Basis eines Faktorraumes < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:08 Mi 08.12.2010 | | Autor: | d_nl |
| Aufgabe | | Sei V der 4-dimensionale [mm] \IZ_{2}-Vektorraum (\IZ_{2})^{4} [/mm] und U [mm] \subseteq [/mm] V der Unterraum U = <(1,0,0,1),(1,0,1,0)>. Bestimmen Sie eine Basis des Faktorraums V/U. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich suche einen Ansatz für diese Aufgabe.
Ich verstehe auch leider noch nicht so recht, was passiert, wenn der Vektorraum V nach U faktorisiert wird.
Bitte um Hilfe.
Danke!
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> Sei V der 4-dimensionale [mm]\IZ_{2}-Vektorraum (\IZ_{2})^{4}[/mm]
> und U [mm]\subseteq[/mm] V der Unterraum U = <(1,0,0,1),(1,0,1,0)>.
> Bestimmen Sie eine Basis des Faktorraums V/U.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Hallo,
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> ich suche einen Ansatz für diese Aufgabe.
> Ich verstehe auch leider noch nicht so recht, was
> passiert, wenn der Vektorraum V nach U faktorisiert wird.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Wenn das so ist, dann sollten wir die Suche nach einer Basis noch zurückstellen und uns mit dem Raum V/U und seinen Elementen beschäftigen.
Es ist [mm] V/U:={v+U|v\in V\}. [/mm]
Dabei ist für jedes [mm] v\in [/mm] V die Menge v+U definiert als
[mm] v+U:={v+u|u\in U\}.
[/mm]
Der Raum V/U ist also eine Menge, die Mengen einer gewissen Machart enthält.
Ihr hattet auf V/U Verknüpfungen definiert und festgestellt: mit diesen ist V/U ein Vektorraum.
Dies Verknüpfungen solltest Du Dir nochmal anschauen, ohne diese geht's nicht.
Gehen wir mal in den [mm] V:=\IR^3 [/mm] und betrachten den Unterraum [mm] U:=<\vektor{1\\2\\3}>.
[/mm]
Die Mengen v+U kennst Du aus der Schule: es sind die Geraden mit Richtungsvektor [mm] \vektor{1\\2\\3} [/mm] durch den Punkt mit dem Ortsvektor v.
Nun suchen wir eine Basis von [mm] \IR^3/<\vektor{1\\2\\3}>.
[/mm]
Zunächst mal muß uns klar sein, daß diese Basis aus Elementen von [mm] \IR^3/<\vektor{1\\2\\3}> [/mm] besteht.
Eine Basis ist ein Erzeugendensystem, Du mußt also jedes Element [mm] \vektor{x\\y\\z}+<\vektor{1\\2\\3}> [/mm] als Linearkombination Deiner Basiselemente schreiben können, und Deine Basiselemente müssen linear unabhängig sein.
Ein kl. Tip: es ist nützlich, sich zu überlegen, wie man [mm] \vektor{1\\2\\3} [/mm] zu einer Basis vom [mm] \IR^3 [/mm] ergänzen kann.
Wenn Dir das gelungen ist, wirst Du auch die von Dir zu bearbeitende Aufgabe können.
Gruß v. Angela
> Bitte um Hilfe.
> Danke!
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