Basis eines Unterraums < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:26 Do 05.11.2009 | | Autor: | peeetaaa |
| Aufgabe | Sei V der kleinste Unterraum von [mm] \IC [/mm] über [mm] \IQ, [/mm] so dass jedes der Polynome
P1(x):= [mm] x^2-\bruch{1}{2}
[/mm]
P2(x):= [mm] x^2- \bruch{1}{3}
[/mm]
P3(x):= [mm] x^2- \bruch{2}{3}
[/mm]
P4(X):= [mm] x^2- \bruch{1}{6}
[/mm]
eine Nullstelle in V hat (d.h. für [mm] 1\le [/mm] n [mm] \le [/mm] 4, [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] V mit Pn(x)=0).
Berechnen Sie eine Basis von V. |
Hallo,
an der Aufgabe sitz ich jetzt schon was und steig da nicht durch!
Hab zuerst einmal die Nullstellen der Polynome gebildet!
Soll ich jetzt mittels der mir bekannten nullstellen eine basis von V bilden?
wie bilde ich denn am besten eine basis?
also eine basis ist ja immer linear unabhängig (da is schon das erste problem!!)
also hab ja jetzt skalare wie z.b. [mm] \lambda_{1},\lambda_{2},.... [/mm] und die muss ich doch jetzt mit den nullstellen multiplizieren also:
[mm] \lambda_{1}*\wurzel{\bruch{1}{2}} [/mm] + [mm] \lambda_{2}*\wurzel{\bruch{1}{3}}+ \lambda_{3}*\wurzel{\bruch{2}{3}} [/mm] + [mm] \lambda_{4}*\wurzel{\bruch{1}{6}}= [/mm] 0
wie zeig ich das denn?
müssen die skalare eigentlich auch brüche sein? denn die basis muss ja auch aus [mm] \IQ [/mm] sein oder?
bin bisschen verzweifelt und hab keine ahnung wie ich die aufgabe verstehen soll! kann mir jmd helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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> Sei V der kleinste Unterraum von [mm]\IC[/mm] über [mm]\IQ,[/mm] so dass
> jedes der Polynome
> P1(x):= [mm]x^2-\bruch{1}{2}[/mm]
> P2(x):= [mm]x^2- \bruch{1}{3}[/mm]
> P3(x):= [mm]x^2- \bruch{2}{3}[/mm]
>
> P4(X):= [mm]x^2- \bruch{1}{6}[/mm]
> eine Nullstelle in V hat (d.h.
> für [mm]1\le[/mm] n [mm]\le[/mm] 4, [mm]\exists[/mm] x [mm]\in[/mm] V mit Pn(x)=0).
> Berechnen Sie eine Basis von V.
> Hab zuerst einmal die Nullstellen der Polynome gebildet!
Hallo,
genau.
Der kleinste Raum der alls diese Nullstellen enthält, ist der von diesen Nullstellen erzeugte Raum, also ist
[mm] V=<\pm\wurzel{\bruch{1}{2}}[/mm], \pm\wurzel{\bruch{1}{3}}, \pm\wurzel{\bruch{2}{3}},\pm\wurzel{\bruch{1}{6}}>
[/mm]
[mm] =<\wurzel{\bruch{1}{2}}[/mm], \wurzel{\bruch{1}{3}}, \wurzel{\bruch{2}{3}},\wurzel{\bruch{1}{6}}>
[/mm]
Alle Elemente von V sind Linearkombinationen (mit rationalen Koeffizienten) dieser Wurzeln.
> Soll ich jetzt mittels der mir bekannten nullstellen eine
> basis von V bilden?
Ich glaube, Du meinst es richtig. Innerhalb der 4 erzeugenden Elemente muß es eine maximale linear unabhängige Teilmenge geben, welche eine Basis von V ist.
> wie bilde ich denn am besten eine basis?
Du mußt Dir wie gesagt, eine maximale linear unabhängige Teilmenge herauspflücken.
>
> also eine basis ist ja immer linear unabhängig (da is
> schon das erste problem!!)
> also hab ja jetzt skalare wie z.b.
> [mm]\lambda_{1},\lambda_{2},....[/mm] und die muss ich doch jetzt
> mit den nullstellen multiplizieren also:
Du schaust jetzt, wenn ich Dich also recht verstehe, gerade mal nach, ob die 4 linear unabhängig sind:
>
> [mm]\lambda_{1}*\wurzel{\bruch{1}{2}}[/mm] + [mm]\lambda_{2}*\wurzel{\bruch{1}{3}}+ \lambda_{3}*\wurzel{\bruch{2}{3}}[/mm] + [mm]\lambda_{4}*\wurzel{\bruch{1}{6}}=[/mm] 0
Bei linearer Unabhängigkeit müßte folgen, daß allle [mm] \lambda_i=0
[/mm]
> wie zeig ich das denn?
>
> müssen die skalare eigentlich auch brüche sein? denn die
> basis muss ja auch aus [mm]\IQ[/mm] sein oder?
Die Basis muß aus V sein, aber die Faktoren, die [mm] \lambda_i [/mm] aus [mm] \IQ.
[/mm]
> [mm]\lambda_{1}*\wurzel{\bruch{1}{2}}[/mm] + [mm]\lambda_{2}*\wurzel{\bruch{1}{3}}+ \lambda_{3}*\wurzel{\bruch{2}{3}}[/mm] + [mm]\lambda_{4}*\wurzel{\bruch{1}{6}}=[/mm] 0
<==> (Nenner rational gemacht)
> [mm]\lambda_{1}*\bruch{1}{2}\wurzel{2}[/mm] + [mm]\lambda_{2}*\bruch{1}{3}*\wurzel{3}+ \lambda_{3}*\bruch{1}{3}\wurzel{6}[/mm] + [mm]\lambda_{4}*\bruch{1}{6}\wurzel{6}=[/mm] 0,
und hier siehst Du, daß die 4 gewiß ncht linear unabhängig sind, da [mm] \wurzel{\bruch{1}{6}}=\bruch{1}{6}\wurzel{6} [/mm] ein rationales Vielfaches von [mm] \wurzel{\bruch{2}{3}}=\bruch{1}{3}\wurzel{6} [/mm] ist.
Damit wissen wir, daß wir die Basis in [mm] \{\wurzel{\bruch{1}{2}}[/mm]=\bruch{1}{2}\wurzel{2}, \wurzel{\bruch{1}{3}}=\bruch{1}{3}*\wurzel{3},\wurzel{\bruch{1}{6}}=\bruch{1}{6}\wurzel{6}\} [/mm] suchen können, und weil das rationale Vielfache der Wurzel sind, suchen wir aus Gründen der rechenbequemlichkeit gleich in
[mm] \{\wurzel{2}, \wurzel{3}, \wurzel{6}\}.
[/mm]
Du könntest nun prüfen, ob die drei linear unabhängig seind - aber ich habe den Verdacht, daß Du hierfür vielleicht auf bereits Bewiesenes zurückgreifen kannst.
Gruß v. Angela
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