vec{x}, [/mm] die mit etwas Glück den gesuchten Unterraum des [mm] \IR^4 [/mm] aufspannen und aus denen du dann eine Basis bestimmen kannst.
Wieso "fünf bis sieben" ?
Wieso "etwas Glück" ?
Überlege dir, dass du eine Gleichung der obigen Form hast, und dass du in [mm] \IR^4 [/mm] arbeitest, also ist die Dimension von U : ...
>
> Also die Basis bilden ja alle Vektoren, mit denn man jeden
> Vektor des Lösungsraums als linearkombination bilden
> kann.
Nicht ganz. Die Basis ist nicht nur ein Erzeugendensystem von U (das beschreibst du hier), sondern ein minimales Erzeugendensystem. Man kann jeden Vektor von U also nicht nur irgendwie, sondern auf genau eine Weise als Linearkombination von Basisvektoren darstellen, die Basisvektoren müssen linear unabhängig sein.
>
> Mein Lösungsraum ist in diesem Fall diese Gleichung...
> aber irgendwie hängt mein Gedankengang jetzt
statt "ist" hier besser : "wird bestimmt durch"
Zweite Möglichkeit :
Löse die Gleichung oben nach [mm] x_1 [/mm] auf :
[mm] x_1 [/mm] = [mm] 2x_2 [/mm] + [mm] 5x_3 [/mm] - [mm] 3x_4 [/mm] , außerdem
[mm] x_2 [/mm] = [mm] 1x_2
[/mm]
[mm] x_3 [/mm] = [mm] 1x_3
[/mm]
[mm] x_4 [/mm] = [mm] 1x_4
[/mm]
Siehst du, wie du das als Vektorgleichung
[mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4} [/mm] = [mm] x_2*\vektor{ \\ \\ \\ } [/mm] + [mm] x_3*\vektor{ \\ \\ \\} [/mm] + [mm] x_4*\vektor{ \\ \\ \\ } [/mm] schreiben kannst ?
Zeige jetzt noch, dass die drei Vektoren lin.unabh sind und dieser Aufgabenteil ist fertig.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:27 So 14.11.2010 | | Autor: | sissenge |
ich versteh nicht ganz, wie die zweite Möglichkeit funktionieren soll??
Also die Gleichungen die du austellst sind klar. Aber wie kann ich dann die drei Vektoren erzeugen????
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:34 So 14.11.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
einfach ablesen.
Die vier Gleichungen sind zu einer Vektorgleichung zusammengefasst. Jede Gleichung oben entspricht einer Zeile in der Vektorgleichung.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:18 So 14.11.2010 | | Autor: | sissenge |
Ja das habe ich so ungefähr verstanden gehabt, aber was für Vektoren kommen in die leeren Klammern so was:
also zb vektor bei x2:
[mm] x_{2}\vektor{0 \\ 2 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
???????
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:24 So 14.11.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
Die 1 an der zweiten Stelle ist richtig, aber beachte, dass auch [mm] x_1 [/mm] wegen der ersten Gleichung einen [mm] x_2-Anteil [/mm] hat, die 0 an der ersten Stelle sollte also verändert werden.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:26 So 14.11.2010 | | Autor: | sissenge |
Ok... also dann so:
[mm] x_{2}\vektor{2\\1\\0\\0} [/mm] + [mm] x_{3}\vektor{5\\0\\1\\0} [/mm] + [mm] x_{4}\vektor{-3\\0\\0\\1}
[/mm]
??????
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:29 So 14.11.2010 | | Autor: | Sax |
Ja, genau. In dieser Form lässt sich jeder Vektor aus U darstellen. Jetzt zeige noch, dass die drei Vektoren Lin.Unabh. sind und du hast eine Basis von U gefunden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:31 So 14.11.2010 | | Autor: | sissenge |
ahh ok... wenn jemand das mal richtig erklärt ist das ja nicht so schwer :D
Danke!!!!!
Jetzt werde ich mal versuchen, zu zeigen, dass sie linear unabhängig sind!!
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