Basis eines Vektorraumes < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei $V$ ein Vektorraum und [mm] $v_1, \cdots, v_n, w_1, \cdots, w_m \in [/mm] V$.
Teilaufgabe 1
Zeige, dass [mm] $=$, [/mm] nur wenn jede [mm] v_1 [/mm] zu [mm] $$ [/mm] und jedes [mm] w_j [/mm] zu [mm] $$ [/mm] gehört.
Teilaufgabe 2
Leite aus Teilaufgabe 1 her, dass [mm] $=$ [/mm] für jedes $c$ [mm] \in \IR [/mm] und jedes Paar $(i,j)$ mit $ 1 [mm] \le [/mm] i [mm] \not= [/mm] j [mm] \le [/mm] n$.
Teilaufgabe 3
Leite auch her, dass [mm] $=$ [/mm] für jedes $i$ und jedes $c [mm] \in \IR [/mm] - {0}$.
Teilaufgabe 4
Leite aus Teilaufgabe 2 und 3 her, das eine Basis eine Basis bleibt, wenn man ein Element aus dieser Basis ein paar Male zu einem anderen Element der Basis hinzuaddiert oder wenn man ein Element aus der Basis mit einer Konstante ungleich null multipliziert. |
Hallo :)
Wie so oft fehlt mir hier wieder der Ansatz. Ich hatte gerade die folgende Idee für Teilaufgabe 1. Es muss ja gelten
[mm] $=$.
[/mm]
Das ist nichts Neues, steht ja in der Aufgabe. Aber wenn ich jetzt sage
$ [mm] =$,
[/mm]
dann könnte ich die rechte Seite von beiden Seiten subtrahieren, was mir gibt:
$ [mm] -=0$.
[/mm]
Das würde dann $0=0$ ergeben. Nur bin ich mir nicht sicher, ob das ein Beweis wäre. Um die anderen Aufgaben zu lösen, brauche ich erst mal eine Lösung zur ersten Aufgabe. Hierbei erhoffe ich mir Hilfe :)
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:45 Fr 19.09.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wie willst du denn einen Span von einem anderen subtrahieren
zeige zuerst dass die 2 Span gleich sind , wenn alle [mm] v_i [/mm] in Span der w liegen . dann zeige das es nur dann gilt, d.h. nimm an es gäbe ein [mm] v_i [/mm] nicht im Span der w und führe dann zum Widerspruch.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Hallo
> Wie willst du denn einen Span von einem anderen
> subtrahieren
> zeige zuerst dass die 2 Span gleich sind , wenn alle [mm]v_i[/mm]
> in Span der w liegen .
Das ist ja gerade mein Problem, das zu zeigen. Ich bin einfach noch nicht an mathematische Beweisführung gewöhnt, deshalb brauche ich hier relativ viel Hilfe und Anstöße.
> dann zeige das es nur dann gilt,
> d.h. nimm an es gäbe ein [mm]v_i[/mm] nicht im Span der w und
> führe dann zum Widerspruch.
S. oben.
> Gruss leduart
Gruß :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:11 Fr 19.09.2014 | | Autor: | chrisno |
Zuerst musst Du die Definition von <> hinschreiben. Da gibt es verschiedene Möglichkeiten. (Ich habe so etwas seit 35 Jahren nicht mehr gemacht, daher musste ich in Wikipedia schauen.)
Ich nehme mal an, da stehen Linearkombinationen.
Beweis durch Widerspruch: Nimm an, es gibt ein [mm] $v_k$ [/mm] das nicht in $< [mm] \ldots w_i \ldots [/mm] >$ liegt. Dann ist es nur noch ein kleiner formaler Schritt zu zeigen, dass damit ein Element aus $< [mm] \ldots v_i \ldots [/mm] >$ nicht in $< [mm] \ldots w_i \ldots [/mm] >$ liegt. Damit sind beide ungleich. ...
|
|
|
| |
|
> Zuerst musst Du die Definition von <> hinschreiben. Da gibt
> es verschiedene Möglichkeiten. (Ich habe so etwas seit 35
> Jahren nicht mehr gemacht, daher musste ich in Wikipedia
> schauen.)
> Ich nehme mal an, da stehen Linearkombinationen.
Die Definition wäre dann ja $ [mm] [/mm] = [mm] \{a_1v_1 + \ldots + a_nv_n | a_i \in \IR\}$
[/mm]
oder?
> Beweis durch Widerspruch: Nimm an, es gibt ein [mm]v_k[/mm] das
> nicht in [mm]< \ldots w_i \ldots >[/mm] liegt. Dann ist es nur noch
> ein kleiner formaler Schritt zu zeigen, dass damit ein
> Element aus [mm]< \ldots v_i \ldots >[/mm] nicht in [mm]< \ldots w_i \ldots >[/mm]
> liegt. Damit sind beide ungleich. ...
Ich verstehe es immer noch nicht ganz. Was ich jetzt mal gemacht hab, ist
$ [mm] [/mm] = [mm] [/mm] $
wobei $ [mm] a_i, b_i \in \IR [/mm] $ und $ [mm] v_i, w_i \in [/mm] V $. Das Negationszeichen [mm] \neg [/mm] hab ich jetzt einfach mal vor $ [mm] a_kv_k [/mm] $ gesetzt, um anzuzeigen, dass dieses Element nicht in der Linearkombination ist (einfach nur, um es deutlich zu machen). Was muss ich jetzt machen? Mir erscheint es logisch, dass die zwei Spans nicht gleich sein können, wenn ein Element nicht im einen Span sitzt, wohl aber im anderen.
Gruß :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:55 Sa 20.09.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
was du da hingeschrieben hast ist jeweils ein Vektor, davon der Span sind die Vielfachen dieses Vektors. Das ist also sinnlos.
Schreibe mal auf, wann ein Vektor [mm] v_i [/mm] im Span der w liegt.
dann nimm an [mm] v_i [/mm] liegt nicht im Span, Was folgt daraus?
Dein Beweis fängt an mit : angenommen einer der [mm] v_i [/mm] liegt nicht in <w1,...> dann gilt [mm] v_I [/mm] kann nicht dargestellt werden als...., daraus fogt....
Arbeite nicht so viel mit Span 1= Span 2 sondern mit den Elementen, die im Span liegen.l
|
|
|
| |
|
> Hallo
> was du da hingeschrieben hast ist jeweils ein Vektor,
> davon der Span sind die Vielfachen dieses Vektors. Das ist
> also sinnlos.
>
> Schreibe mal auf, wann ein Vektor [mm]v_i[/mm] im Span der w liegt.
Wenn ein Vektor in $ [mm] span(2_1, \ldots, w_m) [/mm] $ liegen soll, muss er ja als Linearkombination der Vektoren $ [mm] w_1, \ldots, w_m [/mm] $ dargestellt werden können. Also:
$ [mm] v_i [/mm] = [mm] a_1w_1 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] a_mw_m [/mm] $
für $ [mm] a_1, \ldots, a_m \in \IR [/mm] $.
> dann nimm an [mm]v_i[/mm] liegt nicht im Span, Was folgt daraus?
> Dein Beweis fängt an mit : angenommen einer der [mm]v_i[/mm] liegt
> nicht in <w1,...> dann gilt [mm]v_I[/mm] kann nicht dargestellt
> werden als...., daraus fogt....
Wenn ich jetzt annehme, dass [mm] v_i [/mm] nicht in $ [mm] span(2_1, \ldots, w_m) [/mm] $ liegt, dann kann der Vektor [mm] v_i [/mm] auch nicht dargestellt werden als Linearkombination von $ [mm] w_1, \ldots, w_m [/mm] $. Selbiges gilt dann für [mm] w_i [/mm] in $ [mm] span(v_1, \ldots, v_n) [/mm] $. Damit widerspreche ich aber der Gleichung
$ [mm] v_i [/mm] = [mm] a_1w_1 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] a_mw_m [/mm] $.
Weiter komm ich nicht, ich hab einfach keine Ahnung, wie man sowas macht...
> Arbeite nicht so viel mit Span 1= Span 2 sondern mit den
> Elementen, die im Span liegen.l
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:03 So 21.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zeige, dass $ [mm] = [/mm] $, nur wenn jedes
> $ [mm] v_i [/mm] $ zu $ [mm] [/mm] $ und jedes $ [mm] w_j [/mm] $ zu $ [mm] [/mm] $
> gehört.
wir machen daraus am Besten mal eine "genau dann, wenn"-Aussage.
[mm] "$\Rightarrow$"
[/mm]
Es gelte
[mm] ($\star$) $=\,.$
[/mm]
Da für jedes $i [mm] \in \{1,...,n\}$ [/mm] gilt
[mm] $v_i \in \,$ [/mm] (Das ist trivial, allerdings ist die Frage: Ist es das
für Dich auch? Um das zu erkennen, beantworte mir die Frage: Warum
ist das trivial?)
folgt aus [mm] ($\star$) [/mm] sofort...?
Weiter:
Da für jedes $j [mm] \in <1,...,\red{m}>$ [/mm]
[mm] $w_j \in $ [/mm] (Begründung: analog zu oben),
folgt aus [mm] ($\star$) [/mm] sofort...?
[mm] "$\Leftarrow$":
[/mm]
Es gelte
[mm] $v_i \in $ [/mm] für [mm] $i=1,...,\blue{n}$
[/mm]
und
[mm] $w_j \in $ [/mm] für [mm] $j=1,...,\red{m}\,.$
[/mm]
Begründe bitte für $T,W [mm] \subseteqq [/mm] V$:
Ist $T [mm] \subseteqq W\,,$ [/mm] so folgt
[mm] $\,$ $\subseteqq$ $\,.$
[/mm]
Wegen
[mm] $\{v_1,...,v_n\}$ $\subseteqq$ $$
[/mm]
folgt dann
[mm] $$ $\subseteq$ $<\;\;>\,.$
[/mm]
Warum ist nun
[mm] $<\;\;>$ $=\,$ $$?
[/mm]
Damit weißt Du nun
[mm] $$ $\subseteqq$ $\,.$
[/mm]
Jetzt die Erinnerung:
Wenn Du für zwei Mengen [mm] $A,B\,$ [/mm] zeigen willst, dass
[mm] $A=B\,$
[/mm]
gilt, so zeigst Du das etwa, indem Du sowohl [mm] $A\,$ $\subseteqq$ $B\,$ [/mm] als auch [mm] $B\,$ $\subseteqq$ $A\,$ [/mm] zeigst.
"Oben" hätten wir quasi nun
[mm] $A\,$ $\subseteqq$ $B\,$
[/mm]
gezeigt. Was fehlt also noch?
Nebenbei: Wenn man es "kurz machen will", dann könnte man oben schreiben,
dass
[mm] $$ $\subseteqq$ $$
[/mm]
durch genau die gleichen Überlegungen folgt, wenn man einen entsprechenden
Rollentausch durchführt. Das sollte man aber nur schreiben, wenn man
selbst genau versteht, was man damit meint und sagen will. Denn oben
ist ja eben nirgends [mm] $m=n\,$ [/mm] verlangt!
(Man könnte durchaus eine Zusatzüberlegung anstellen, wieso man durchaus
o.B.d.A. auch [mm] $m=n\,$ [/mm] annehmen darf. Aber dass man diese Annahme ohne Einschränkung
treffen darf: Das ist keineswegs(!!!) eine Trivialität!)
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
> Hallo,
>
> > Zeige, dass [mm]= [/mm], nur
> wenn jedes
> > [mm]v_i[/mm] zu [mm][/mm] und jedes [mm]w_j[/mm] zu [mm][/mm]
> > gehört.
>
> wir machen daraus am Besten mal eine "genau dann,
> wenn"-Aussage.
>
> "[mm]\Rightarrow[/mm]"
> Es gelte
>
> ([mm]\star[/mm]) [mm]=\,.[/mm]
>
> Da für jedes [mm]i \in \{1,...,n\}[/mm] gilt
>
> [mm]v_i \in \,[/mm] (Das ist trivial, allerdings ist
> die Frage: Ist es das
> für Dich auch? Um das zu erkennen, beantworte mir die
> Frage: Warum
> ist das trivial?)
Ich denke, das ist trivial, weil gilt, dass jeder Vektor [mm] v_i [/mm] erzeugt werden kann aus den Vektoren $ [mm] v_1, \ldots, v_n [/mm] $ und somit in deren Span liegt.
>
> folgt aus ([mm]\star[/mm]) sofort...?
dass $ [mm] v_i \in [/mm] $ (weil [mm] $v_i \in [/mm] = [mm] [/mm] $)?
>
> Weiter:
> Da für jedes [mm]j \in <1,...,\red{m}>[/mm]
>
> [mm]w_j \in [/mm] (Begründung: analog zu oben),
>
> folgt aus ([mm]\star[/mm]) sofort...?
Wie oben: $ [mm] w_i \in [/mm] $.
>
> "[mm]\Leftarrow[/mm]":
> Es gelte
>
> [mm]v_i \in [/mm] für [mm]i=1,...,\blue{n}[/mm]
>
> und
>
> [mm]w_j \in [/mm] für [mm]j=1,...,\red{m}\,.[/mm]
>
> Begründe bitte für [mm]T,W \subseteqq V[/mm]:
Irgendwie kommt mir der Sprung hier etwas plötzlich.
> Ist [mm]T \subseteqq W\,,[/mm]
> so folgt
>
> [mm]\,[/mm] [mm]\subseteqq[/mm] [mm]\,.[/mm]
>
> Wegen
>
> [mm]\{v_1,...,v_n\}[/mm] [mm]\subseteqq[/mm] [mm][/mm]
>
> folgt dann
>
> [mm][/mm] [mm]\subseteq[/mm] [mm]<\;\;>\,.[/mm]
>
> Warum ist nun
>
> [mm]<\;\;>[/mm] [mm]=\,[/mm] [mm][/mm]?
>
> Damit weißt Du nun
>
> [mm][/mm] [mm]\subseteqq[/mm] [mm]\,.[/mm]
>
> Jetzt die Erinnerung:
> Wenn Du für zwei Mengen [mm]A,B\,[/mm] zeigen willst, dass
>
> [mm]A=B\,[/mm]
>
> gilt, so zeigst Du das etwa, indem Du sowohl [mm]A\,[/mm] [mm]\subseteqq[/mm]
> [mm]B\,[/mm] als auch [mm]B\,[/mm] [mm]\subseteqq[/mm] [mm]A\,[/mm] zeigst.
> "Oben" hätten wir quasi nun
>
> [mm]A\,[/mm] [mm]\subseteqq[/mm] [mm]B\,[/mm]
>
> gezeigt. Was fehlt also noch?
Dass man noch beweist, dass $ B [mm] \subseteqq [/mm] A $. Entschuldigung, aber ich steig bei der ganzen Argumentation echt nicht mehr durch. Ich weiß nicht, wieso, aber ich kann die einzelnen Schritte leider erst nachvollziehen, wenn sie mir jemand erklärt. Es wird zunehmend frustrierender.
>
> Nebenbei: Wenn man es "kurz machen will", dann könnte man
> oben schreiben,
> dass
>
> [mm][/mm] [mm]\subseteqq[/mm] [mm][/mm]
>
> durch genau die gleichen Überlegungen folgt, wenn man
> einen entsprechenden
> Rollentausch durchführt. Das sollte man aber nur
> schreiben, wenn man
> selbst genau versteht, was man damit meint und sagen will.
> Denn oben
> ist ja eben nirgends [mm]m=n\,[/mm] verlangt!
> (Man könnte durchaus eine Zusatzüberlegung anstellen,
> wieso man durchaus
> o.B.d.A. auch [mm]m=n\,[/mm] annehmen darf. Aber dass man diese
> Annahme ohne Einschränkung
> treffen darf: Das ist keineswegs(!!!) eine Trivialität!)
>
> Gruß,
> Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:17 So 21.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo,
> >
> > > Zeige, dass [mm]= [/mm], nur
> > wenn jedes
> > > [mm]v_i[/mm] zu [mm][/mm] und jedes [mm]w_j[/mm] zu [mm][/mm]
> > > gehört.
> >
> > wir machen daraus am Besten mal eine "genau dann,
> > wenn"-Aussage.
> >
> > "[mm]\Rightarrow[/mm]"
> > Es gelte
> >
> > ([mm]\star[/mm]) [mm]=\,.[/mm]
> >
> > Da für jedes [mm]i \in \{1,...,n\}[/mm] gilt
> >
> > [mm]v_i \in \,[/mm] (Das ist trivial, allerdings ist
> > die Frage: Ist es das
> > für Dich auch? Um das zu erkennen, beantworte mir
> die
> > Frage: Warum
> > ist das trivial?)
>
> Ich denke, das ist trivial, weil gilt, dass jeder Vektor
> [mm]v_i[/mm] erzeugt werden kann aus den Vektoren [mm]v_1, \ldots, v_n[/mm]
> und somit in deren Span liegt.
Okay. Dann die nächste Frage: Wieso kann denn jeder Vektor [mm] $v_i$ [/mm] erzeugt
werden aus den [mm] $v_1,\ldots,v_n$?
[/mm]
Umformuliert heißt das:
Kannst Du [mm] $r_1,...,r_n \in [/mm] K$ so angeben, dass
[mm] $v_i=\sum_{k=1}^n r_k v_k$
[/mm]
gilt? Das ist nicht schwer...
> >
> > folgt aus ([mm]\star[/mm]) sofort...?
>
> dass [mm]v_i \in [/mm] (weil [mm]v_i \in = [/mm])?
>
> >
> > Weiter:
> > Da für jedes [mm]j \in <1,...,\red{m}>[/mm]
> >
> > [mm]w_j \in [/mm] (Begründung: analog zu oben),
> >
> > folgt aus ([mm]\star[/mm]) sofort...?
>
> Wie oben: [mm]w_i \in [/mm].
>
> >
> > "[mm]\Leftarrow[/mm]":
> > Es gelte
> >
> > [mm]v_i \in [/mm] für [mm]i=1,...,\blue{n}[/mm]
> >
> > und
> >
> > [mm]w_j \in [/mm] für [mm]j=1,...,\red{m}\,.[/mm]
> >
> > Begründe bitte für [mm]T,W \subseteqq V[/mm]:
>
> Irgendwie kommt mir der Sprung hier etwas plötzlich.
Ich finde ihn natürlich. Du kannst den Gedankengang hier auch "algorithmisch"
verstehen:
Du weißt nun, dass alle [mm] $v_i \in $ [/mm] sind. Dann folgt
[mm] $v_1 \in $ [/mm] liefert [mm] $<\{v_1\}>=$ $\subseteqq$ $<\;\;>$,
[/mm]
[mm] $v_1,v_2 \in $ [/mm] liefert [mm] $<\{v_1,v_2\}>=$ $\subseteqq$ $<\;\;>$,
[/mm]
[mm] $v_1,v_2,v_3 \in $ [/mm] liefert [mm] $<\{v_1,v_2,v_3\}>=$ $\subseteqq$ $<\;\;>$
[/mm]
etc. pp..
Das obige ist halt eine allgemeine Aussage, die man sich relativ leicht
überlegen kann, deswegen habe ich sie extra formuliert. Wenn man sie
beweist, folgt das, was man hier macht, sofort!
> > Ist [mm]T \subseteqq W\,,[/mm]
> > so folgt
> >
> > [mm]\,[/mm] [mm]\subseteqq[/mm] [mm]\,.[/mm]
> >
> > Wegen
> >
> > [mm]\{v_1,...,v_n\}[/mm] [mm]\subseteqq[/mm] [mm][/mm]
> >
> > folgt dann
> >
> > [mm][/mm] [mm]\subseteq[/mm] [mm]<\;\;>\,.[/mm]
> >
> > Warum ist nun
> >
> > [mm]<\;\;>[/mm] [mm]=\,[/mm] [mm][/mm]?
> >
> > Damit weißt Du nun
> >
> > [mm][/mm] [mm]\subseteqq[/mm] [mm]\,.[/mm]
> >
> > Jetzt die Erinnerung:
> > Wenn Du für zwei Mengen [mm]A,B\,[/mm] zeigen willst, dass
> >
> > [mm]A=B\,[/mm]
> >
> > gilt, so zeigst Du das etwa, indem Du sowohl [mm]A\,[/mm] [mm]\subseteqq[/mm]
> > [mm]B\,[/mm] als auch [mm]B\,[/mm] [mm]\subseteqq[/mm] [mm]A\,[/mm] zeigst.
> > "Oben" hätten wir quasi nun
> >
> > [mm]A\,[/mm] [mm]\subseteqq[/mm] [mm]B\,[/mm]
> >
> > gezeigt. Was fehlt also noch?
>
> Dass man noch beweist, dass [mm]B \subseteqq A [/mm].
Eben.
> Entschuldigung, aber ich steig bei der ganzen Argumentation
> echt nicht mehr durch. Ich weiß nicht, wieso, aber ich
> kann die einzelnen Schritte leider erst nachvollziehen,
> wenn sie mir jemand erklärt. Es wird zunehmend
> frustrierender.
Dann mach' ich Dir mal eine Beweisskizze, in der es im Wesentlichen darum
geht, dass Du siehst, was im Einzelnen gemacht wird. Die folgt aber erst
später, okay?
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:02 So 21.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo nochmal,
die erweiterte Aufgabe war:
Zeige, dass $ [mm] = [/mm] $, dann und nur dann, wenn
jedes $ [mm] v_i [/mm] $ zu $ [mm] [/mm] $ und jedes $ [mm] w_j [/mm] $ zu $ [mm] [/mm] $ gehört.
Dort steht für die Aussagen
$X [mm] \colon$ "$$ $=\,$ $$."
[/mm]
$Y [mm] \colon$ [/mm] "Jedes $ [mm] v_i [/mm] $ gehört zu $ [mm] [/mm] $ und jedes $ [mm] w_j [/mm] $ zu $ [mm] $."
[/mm]
dass man $X [mm] \gdw [/mm] Y$ zeigen soll.
Das macht man am Besten (anfangs) getrennt, man zeigt
[mm] "$\Rightarrow$" [/mm] (kurz für $X [mm] \Rightarrow [/mm] Y$):
Man setzt voraus, dass [mm] $X\,$ [/mm] wahr ist. Unter dieser Annahme ist zu zeigen, dass
damit gefolgert werden kann, dass auch [mm] $Y\,$ [/mm] wahr sein muss.
[mm] "$\Leftarrow$" [/mm] (kurz für $Y [mm] \Leftarrow [/mm] X$ bzw. $Y [mm] \Rightarrow [/mm] X$):
Man setzt voraus, dass [mm] $Y\,$ [/mm] wahr ist. Unter dieser Annahme ist zu zeigen, dass
damit gefolgert werden kann, dass auch [mm] $X\,$ [/mm] wahr sein muss.
Soweit alles nachvollziehbar?
Soweit ich das gesehen habe, konntest Du den Beweis von [mm] "$\Rightarrow$" [/mm] problemlos
nachvollziehen. (Nur [mm] $v_i \in $ [/mm] muss noch genauer begründet werden!))
Dass man für Mengen
[mm] $A,B\,$
[/mm]
die Gleichheit [mm] $A=B\,$ [/mm] beweisen kann, indem man sowohl $A [mm] \subseteqq [/mm] B$ als auch
$B [mm] \subseteqq [/mm] A$ beweist, ist wohl auch klar. Oder?
Wenn Du so willst, dann hatten wir oben beim Beweis von [mm] "$\Leftarrow$" [/mm] halt
[mm] $A=$ [/mm] und [mm] $B=$
[/mm]
gesetzt.
Unter der Voraussetzung, dass [mm] $Y\,$ [/mm] gelte (es sind alle [mm] $v_i \in [/mm] B$ und alle [mm] $w_j \in [/mm] A$),
habe ich Dir *angedeutet*, wie man dann $A [mm] \subseteqq [/mm] B$ folgern kann. Es fehlt
also nur noch $B [mm] \subseteqq A\,.$
[/mm]
Allerdings, wenn man sich den Beweis von [mm] $\Leftarrow$ [/mm] genau anschaut, gibt es
noch zwei Zusatzaussagen, die man beweisen soll, weil sie dann beim Beweis
sehr gut verwendet werden können:
1.) Für $ T,W [mm] \subseteqq [/mm] V $ gilt:
Ist $ T [mm] \subseteqq W\,, [/mm] $ so folgt
$ [mm] \, [/mm] $ $ [mm] \subseteqq [/mm] $ $ [mm] \,. [/mm] $
Warum braucht man das? Ganz einfach, bei [mm] "$\Leftarrow$" [/mm] steht bei uns
[mm] $\{v_1,...,v_n\}$ $\subseteqq$ $B\,.$
[/mm]
Das wissen wir nach Voraussetzung. Mit 1. folgt dann
[mm] $<\{v_1,...,v_n\}>$ $\subseteqq$ $\,.$
[/mm]
Und es ist per Def.
[mm] $=<\{v_1,...,v_n\}>\,.$
[/mm]
Wir könnten also glauben, dass wir nun schon
[mm] $A\,$ $\subseteqq$ $B\,$
[/mm]
bewiesen haben. Das ist auch so, ist uns aber noch nicht ganz klar, denn
oben sehen wir doch "nur"
[mm] $A\,$ $\subseteqq$ $\,.$
[/mm]
Helfen würde es uns nun, wenn wir auch
[mm] $\,$ $\subseteqq$ $B\,$
[/mm]
wüßten. Da aber
[mm] $B\,$ $\subseteqq$ $\,$
[/mm]
klar ist (warum?), ist die Frage, ob hier [mm] $\,$ $\subseteqq [/mm] B$ gilt, nichts anderes
als die Frage, ob [mm] $\,=\,B$ [/mm] gilt. Deswegen war der "Arbeitsauftrag" an Dich:
Begründe, dass
[mm] $\,=B\,$
[/mm]
gilt.
Das kann man durchaus auch "schnell" machen, wenn man etwa weiß, dass
der lineare Span einer Teilmenge eines VRs der kleinste Unterraum des VRs
ist, der diese Menge als Teilmenge enthält.
Ihr habt aber den Span halt mit Linearkombinationen definiert und diese
eben erwähnte Charakterisierung wohl noch nicht zur Verfügung. Deswegen
wäre dann etwa so vorzugehen:
Es ist
[mm] $\,$ $\subseteqq$ $B\,$
[/mm]
nachzuweisen.
Sei $p [mm] \in \,.$ [/mm] Dann gibt es mit einem [mm] $\ell \in \IN$
[/mm]
[mm] $S_1,..., S_\ell \in [/mm] B$ und zugehörige Skalare [mm] $R_j \in [/mm] K$
mit
(I) [mm] $p=\sum_{k=1}^\ell R_k S_k\,.$
[/mm]
Zu zeigen ist $p [mm] \in B\,,$ [/mm] nach Def. von [mm] $B=$ [/mm] also, dass es Skalare
[mm] $r_1,...,r_m \in [/mm] K$ so gibt, dass
[mm] $p=\sum_{k=1}^m r_k w_k\,$
[/mm]
geschrieben werden kann.
Schreibe dazu in (I) die [mm] $S_k$ [/mm] als Linearkombination der [mm] $w_1,...,w_m$ [/mm] (das geht,
weil ja alle [mm] $S_k \in B=$ [/mm] sind) und sortiere das Ganze ein wenig
um, um zu sehen, wie solche "gesuchten" [mm] $r_k$ [/mm] mithilfe der [mm] $R_j$ [/mm] definiert
werden können.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
> Hallo nochmal,
>
> die erweiterte Aufgabe war:
> Zeige, dass [mm]= [/mm], dann
> und nur dann, wenn
> jedes [mm]v_i[/mm] zu [mm][/mm] und jedes [mm]w_j[/mm] zu [mm][/mm]
> gehört.
>
> Dort steht für die Aussagen
>
> [mm]X \colon[/mm] "[mm][/mm] [mm]=\,[/mm] [mm][/mm]."
>
> [mm]Y \colon[/mm] "Jedes [mm]v_i[/mm] gehört zu [mm][/mm] und jedes
> [mm]w_j[/mm] zu [mm][/mm]."
>
> dass man [mm]X \gdw Y[/mm] zeigen soll.
>
> Das macht man am Besten (anfangs) getrennt, man zeigt
> "[mm]\Rightarrow[/mm]" (kurz für [mm]X \Rightarrow Y[/mm]):
> Man setzt
> voraus, dass [mm]X\,[/mm] wahr ist. Unter dieser Annahme ist zu
> zeigen, dass
> damit gefolgert werden kann, dass auch [mm]Y\,[/mm] wahr sein
> muss.
>
> "[mm]\Leftarrow[/mm]" (kurz für [mm]Y \Leftarrow X[/mm] bzw. [mm]Y \Rightarrow X[/mm]):
>
> Man setzt voraus, dass [mm]Y\,[/mm] wahr ist. Unter dieser Annahme
> ist zu zeigen, dass
> damit gefolgert werden kann, dass auch [mm]X\,[/mm] wahr sein
> muss.
>
> Soweit alles nachvollziehbar?
> Soweit ich das gesehen habe, konntest Du den Beweis von
> "[mm]\Rightarrow[/mm]" problemlos
> nachvollziehen. (Nur [mm]v_i \in [/mm] muss noch
> genauer begründet werden!))
Man kann [mm] v_i [/mm] aus $ [mm] v_1, \ldots, v_n [/mm] $ bilden, weil der Span ja aus allen Linearkombinationen der Vektoren $ [mm] v_1, \ldots, v_n [/mm] $ besteht. Wenn [mm] v_1 [/mm] jetzt in $ [mm] span(v_1, \ldots, v_n) [/mm] $ liegt, heißt das, dass er ein Term der Linearkombination ist. Damit kann man ihn auch aus den anderen Elementen bilden. Also
$ [mm] a_iv_i [/mm] = [mm] -(a_1v_1 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] \neg a_in_i [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] a_nv_n) [/mm] $, für [mm] $a_1, \ldots, a_n \in \IR$.
[/mm]
>
> Dass man für Mengen
>
> [mm]A,B\,[/mm]
>
> die Gleichheit [mm]A=B\,[/mm] beweisen kann, indem man sowohl [mm]A \subseteqq B[/mm]
> als auch
> [mm]B \subseteqq A[/mm] beweist, ist wohl auch klar. Oder?
Ja, das ist nachvollziehbar.
>
> Wenn Du so willst, dann hatten wir oben beim Beweis von
> "[mm]\Leftarrow[/mm]" halt
>
> [mm]A=[/mm] und [mm]B=[/mm]
>
> gesetzt.
>
> Unter der Voraussetzung, dass [mm]Y\,[/mm] gelte (es sind alle [mm]v_i \in B[/mm]
> und alle [mm]w_j \in A[/mm]),
> habe ich Dir *angedeutet*, wie man
> dann [mm]A \subseteqq B[/mm] folgern kann. Es fehlt
> also nur noch [mm]B \subseteqq A\,.[/mm]
>
> Allerdings, wenn man sich den Beweis von [mm]\Leftarrow[/mm] genau
> anschaut, gibt es
> noch zwei Zusatzaussagen, die man beweisen soll, weil sie
> dann beim Beweis
> sehr gut verwendet werden können:
>
> 1.) Für [mm]T,W \subseteqq V[/mm] gilt:
> Ist [mm]T \subseteqq W\,,[/mm] so folgt
>
> [mm]\,[/mm] [mm]\subseteqq[/mm] [mm]\,.[/mm]
>
> Warum braucht man das? Ganz einfach, bei "[mm]\Leftarrow[/mm]" steht
> bei uns
>
> [mm]\{v_1,...,v_n\}[/mm] [mm]\subseteqq[/mm] [mm]B\,.[/mm]
>
> Das wissen wir nach Voraussetzung. Mit 1. folgt dann
>
> [mm]<\{v_1,...,v_n\}>[/mm] [mm]\subseteqq[/mm] [mm]\,.[/mm]
>
> Und es ist per Def.
>
> [mm]=<\{v_1,...,v_n\}>\,.[/mm]
>
> Wir könnten also glauben, dass wir nun schon
>
> [mm]A\,[/mm] [mm]\subseteqq[/mm] [mm]B\,[/mm]
>
> bewiesen haben. Das ist auch so, ist uns aber noch nicht
> ganz klar, denn
> oben sehen wir doch "nur"
>
> [mm]A\,[/mm] [mm]\subseteqq[/mm] [mm]\,.[/mm]
>
> Helfen würde es uns nun, wenn wir auch
>
> [mm]\,[/mm] [mm]\subseteqq[/mm] [mm]B\,[/mm]
>
> wüßten. Da aber
>
> [mm]B\,[/mm] [mm]\subseteqq[/mm] [mm]\,[/mm]
>
> klar ist (warum?)
Mir ist das leider nicht klar...
> , ist die Frage, ob hier [mm]\,[/mm] [mm]\subseteqq B[/mm]
> gilt, nichts anderes
> als die Frage, ob [mm]\,=\,B[/mm] gilt. Deswegen war der
> "Arbeitsauftrag" an Dich:
> Begründe, dass
>
> [mm]\,=B\,[/mm]
>
> gilt.
>
> Das kann man durchaus auch "schnell" machen, wenn man etwa
> weiß, dass
> der lineare Span einer Teilmenge eines VRs der kleinste
> Unterraum des VRs
> ist, der diese Menge als Teilmenge enthält.
>
> Ihr habt aber den Span halt mit Linearkombinationen
> definiert und diese
> eben erwähnte Charakterisierung wohl noch nicht zur
> Verfügung. Deswegen
> wäre dann etwa so vorzugehen:
> Es ist
>
> [mm]\,[/mm] [mm]\subseteqq[/mm] [mm]B\,[/mm]
>
> nachzuweisen.
> Sei [mm]p \in \,.[/mm] Dann gibt es mit einem [mm]\ell \in \IN[/mm]
>
> [mm]S_1,..., S_\ell \in B[/mm] und zugehörige Skalare [mm]R_j \in K[/mm]
>
> mit
>
> (I) [mm]p=\sum_{k=1}^\ell R_k S_k\,.[/mm]
>
> Zu zeigen ist [mm]p \in B\,,[/mm] nach Def. von [mm]B=[/mm]
> also, dass es Skalare
> [mm]r_1,...,r_m \in K[/mm] so gibt, dass
>
> [mm]p=\sum_{k=1}^m r_k w_k\,[/mm]
>
> geschrieben werden kann.
>
> Schreibe dazu in (I) die [mm]S_k[/mm] als Linearkombination der
> [mm]w_1,...,w_m[/mm] (das geht,
> weil ja alle [mm]S_k \in B=[/mm] sind) und sortiere
> das Ganze ein wenig
> um, um zu sehen, wie solche "gesuchten" [mm]r_k[/mm] mithilfe der
> [mm]R_j[/mm] definiert
> werden können.
>
Ich danke dir wie immer für deine Mühe, nur ich merke, wie ich einfach nicht mehr darüber nachdenken kann, was vielleicht daran liegt, dass ich jetzt schon zu lange darüber nachdenke und man irgendwann einfach so verwirrt ist, dass man in den einfachsten Strukturen kein System mehr sieht. Da ich nur noch heute und morgen (wovon ein Teil von morgen zeitlich wegfällt) Zeit hab und solche Schwierigkeiten mit dieser Aufgabe habe, muss ich schauen, ob ich sie nicht vielleicht einfach weglasse. Das wäre schade um die Note (zumal diese zu einem kleinen Teil in die Endnote einfließt), weil eine nicht gemachte/gelöste Aufgabe schon mal zwei Notenpunkte kostet. Außerdem gefällt es mir zwar nicht, wenn ich etwas nicht verstehe, obwohl ich es verstehen will, aber mittlerweile bin ich einfach zu frustriert. Ich hoffe, du kannst das nachvollziehen. Vielleicht kannst du ja noch mehr Tipps geben, sodass auch ich es endlich verstehe, aber wir werden sehen. Vielen Dank für deine Mühe.
> Gruß,
> Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:55 So 21.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo nochmal,
> >
> > die erweiterte Aufgabe war:
> > Zeige, dass [mm]= [/mm],
> dann
> > und nur dann, wenn
> > jedes [mm]v_i[/mm] zu [mm][/mm] und jedes [mm]w_j[/mm] zu [mm][/mm]
> > gehört.
> >
> > Dort steht für die Aussagen
> >
> > [mm]X \colon[/mm] "[mm][/mm] [mm]=\,[/mm] [mm][/mm]."
> >
> > [mm]Y \colon[/mm] "Jedes [mm]v_i[/mm] gehört zu [mm][/mm] und jedes
> > [mm]w_j[/mm] zu [mm][/mm]."
> >
> > dass man [mm]X \gdw Y[/mm] zeigen soll.
> >
> > Das macht man am Besten (anfangs) getrennt, man zeigt
> > "[mm]\Rightarrow[/mm]" (kurz für [mm]X \Rightarrow Y[/mm]):
> > Man
> setzt
> > voraus, dass [mm]X\,[/mm] wahr ist. Unter dieser Annahme ist zu
> > zeigen, dass
> > damit gefolgert werden kann, dass auch [mm]Y\,[/mm] wahr sein
> > muss.
> >
> > "[mm]\Leftarrow[/mm]" (kurz für [mm]Y \Leftarrow X[/mm] bzw. [mm]Y \Rightarrow X[/mm]):
>
> >
> > Man setzt voraus, dass [mm]Y\,[/mm] wahr ist. Unter dieser Annahme
> > ist zu zeigen, dass
> > damit gefolgert werden kann, dass auch [mm]X\,[/mm] wahr sein
> > muss.
> >
> > Soweit alles nachvollziehbar?
> > Soweit ich das gesehen habe, konntest Du den Beweis von
> > "[mm]\Rightarrow[/mm]" problemlos
> > nachvollziehen. (Nur [mm]v_i \in [/mm] muss noch
> > genauer begründet werden!))
>
> Man kann [mm]v_i[/mm] aus [mm]v_1, \ldots, v_n[/mm] bilden, weil der Span ja
> aus allen Linearkombinationen der Vektoren [mm]v_1, \ldots, v_n[/mm]
> besteht. Wenn [mm]v_1[/mm] jetzt in [mm]span(v_1, \ldots, v_n)[/mm] liegt,
> heißt das, dass er ein Term der Linearkombination ist.
Es gibt doch nicht nur "eine" Linearkombination.
> Damit kann man ihn auch aus den anderen Elementen bilden.
> Also
>
> [mm]a_iv_i = -(a_1v_1 + \ldots + \neg a_in_i + \ldots + a_nv_n) [/mm],
> für [mm]a_1, \ldots, a_n \in \IR[/mm].
ich verstehe Deine Notation nicht. Kennst Du das
![[]](/images/popup.gif) Kronecker-Delta?
Fasse es hier ein wenig spezieller auf, indem Du sagst, dass die [mm] $1\,$ [/mm] die [mm] $1=1_K \in [/mm] K$
und die [mm] $0\,$ [/mm] die [mm] $0=0_K \in [/mm] K$ bedeuten möge.
Damit kannst Du schreiben
[mm] $v_i=\sum_{k=1}^n \delta_{i,k}*v_k\,.$
[/mm]
Anders gesagt:
[mm] $v_1=1*v_1+0*v_2+...+0*v_n\,,$
[/mm]
[mm] $v_2=0*v_1+1*v_2+0*v_3+...+0*v_n\,,$
[/mm]
[mm] $v_3=0*v_1+0*v_2+1*v_3+0*v_4...+0*v_n\,,$
[/mm]
etc. pp.
Okay?
> >
> > Dass man für Mengen
> >
> > [mm]A,B\,[/mm]
> >
> > die Gleichheit [mm]A=B\,[/mm] beweisen kann, indem man sowohl [mm]A \subseteqq B[/mm]
> > als auch
> > [mm]B \subseteqq A[/mm] beweist, ist wohl auch klar. Oder?
>
> Ja, das ist nachvollziehbar.
>
> >
> > Wenn Du so willst, dann hatten wir oben beim Beweis von
> > "[mm]\Leftarrow[/mm]" halt
> >
> > [mm]A=[/mm] und [mm]B=[/mm]
> >
> > gesetzt.
> >
> > Unter der Voraussetzung, dass [mm]Y\,[/mm] gelte (es sind alle [mm]v_i \in B[/mm]
> > und alle [mm]w_j \in A[/mm]),
> > habe ich Dir *angedeutet*, wie
> man
> > dann [mm]A \subseteqq B[/mm] folgern kann. Es fehlt
> > also nur noch [mm]B \subseteqq A\,.[/mm]
> >
> > Allerdings, wenn man sich den Beweis von [mm]\Leftarrow[/mm] genau
> > anschaut, gibt es
> > noch zwei Zusatzaussagen, die man beweisen soll, weil
> sie
> > dann beim Beweis
> > sehr gut verwendet werden können:
> >
> > 1.) Für [mm]T,W \subseteqq V[/mm] gilt:
> > Ist [mm]T \subseteqq W\,,[/mm] so folgt
> >
> > [mm]\,[/mm] [mm]\subseteqq[/mm] [mm]\,.[/mm]
> >
> > Warum braucht man das? Ganz einfach, bei "[mm]\Leftarrow[/mm]" steht
> > bei uns
> >
> > [mm]\{v_1,...,v_n\}[/mm] [mm]\subseteqq[/mm] [mm]B\,.[/mm]
> >
> > Das wissen wir nach Voraussetzung. Mit 1. folgt dann
> >
> > [mm]<\{v_1,...,v_n\}>[/mm] [mm]\subseteqq[/mm] [mm]\,.[/mm]
> >
> > Und es ist per Def.
> >
> > [mm]=<\{v_1,...,v_n\}>\,.[/mm]
> >
> > Wir könnten also glauben, dass wir nun schon
> >
> > [mm]A\,[/mm] [mm]\subseteqq[/mm] [mm]B\,[/mm]
> >
> > bewiesen haben. Das ist auch so, ist uns aber noch nicht
> > ganz klar, denn
> > oben sehen wir doch "nur"
> >
> > [mm]A\,[/mm] [mm]\subseteqq[/mm] [mm]\,.[/mm]
> >
> > Helfen würde es uns nun, wenn wir auch
> >
> > [mm]\,[/mm] [mm]\subseteqq[/mm] [mm]B\,[/mm]
> >
> > wüßten. Da aber
> >
> > [mm]B\,[/mm] [mm]\subseteqq[/mm] [mm]\,[/mm]
> >
> > klar ist (warum?)
>
> Mir ist das leider nicht klar...
Sei $b [mm] \in B\,.$ [/mm] Per Definitionem ist
[mm] $=\left\{\sum_{k=1}^N \lambda_k b_k:\;\; b_1,...,b_N \in B, \lambda_1,...,\lambda_N \in K; N \in \IN_0 \right\}=\bigcup_{N \in \IN_0}\left\{\sum_{k=1}^N \lambda_k b_k:\;\; b_1,...,b_N \in B, \lambda_1,...,\lambda_N \in K\right\}$
[/mm]
Mit [mm] $1=1_K \in [/mm] K$ und [mm] $b_1:=b \in [/mm] B$ ist daher offensichlich
[mm] $b=1*b_1 \in \left\{\sum_{k=1}^1 \lambda_k b_k:\;\; b_1\in B, \lambda_1 \in K\right\}$ $\subseteqq$ $\bigcup\limits_{N \in \IN_0}\left\{\sum_{k=1}^N \lambda_k b_k:\;\; b_1,...,b_N \in B, \lambda_1,...,\lambda_N \in K\right\}\,,$
[/mm]
also $b [mm] \in \,.$
[/mm]
Da $b [mm] \in [/mm] B$ beliebig war, folgt...?
> > , ist die Frage, ob hier [mm]\,[/mm] [mm]\subseteqq B[/mm]
> > gilt, nichts anderes
> > als die Frage, ob [mm]\,=\,B[/mm] gilt. Deswegen war der
> > "Arbeitsauftrag" an Dich:
> > Begründe, dass
> >
> > [mm]\,=B\,[/mm]
> >
> > gilt.
> >
> > Das kann man durchaus auch "schnell" machen, wenn man etwa
> > weiß, dass
> > der lineare Span einer Teilmenge eines VRs der kleinste
> > Unterraum des VRs
> > ist, der diese Menge als Teilmenge enthält.
> >
> > Ihr habt aber den Span halt mit Linearkombinationen
> > definiert und diese
> > eben erwähnte Charakterisierung wohl noch nicht zur
> > Verfügung. Deswegen
> > wäre dann etwa so vorzugehen:
> > Es ist
> >
> > [mm]\,[/mm] [mm]\subseteqq[/mm] [mm]B\,[/mm]
> >
> > nachzuweisen.
> > Sei [mm]p \in \,.[/mm] Dann gibt es mit einem [mm]\ell \in \IN[/mm]
> >
> > [mm]S_1,..., S_\ell \in B[/mm] und zugehörige Skalare [mm]R_j \in K[/mm]
>
> >
> > mit
> >
> > (I) [mm]p=\sum_{k=1}^\ell R_k S_k\,.[/mm]
> >
> > Zu zeigen ist [mm]p \in B\,,[/mm] nach Def. von [mm]B=[/mm]
> > also, dass es Skalare
> > [mm]r_1,...,r_m \in K[/mm] so gibt, dass
> >
> > [mm]p=\sum_{k=1}^m r_k w_k\,[/mm]
> >
> > geschrieben werden kann.
> >
> > Schreibe dazu in (I) die [mm]S_k[/mm] als Linearkombination der
> > [mm]w_1,...,w_m[/mm] (das geht,
> > weil ja alle [mm]S_k \in B=[/mm] sind) und sortiere
> > das Ganze ein wenig
> > um, um zu sehen, wie solche "gesuchten" [mm]r_k[/mm] mithilfe
> der
> > [mm]R_j[/mm] definiert
> > werden können.
> >
>
> Ich danke dir wie immer für deine Mühe, nur ich merke,
> wie ich einfach nicht mehr darüber nachdenken kann, was
> vielleicht daran liegt, dass ich jetzt schon zu lange
> darüber nachdenke und man irgendwann einfach so verwirrt
> ist, dass man in den einfachsten Strukturen kein System
> mehr sieht. Da ich nur noch heute und morgen (wovon ein
> Teil von morgen zeitlich wegfällt) Zeit hab und solche
> Schwierigkeiten mit dieser Aufgabe habe, muss ich schauen,
> ob ich sie nicht vielleicht einfach weglasse. Das wäre
> schade um die Note (zumal diese zu einem kleinen Teil in
> die Endnote einfließt), weil eine nicht gemachte/gelöste
> Aufgabe schon mal zwei Notenpunkte kostet.
Schreib' doch einfach mal alles zu der Aufgabe hin, was Du davon verstehst.
Oder bekommt ihr auch negative Punkte, wenn da Unsinniges steht?
> Außerdem
> gefällt es mir zwar nicht, wenn ich etwas nicht verstehe,
> obwohl ich es verstehen will, aber mittlerweile bin ich
> einfach zu frustriert. Ich hoffe, du kannst das
> nachvollziehen.
Klar. Denke einfach mal mehr in Ruhe darüber nach. Die Aufgabe ist nicht
wirklich besonders schwer. Bei Gelegenheit schau' mal in
Bosch, Lineare Algebra
rein. Ich find auch
Gawronski, Grundlagen der Linearen Algebra
gerade gut, um ein Gefühl für die Lineare Algebra zu bekommen, zumal
dort auch einiges *anschaulich* mit der analytischen Geometrie verdeutlicht
wird. Allerdings habe ich das Buch letztens noch für knapp 3 Euro im Laden
gekauft (okay, 2 Jahre ist das her). Im Internet habe ich spaßeshalber mal
geguckt, manche wollen das mittlerweile zu Hammerpreisen verkaufen:
Das Maximale war 100 Euro. Bis 15 Euro würde ich das noch als vertretbar
finden, wenn Du es Dir kaufen wolltest, alles darüber lohnt sich nicht. So
genial ist das Werk nun auch nicht; aber es ist halt auch sehr pragmatisch,
im Sinne von "zielorientiert".
> Vielleicht kannst du ja noch mehr Tipps
> geben, sodass auch ich es endlich verstehe, aber wir werden
> sehen. Vielen Dank für deine Mühe.
Vielleicht fangen wir erstmal damit an, dass wir nochmal gucken, was Dir
helfen kann.
Meine erste Frage ist eigentlich:
Habt ihr für BELIEBIGE TEILMENGEN $T [mm] \subseteqq [/mm] V$ eigentlich
[mm] $\,$
[/mm]
definiert? Denn damit arbeite ich ja permanent, und es kann sein, dass Du deswegen
schon den Überblick verlierst.
Falls nein: Selbst, wenn ihr nur für "endliche Teilmengen $E [mm] \subseteqq [/mm] V$", also
[mm] $E=\{v_1,...,v_n\}$ [/mm] mit [mm] $|E|=n\,$
[/mm]
halt
[mm] $\,$ [/mm] bzw. [mm] $$
[/mm]
definiert habt (was ich alles andere als gut fände!), dann wäre es für mich
schonmal wichtig, zu sehen, ob Dir klar ist, was [mm] $\,$ [/mm] eigentlich ist.
Um das deutlicher zu machen:
Was ist (anschaulich)
[mm] $<(1,2)^T> \subseteqq \IR^2$
[/mm]
und was ist (anschaulich)
[mm] $<(1,0,0)^T,\;(0,1,0)^T> \subseteqq \IR^3$?
[/mm]
[mm] ($\IR^n$ [/mm] ist immer als *üblicher [mm] $\IR$-Vektorraum* [/mm] aufzufassen, wenn ich nichts
anderes sage!)
P.S. Bei Rückfragen: Jedenfalls ich werde erst ein wenig später antworten
können. Aber Du darfst auch gerne dennoch weiterfragen, denn manchmal
hilft es ja gerade, dass jemand aus einem anderen Blickwinkel oder mit
anderen Worten etwas dazu sagt.
P.P.S. Lange Pausen vom Nachdenken sind auch gut, manchmal müssen sich
auch die Gedanken im Gehirn ein wenig selbst sortieren dürfen. Hilfreich
dafür kann es aber dennoch sein, dass Du wenigstens die letzten beiden
Fragen vor dem P.S. zuvor überdenkst und ggf. nachfragst!
Auf jeden Fall: Zwischendurch mal Abschalten und ganz was anderes tun,
der Drang, weiterzumachen, wird sicher eh von alleine wieder kommen. ^^
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
> Hallo,
>
> > > Hallo nochmal,
> > >
> > > die erweiterte Aufgabe war:
> > > Zeige, dass [mm]= [/mm],
> > dann
> > > und nur dann, wenn
> > > jedes [mm]v_i[/mm] zu [mm][/mm] und jedes [mm]w_j[/mm] zu [mm][/mm]
> > > gehört.
> > >
> > > Dort steht für die Aussagen
> > >
> > > [mm]X \colon[/mm] "[mm][/mm] [mm]=\,[/mm] [mm][/mm]."
>
> > >
> > > [mm]Y \colon[/mm] "Jedes [mm]v_i[/mm] gehört zu [mm][/mm] und jedes
> > > [mm]w_j[/mm] zu [mm][/mm]."
> > >
> > > dass man [mm]X \gdw Y[/mm] zeigen soll.
> > >
> > > Das macht man am Besten (anfangs) getrennt, man zeigt
> > > "[mm]\Rightarrow[/mm]" (kurz für [mm]X \Rightarrow Y[/mm]):
> > >
> Man
> > setzt
> > > voraus, dass [mm]X\,[/mm] wahr ist. Unter dieser Annahme ist zu
> > > zeigen, dass
> > > damit gefolgert werden kann, dass auch [mm]Y\,[/mm] wahr sein
> > > muss.
> > >
> > > "[mm]\Leftarrow[/mm]" (kurz für [mm]Y \Leftarrow X[/mm] bzw. [mm]Y \Rightarrow X[/mm]):
>
> >
> > >
> > > Man setzt voraus, dass [mm]Y\,[/mm] wahr ist. Unter dieser Annahme
> > > ist zu zeigen, dass
> > > damit gefolgert werden kann, dass auch [mm]X\,[/mm] wahr sein
> > > muss.
> > >
> > > Soweit alles nachvollziehbar?
> > > Soweit ich das gesehen habe, konntest Du den Beweis
> von
> > > "[mm]\Rightarrow[/mm]" problemlos
> > > nachvollziehen. (Nur [mm]v_i \in [/mm] muss noch
> > > genauer begründet werden!))
> >
> > Man kann [mm]v_i[/mm] aus [mm]v_1, \ldots, v_n[/mm] bilden, weil der Span ja
> > aus allen Linearkombinationen der Vektoren [mm]v_1, \ldots, v_n[/mm]
> > besteht. Wenn [mm]v_1[/mm] jetzt in [mm]span(v_1, \ldots, v_n)[/mm] liegt,
> > heißt das, dass er ein Term der Linearkombination ist.
>
> Es gibt doch nicht nur "eine" Linearkombination.
>
> > Damit kann man ihn auch aus den anderen Elementen bilden.
> > Also
> >
> > [mm]a_iv_i = -(a_1v_1 + \ldots + \neg a_in_i + \ldots + a_nv_n) [/mm],
> > für [mm]a_1, \ldots, a_n \in \IR[/mm].
>
> ich verstehe Deine Notation nicht. Kennst Du das
>
> Kronecker-Delta?
>
> Fasse es hier ein wenig spezieller auf, indem Du sagst,
> dass die [mm]1\,[/mm] die [mm]1=1_K \in K[/mm]
> und die [mm]0\,[/mm] die [mm]0=0_K \in K[/mm]
> bedeuten möge.
>
> Damit kannst Du schreiben
>
> [mm]v_i=\sum_{k=1}^n \delta_{i,k}*v_k\,.[/mm]
>
> Anders gesagt:
>
> [mm]v_1=1*v_1+0*v_2+...+0*v_n\,,[/mm]
>
> [mm]v_2=0*v_1+1*v_2+0*v_3+...+0*v_n\,,[/mm]
>
> [mm]v_3=0*v_1+0*v_2+1*v_3+0*v_4...+0*v_n\,,[/mm]
>
> etc. pp.
>
> Okay?
>
Ich denke schon. Wenn das $k$ vom k-ten Vektor übereinstimmt mit dem i-ten Term ($i=k$), dann ist $ [mm] \delta [/mm] = 1 $, ansonsten $ [mm] \delta [/mm] = 0 $.
> > >
> > > Dass man für Mengen
> > >
> > > [mm]A,B\,[/mm]
> > >
> > > die Gleichheit [mm]A=B\,[/mm] beweisen kann, indem man sowohl [mm]A \subseteqq B[/mm]
> > > als auch
> > > [mm]B \subseteqq A[/mm] beweist, ist wohl auch klar. Oder?
> >
> > Ja, das ist nachvollziehbar.
> >
> > >
> > > Wenn Du so willst, dann hatten wir oben beim Beweis von
> > > "[mm]\Leftarrow[/mm]" halt
> > >
> > > [mm]A=[/mm] und [mm]B=[/mm]
> > >
> > > gesetzt.
> > >
> > > Unter der Voraussetzung, dass [mm]Y\,[/mm] gelte (es sind alle [mm]v_i \in B[/mm]
> > > und alle [mm]w_j \in A[/mm]),
> > > habe ich Dir *angedeutet*,
> wie
> > man
> > > dann [mm]A \subseteqq B[/mm] folgern kann. Es fehlt
> > > also nur noch [mm]B \subseteqq A\,.[/mm]
> > >
> > > Allerdings, wenn man sich den Beweis von [mm]\Leftarrow[/mm] genau
> > > anschaut, gibt es
> > > noch zwei Zusatzaussagen, die man beweisen soll,
> weil
> > sie
> > > dann beim Beweis
> > > sehr gut verwendet werden können:
> > >
> > > 1.) Für [mm]T,W \subseteqq V[/mm] gilt:
> > > Ist [mm]T \subseteqq W\,,[/mm] so folgt
> > >
> > > [mm]\,[/mm] [mm]\subseteqq[/mm] [mm]\,.[/mm]
> > >
> > > Warum braucht man das? Ganz einfach, bei "[mm]\Leftarrow[/mm]" steht
> > > bei uns
> > >
> > > [mm]\{v_1,...,v_n\}[/mm] [mm]\subseteqq[/mm] [mm]B\,.[/mm]
> > >
> > > Das wissen wir nach Voraussetzung. Mit 1. folgt dann
> > >
> > > [mm]<\{v_1,...,v_n\}>[/mm] [mm]\subseteqq[/mm] [mm]\,.[/mm]
> > >
> > > Und es ist per Def.
> > >
> > > [mm]=<\{v_1,...,v_n\}>\,.[/mm]
> > >
> > > Wir könnten also glauben, dass wir nun schon
> > >
> > > [mm]A\,[/mm] [mm]\subseteqq[/mm] [mm]B\,[/mm]
> > >
> > > bewiesen haben. Das ist auch so, ist uns aber noch nicht
> > > ganz klar, denn
> > > oben sehen wir doch "nur"
> > >
> > > [mm]A\,[/mm] [mm]\subseteqq[/mm] [mm]\,.[/mm]
> > >
> > > Helfen würde es uns nun, wenn wir auch
> > >
> > > [mm]\,[/mm] [mm]\subseteqq[/mm] [mm]B\,[/mm]
> > >
> > > wüßten. Da aber
> > >
> > > [mm]B\,[/mm] [mm]\subseteqq[/mm] [mm]\,[/mm]
> > >
> > > klar ist (warum?)
> >
> > Mir ist das leider nicht klar...
>
> Sei [mm]b \in B\,.[/mm] Per Definitionem ist
>
> [mm]=\left\{\sum_{k=1}^N \lambda_k b_k:\;\; b_1,...,b_N \in B, \lambda_1,...,\lambda_N \in K; N \in \IN_0 \right\}=\bigcup_{N \in \IN_0}\left\{\sum_{k=1}^N \lambda_k b_k:\;\; b_1,...,b_N \in B, \lambda_1,...,\lambda_N \in K\right\}[/mm]
>
>
> Mit [mm]1=1_K \in K[/mm] und [mm]b_1:=b \in B[/mm] ist daher offensichlich
>
> [mm]b=1*b_1 \in \left\{\sum_{k=1}^1 \lambda_k b_k:\;\; b_1\in B, \lambda_1 \in K\right\}[/mm]
> [mm]\subseteqq[/mm] [mm]\bigcup\limits_{N \in \IN_0}\left\{\sum_{k=1}^N \lambda_k b_k:\;\; b_1,...,b_N \in B, \lambda_1,...,\lambda_N \in K\right\}\,,[/mm]
>
> also [mm]b \in \,.[/mm]
>
> Da [mm]b \in B[/mm] beliebig war, folgt...?
>
> > > , ist die Frage, ob hier [mm]\,[/mm] [mm]\subseteqq B[/mm]
> > > gilt, nichts anderes
> > > als die Frage, ob [mm]\,=\,B[/mm] gilt. Deswegen war der
> > > "Arbeitsauftrag" an Dich:
> > > Begründe, dass
> > >
> > > [mm]\,=B\,[/mm]
> > >
> > > gilt.
> > >
> > > Das kann man durchaus auch "schnell" machen, wenn man etwa
> > > weiß, dass
> > > der lineare Span einer Teilmenge eines VRs der
> kleinste
> > > Unterraum des VRs
> > > ist, der diese Menge als Teilmenge enthält.
> > >
> > > Ihr habt aber den Span halt mit Linearkombinationen
> > > definiert und diese
> > > eben erwähnte Charakterisierung wohl noch nicht zur
> > > Verfügung. Deswegen
> > > wäre dann etwa so vorzugehen:
> > > Es ist
> > >
> > > [mm]\,[/mm] [mm]\subseteqq[/mm] [mm]B\,[/mm]
> > >
> > > nachzuweisen.
> > > Sei [mm]p \in \,.[/mm] Dann gibt es mit einem [mm]\ell \in \IN[/mm]
> >
> >
> > > [mm]S_1,..., S_\ell \in B[/mm] und zugehörige Skalare [mm]R_j \in K[/mm]
>
> >
> > >
> > > mit
> > >
> > > (I) [mm]p=\sum_{k=1}^\ell R_k S_k\,.[/mm]
> > >
> > > Zu zeigen ist [mm]p \in B\,,[/mm] nach Def. von [mm]B=[/mm]
> > > also, dass es Skalare
> > > [mm]r_1,...,r_m \in K[/mm] so gibt, dass
> > >
> > > [mm]p=\sum_{k=1}^m r_k w_k\,[/mm]
> > >
> > > geschrieben werden kann.
> > >
> > > Schreibe dazu in (I) die [mm]S_k[/mm] als Linearkombination der
> > > [mm]w_1,...,w_m[/mm] (das geht,
> > > weil ja alle [mm]S_k \in B=[/mm] sind) und
> sortiere
> > > das Ganze ein wenig
> > > um, um zu sehen, wie solche "gesuchten" [mm]r_k[/mm] mithilfe
> > der
> > > [mm]R_j[/mm] definiert
> > > werden können.
> > >
> >
> > Ich danke dir wie immer für deine Mühe, nur ich merke,
> > wie ich einfach nicht mehr darüber nachdenken kann, was
> > vielleicht daran liegt, dass ich jetzt schon zu lange
> > darüber nachdenke und man irgendwann einfach so verwirrt
> > ist, dass man in den einfachsten Strukturen kein System
> > mehr sieht. Da ich nur noch heute und morgen (wovon ein
> > Teil von morgen zeitlich wegfällt) Zeit hab und solche
> > Schwierigkeiten mit dieser Aufgabe habe, muss ich schauen,
> > ob ich sie nicht vielleicht einfach weglasse. Das wäre
> > schade um die Note (zumal diese zu einem kleinen Teil in
> > die Endnote einfließt), weil eine nicht gemachte/gelöste
> > Aufgabe schon mal zwei Notenpunkte kostet.
>
> Schreib' doch einfach mal alles zu der Aufgabe hin, was Du
> davon verstehst.
> Oder bekommt ihr auch negative Punkte, wenn da Unsinniges
> steht?
>
> > Außerdem
> > gefällt es mir zwar nicht, wenn ich etwas nicht verstehe,
> > obwohl ich es verstehen will, aber mittlerweile bin ich
> > einfach zu frustriert. Ich hoffe, du kannst das
> > nachvollziehen.
>
> Klar. Denke einfach mal mehr in Ruhe darüber nach. Die
> Aufgabe ist nicht
> wirklich besonders schwer. Bei Gelegenheit schau' mal in
>
> Bosch, Lineare Algebra
>
> rein. Ich find auch
>
> Gawronski, Grundlagen der Linearen Algebra
>
> gerade gut, um ein Gefühl für die Lineare Algebra zu
> bekommen, zumal
> dort auch einiges *anschaulich* mit der analytischen
> Geometrie verdeutlicht
> wird. Allerdings habe ich das Buch letztens noch für
> knapp 3 Euro im Laden
> gekauft (okay, 2 Jahre ist das her). Im Internet habe ich
> spaßeshalber mal
> geguckt, manche wollen das mittlerweile zu Hammerpreisen
> verkaufen:
> Das Maximale war 100 Euro. Bis 15 Euro würde ich das noch
> als vertretbar
> finden, wenn Du es Dir kaufen wolltest, alles darüber
> lohnt sich nicht. So
> genial ist das Werk nun auch nicht; aber es ist halt auch
> sehr pragmatisch,
> im Sinne von "zielorientiert".
>
> > Vielleicht kannst du ja noch mehr Tipps
> > geben, sodass auch ich es endlich verstehe, aber wir werden
> > sehen. Vielen Dank für deine Mühe.
>
> Vielleicht fangen wir erstmal damit an, dass wir nochmal
> gucken, was Dir
> helfen kann.
>
> Meine erste Frage ist eigentlich:
> Habt ihr für BELIEBIGE TEILMENGEN [mm]T \subseteqq V[/mm]
> eigentlich
>
> [mm]\,[/mm]
>
> definiert? Denn damit arbeite ich ja permanent, und es kann
> sein, dass Du deswegen
> schon den Überblick verlierst.
Ich kann mich nicht erinnern, dass wir z.B. jemals diese Notation benutzt hätten. Es ging bis jetzt auch immer um Vektoren [mm] $v_1, \ldots, v_n [/mm] $, also eine endliche Anzahl. Meinst du das?
>
> Falls nein: Selbst, wenn ihr nur für "endliche Teilmengen
> [mm]E \subseteqq V[/mm]", also
>
> [mm]E=\{v_1,...,v_n\}[/mm] mit [mm]|E|=n\,[/mm]
>
> halt
>
> [mm]\,[/mm] bzw. [mm][/mm]
>
> definiert habt (was ich alles andere als gut fände!), dann
> wäre es für mich
> schonmal wichtig, zu sehen, ob Dir klar ist, was [mm]\,[/mm]
> eigentlich ist.
>
> Um das deutlicher zu machen:
> Was ist (anschaulich)
>
> [mm]<(1,2)^T> \subseteqq \IR^2[/mm]
Also, $ [mm] <(1,2)^T> [/mm] $ wäre dann ja der Span von [mm] \vektor{1\\2} [/mm] und demnach alle Linearkombinationen des Vektors in [mm] \IR^2 [/mm] sozusagen.
>
> und was ist (anschaulich)
>
> [mm]<(1,0,0)^T,\;(0,1,0)^T> \subseteqq \IR^3[/mm]?
Auch hier wieder der Span von [mm] \vektor{1\\0\\0} [/mm] und [mm] \vektor{0\\1\\0}, [/mm] also alle Linearkombinationen der beiden Vektoren in [mm] \IR^3
[/mm]
>
> ([mm]\IR^n[/mm] ist immer als *üblicher [mm]\IR[/mm]-Vektorraum*
> aufzufassen, wenn ich nichts
> anderes sage!)
>
> P.S. Bei Rückfragen: Jedenfalls ich werde erst ein wenig
> später antworten
> können. Aber Du darfst auch gerne dennoch weiterfragen,
> denn manchmal
> hilft es ja gerade, dass jemand aus einem anderen
> Blickwinkel oder mit
> anderen Worten etwas dazu sagt.
>
> P.P.S. Lange Pausen vom Nachdenken sind auch gut, manchmal
> müssen sich
> auch die Gedanken im Gehirn ein wenig selbst sortieren
> dürfen. Hilfreich
> dafür kann es aber dennoch sein, dass Du wenigstens die
> letzten beiden
> Fragen vor dem P.S. zuvor überdenkst und ggf.
> nachfragst!
>
> Auf jeden Fall: Zwischendurch mal Abschalten und ganz was
> anderes tun,
> der Drang, weiterzumachen, wird sicher eh von alleine
> wieder kommen. ^^
>
> Gruß,
> Marcel
Vielen Dank für deine Geduld :P Es ist immer gut, wenn der Andere nicht ungeduldig wird und einem Zeit zum Verstehen lässt :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:44 So 21.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
ich kürze mal das Zitierte, damit wir ein wenig den Überblick behalten:
> > Hallo,
> >
> > > > Hallo nochmal,
> > > >
> > > > die erweiterte Aufgabe war:
> > > > Zeige, dass [mm]= [/mm],
> > > dann
> > > > und nur dann, wenn
> > > > jedes [mm]v_i[/mm] zu [mm][/mm] und jedes [mm]w_j[/mm] zu [mm][/mm]
> > > > gehört.
> > > >
> > > > Dort steht für die Aussagen
> > > >
> > > > [mm]X \colon[/mm] "[mm][/mm] [mm]=\,[/mm] [mm][/mm]."
>
> >
> > > >
> > > > [mm]Y \colon[/mm] "Jedes [mm]v_i[/mm] gehört zu [mm][/mm] und jedes
> > > > [mm]w_j[/mm] zu [mm][/mm]."
> > > >
> > > > dass man [mm]X \gdw Y[/mm] zeigen soll.
> > > >
> > > > Das macht man am Besten (anfangs) getrennt, man zeigt
> > > > "[mm]\Rightarrow[/mm]" (kurz für [mm]X \Rightarrow Y[/mm]):
> > >
> >
> > Man
> > > setzt
> > > > voraus, dass [mm]X\,[/mm] wahr ist. Unter dieser Annahme ist zu
> > > > zeigen, dass
> > > > damit gefolgert werden kann, dass auch [mm]Y\,[/mm] wahr
> sein
> > > > muss.
> > > >
> > > > "[mm]\Leftarrow[/mm]" (kurz für [mm]Y \Leftarrow X[/mm] bzw. [mm]Y \Rightarrow X[/mm]):
>
> >
> > >
> > > >
> > > > Man setzt voraus, dass [mm]Y\,[/mm] wahr ist. Unter dieser Annahme
> > > > ist zu zeigen, dass
> > > > damit gefolgert werden kann, dass auch [mm]X\,[/mm] wahr
> sein
> > > > muss.
> > > >
> > > > Soweit alles nachvollziehbar?
> > > > Soweit ich das gesehen habe, konntest Du den
> Beweis
> > von
> > > > "[mm]\Rightarrow[/mm]" problemlos
> > > > nachvollziehen. (Nur [mm]v_i \in [/mm] muss
> noch
> > > > genauer begründet werden!))
> > >
> > > Man kann [mm]v_i[/mm] aus [mm]v_1, \ldots, v_n[/mm] bilden, weil der Span ja
> > > aus allen Linearkombinationen der Vektoren [mm]v_1, \ldots, v_n[/mm]
> > > besteht. Wenn [mm]v_1[/mm] jetzt in [mm]span(v_1, \ldots, v_n)[/mm] liegt,
> > > heißt das, dass er ein Term der Linearkombination ist.
> >
> > Es gibt doch nicht nur "eine" Linearkombination.
> >
> > > Damit kann man ihn auch aus den anderen Elementen bilden.
> > > Also
> > >
> > > [mm]a_iv_i = -(a_1v_1 + \ldots + \neg a_in_i + \ldots + a_nv_n) [/mm],
> > > für [mm]a_1, \ldots, a_n \in \IR[/mm].
> >
> > ich verstehe Deine Notation nicht. Kennst Du das
> >
> >
> Kronecker-Delta?
> >
> > Fasse es hier ein wenig spezieller auf, indem Du sagst,
> > dass die [mm]1\,[/mm] die [mm]1=1_K \in K[/mm]
> > und die [mm]0\,[/mm] die [mm]0=0_K \in K[/mm]
> > bedeuten möge.
> >
> > Damit kannst Du schreiben
> >
> > [mm]v_i=\sum_{k=1}^n \delta_{i,k}*v_k\,.[/mm]
> >
> > Anders gesagt:
> >
> > [mm]v_1=1*v_1+0*v_2+...+0*v_n\,,[/mm]
> >
> > [mm]v_2=0*v_1+1*v_2+0*v_3+...+0*v_n\,,[/mm]
> >
> > [mm]v_3=0*v_1+0*v_2+1*v_3+0*v_4...+0*v_n\,,[/mm]
> >
> > etc. pp.
> >
> > Okay?
> >
>
> Ich denke schon. Wenn das [mm]k[/mm] vom k-ten Vektor übereinstimmt
> mit dem i-ten Term ([mm]i=k[/mm]), dann ist [mm]\delta = 1 [/mm], ansonsten
> [mm]\delta = 0 [/mm].
ich glaube, Du meinst das Richtige.
> ...
> > Meine erste Frage ist eigentlich:
> > Habt ihr für BELIEBIGE TEILMENGEN [mm]T \subseteqq V[/mm]
> > eigentlich
> >
> > [mm]\,[/mm]
> >
> > definiert? Denn damit arbeite ich ja permanent, und es kann
> > sein, dass Du deswegen
> > schon den Überblick verlierst.
>
> Ich kann mich nicht erinnern, dass wir z.B. jemals diese
> Notation benutzt hätten. Es ging bis jetzt auch immer um
> Vektoren [mm]v_1, \ldots, v_n [/mm], also eine endliche Anzahl.
> Meinst du das?
Ja. Ich finde aber, dass man das nicht machen sollte, weil es meiner Meinung
nach schwerer ist, dann später die Definition für "beliebig viele Vektoren"
zu verstehen. Außerdem wirst Du bei mir dann die Aussage
[mm] $<\;\;>$ $=\,$ $$
[/mm]
gar nicht verstehen können, weil Du mit dem Zeichen linkerhand gar nichts
anzufangen weißt.
In diesem Fall müsten wir
[mm] $\{w_1,...,w_m\}$ $\subseteqq$ $$ $\Rightarrow$ $$ $\subseteqq$ $$
[/mm]
auch anders beweisen (noch ein Nachteil dieser sehr einschränkenden
Definition), ich mach mal eine "Kurzfassung":
Wir können $w [mm] \in $ [/mm] schreiben als
[mm] $w=\sum_{k=1}^m r_k w_k\,.$
[/mm]
Das folgt per Definitionem von [mm] $\,.$
[/mm]
Wir wollen [mm] $w\,$ [/mm] sehen in einer Darstellung
[mm] $w=\sum_{k=1}^\red{n} s_k v_k\,.$
[/mm]
Das folgt per Def. von [mm] $\,.$
[/mm]
Wie geht das? Grobgesagt:
In der Darstellung
[mm] $w=\sum_{k=1}^m r_k w_k$ [/mm] (die wir ja HABEN!)
ersetze jedes [mm] $w_j$ [/mm] durch eine Darstellung der Art
[mm] $w_j=\sum_{k=1}^\red{n} s_k^{(j)} v_k$ [/mm] (solche haben wir auch, weil...?),
und dann sortiere das Ganze ein wenig um. Manchmal hilft es auch, um zu
sehen, was da zu machen ist, wenn man wenigstens mal die Zahlen [mm] $m\,$ [/mm] und [mm] $n\,$ [/mm]
"testweise konkretisiert". Beispielsweise könntest Du ja mal so tun, als wenn
[mm] $m=3\,$ [/mm] und [mm] $n=5\,$ [/mm] wäre (der Rest wird NICHT konkretisiert).
> > Falls nein: Selbst, wenn ihr nur für "endliche Teilmengen
> > [mm]E \subseteqq V[/mm]", also
> >
> > [mm]E=\{v_1,...,v_n\}[/mm] mit [mm]|E|=n\,[/mm]
> >
> > halt
> >
> > [mm]\,[/mm] bzw. [mm][/mm]
> >
> > definiert habt (was ich alles andere als gut fände!), dann
> > wäre es für mich
> > schonmal wichtig, zu sehen, ob Dir klar ist, was [mm]\,[/mm]
> > eigentlich ist.
> >
> > Um das deutlicher zu machen:
> > Was ist (anschaulich)
> >
> > [mm]<(1,2)^T> \subseteqq \IR^2[/mm]
>
> Also, [mm]<(1,2)^T>[/mm] wäre dann ja der Span von [mm]\vektor{1\\2}[/mm]
> und demnach alle Linearkombinationen des Vektors in [mm]\IR^2[/mm]
> sozusagen.
Da steht eine Menge(!). Diese Menge enthält alle die von Dir genannten
Elemente. Aber wie kann man sie einfach beschreiben?
Die Elemente entstehen doch dadurch, dass "man einen Vektor *vervielfältigt*".
Was ist also der genannte Span? Da ich wenigstens das geometrische
Wort von Dir hören will:
Der Graph der Funktion
[mm] $\IR \ni [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] f(x):=2x [mm] \in \IR\,,$
[/mm]
also
[mm] $\text{graph}(f):=\{(x,2x)^T \in \IR^2: x \in \IR\}$
[/mm]
ist nichts anderes als eine
Ur...gs-Ger...
im [mm] $\IR^2\,.$ [/mm] Was hat [mm] $\text{graph}(f)$ [/mm] mit [mm] $<(1,2)^T>$ [/mm] zu tun?
> >
> > und was ist (anschaulich)
> >
> > [mm]<(1,0,0)^T,\;(0,1,0)^T> \subseteqq \IR^3[/mm]?
>
> Auch hier wieder der Span von [mm]\vektor{1\\0\\0}[/mm] und
> [mm]\vektor{0\\1\\0},[/mm] also alle Linearkombinationen der beiden
> Vektoren in [mm]\IR^3[/mm]
Die Bitte an Dich:
Den [mm] $\IR^3$ [/mm] zeichnen wir als kartesisches KO-System und reden dann unter anderem
von den [mm] $x\,$-, $y\,-$ [/mm] und [mm] $z\,$-Achsen. [/mm]
Das kennst Du, oder?
Hier ist durch [mm] $<(1,0,0)^T,(0,1,0)^T>$ [/mm] eine
Ur...gs-Eb...e
gegeben. Welche ist es? (Die [mm] $xy\,$-Ebene, $xz\,$-Ebene [/mm] oder die [mm] $yz\,$-Ebene?)
[/mm]
Nebenbei: Hattest Du in der Schule auch analytische Geometrie? Die Begriffe
"Spannvektoren" sind nicht ganz zufällig gewählt, wenngleich man munieren
könnte, dass sie verwirren können. Bei dem, was ihr momentan an der
Uni lernt, müsste man diese Begriffe besser nur bei "Objektien", die auch
durch den "Ur...g" gehen, verwenden.
Vielleicht auch nochmal eine andere Frage an Dich:
Unterräume des [mm] $\IR^n$ [/mm] müssen
Was?
immer enthalten? Tipp: Ur...g. 
Aber Ebenen tun das halt nicht immer...
> > ([mm]\IR^n[/mm] ist immer als *üblicher [mm]\IR[/mm]-Vektorraum*
> > aufzufassen, wenn ich nichts
> > anderes sage!)
> >
> > P.S. Bei Rückfragen: Jedenfalls ich werde erst ein wenig
> > später antworten
> > können. Aber Du darfst auch gerne dennoch weiterfragen,
> > denn manchmal
> > hilft es ja gerade, dass jemand aus einem anderen
> > Blickwinkel oder mit
> > anderen Worten etwas dazu sagt.
> >
> > P.P.S. Lange Pausen vom Nachdenken sind auch gut, manchmal
> > müssen sich
> > auch die Gedanken im Gehirn ein wenig selbst sortieren
> > dürfen. Hilfreich
> > dafür kann es aber dennoch sein, dass Du wenigstens
> die
> > letzten beiden
> > Fragen vor dem P.S. zuvor überdenkst und ggf.
> > nachfragst!
> >
> > Auf jeden Fall: Zwischendurch mal Abschalten und ganz was
> > anderes tun,
> > der Drang, weiterzumachen, wird sicher eh von alleine
> > wieder kommen. ^^
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
> Vielen Dank für deine Geduld :P Es ist immer gut, wenn der
> Andere nicht ungeduldig wird und einem Zeit zum Verstehen
> lässt :)
Wieviel Zeit Du brauchst kann ich eh nicht beeinflussen, bzw. das hängt
auf jeden Fall nicht nur von mir ab.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
> Hallo,
>
> ich kürze mal das Zitierte, damit wir ein wenig den
> Überblick behalten:
>
> > > Hallo,
> > >
> > > > > Hallo nochmal,
> > > > >
> > > > > die erweiterte Aufgabe war:
> > > > > Zeige, dass [mm]= [/mm],
> > > > dann
> > > > > und nur dann, wenn
> > > > > jedes [mm]v_i[/mm] zu [mm][/mm] und jedes [mm]w_j[/mm] zu [mm][/mm]
> > > > > gehört.
> > > > >
> > > > > Dort steht für die Aussagen
> > > > >
> > > > > [mm]X \colon[/mm] "[mm][/mm] [mm]=\,[/mm] [mm][/mm]."
>
> >
> > >
> > > > >
> > > > > [mm]Y \colon[/mm] "Jedes [mm]v_i[/mm] gehört zu [mm][/mm] und jedes
> > > > > [mm]w_j[/mm] zu [mm][/mm]."
> > > > >
> > > > > dass man [mm]X \gdw Y[/mm] zeigen soll.
> > > > >
> > > > > Das macht man am Besten (anfangs) getrennt, man zeigt
> > > > > "[mm]\Rightarrow[/mm]" (kurz für [mm]X \Rightarrow Y[/mm]):
> >
> > >
> > >
> > > Man
> > > > setzt
> > > > > voraus, dass [mm]X\,[/mm] wahr ist. Unter dieser Annahme ist zu
> > > > > zeigen, dass
> > > > > damit gefolgert werden kann, dass auch [mm]Y\,[/mm]
> wahr
> > sein
> > > > > muss.
> > > > >
> > > > > "[mm]\Leftarrow[/mm]" (kurz für [mm]Y \Leftarrow X[/mm] bzw. [mm]Y \Rightarrow X[/mm]):
>
> >
> > >
> > > >
> > > > >
> > > > > Man setzt voraus, dass [mm]Y\,[/mm] wahr ist. Unter dieser Annahme
> > > > > ist zu zeigen, dass
> > > > > damit gefolgert werden kann, dass auch [mm]X\,[/mm]
> wahr
> > sein
> > > > > muss.
> > > > >
> > > > > Soweit alles nachvollziehbar?
> > > > > Soweit ich das gesehen habe, konntest Du den
> > Beweis
> > > von
> > > > > "[mm]\Rightarrow[/mm]" problemlos
> > > > > nachvollziehen. (Nur [mm]v_i \in [/mm]
> muss
> > noch
> > > > > genauer begründet werden!))
> > > >
> > > > Man kann [mm]v_i[/mm] aus [mm]v_1, \ldots, v_n[/mm] bilden, weil der Span ja
> > > > aus allen Linearkombinationen der Vektoren [mm]v_1, \ldots, v_n[/mm]
> > > > besteht. Wenn [mm]v_1[/mm] jetzt in [mm]span(v_1, \ldots, v_n)[/mm] liegt,
> > > > heißt das, dass er ein Term der Linearkombination ist.
> > >
> > > Es gibt doch nicht nur "eine" Linearkombination.
> > >
> > > > Damit kann man ihn auch aus den anderen Elementen bilden.
> > > > Also
> > > >
> > > > [mm]a_iv_i = -(a_1v_1 + \ldots + \neg a_in_i + \ldots + a_nv_n) [/mm],
> > > > für [mm]a_1, \ldots, a_n \in \IR[/mm].
> > >
> > > ich verstehe Deine Notation nicht. Kennst Du das
> > >
> > >
> >
> Kronecker-Delta?
> > >
> > > Fasse es hier ein wenig spezieller auf, indem Du sagst,
> > > dass die [mm]1\,[/mm] die [mm]1=1_K \in K[/mm]
> > > und die [mm]0\,[/mm] die
> [mm]0=0_K \in K[/mm]
> > > bedeuten möge.
> > >
> > > Damit kannst Du schreiben
> > >
> > > [mm]v_i=\sum_{k=1}^n \delta_{i,k}*v_k\,.[/mm]
> > >
> > > Anders gesagt:
> > >
> > > [mm]v_1=1*v_1+0*v_2+...+0*v_n\,,[/mm]
> > >
> > > [mm]v_2=0*v_1+1*v_2+0*v_3+...+0*v_n\,,[/mm]
> > >
> > > [mm]v_3=0*v_1+0*v_2+1*v_3+0*v_4...+0*v_n\,,[/mm]
> > >
> > > etc. pp.
> > >
> > > Okay?
> > >
> >
> > Ich denke schon. Wenn das [mm]k[/mm] vom k-ten Vektor übereinstimmt
> > mit dem i-ten Term ([mm]i=k[/mm]), dann ist [mm]\delta = 1 [/mm], ansonsten
> > [mm]\delta = 0 [/mm].
>
> ich glaube, Du meinst das Richtige.
>
> > ...
> > > Meine erste Frage ist eigentlich:
> > > Habt ihr für BELIEBIGE TEILMENGEN [mm]T \subseteqq V[/mm]
> > > eigentlich
> > >
> > > [mm]\,[/mm]
> > >
> > > definiert? Denn damit arbeite ich ja permanent, und es kann
> > > sein, dass Du deswegen
> > > schon den Überblick verlierst.
> >
> > Ich kann mich nicht erinnern, dass wir z.B. jemals diese
> > Notation benutzt hätten. Es ging bis jetzt auch immer um
> > Vektoren [mm]v_1, \ldots, v_n [/mm], also eine endliche Anzahl.
> > Meinst du das?
>
> Ja. Ich finde aber, dass man das nicht machen sollte, weil
> es meiner Meinung
> nach schwerer ist, dann später die Definition für
> "beliebig viele Vektoren"
> zu verstehen. Außerdem wirst Du bei mir dann die Aussage
>
> [mm]<\;\;>[/mm] [mm]=\,[/mm] [mm][/mm]
>
> gar nicht verstehen können, weil Du mit dem Zeichen
> linkerhand gar nichts
> anzufangen weißt.
>
> In diesem Fall müsten wir
>
> [mm]\{w_1,...,w_m\}[/mm] [mm]\subseteqq[/mm] [mm][/mm] [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm][/mm] [mm]\subseteqq[/mm] [mm][/mm]
>
> auch anders beweisen (noch ein Nachteil dieser sehr
> einschränkenden
> Definition), ich mach mal eine "Kurzfassung":
> Wir können [mm]w \in [/mm] schreiben als
>
> [mm]w=\sum_{k=1}^m r_k w_k\,.[/mm]
>
> Das folgt per Definitionem von [mm]\,.[/mm]
>
> Wir wollen [mm]w\,[/mm] sehen in einer Darstellung
>
> [mm]w=\sum_{k=1}^\red{n} s_k v_k\,.[/mm]
>
> Das folgt per Def. von [mm]\,.[/mm]
>
> Wie geht das? Grobgesagt:
> In der Darstellung
>
> [mm]w=\sum_{k=1}^m r_k w_k[/mm] (die wir ja HABEN!)
>
> ersetze jedes [mm]w_j[/mm] durch eine Darstellung der Art
>
> [mm]w_j=\sum_{k=1}^\red{n} s_k^{(j)} v_k[/mm] (solche haben wir
> auch, weil...?),
>
> und dann sortiere das Ganze ein wenig um.
Wenn ich jetzt also das [mm] $w_k$ [/mm] in
$ [mm] w=\sum_{k=1}^m r_k w_k [/mm] $
ersetze durch
$ [mm] \sum_{k=1}^n s_kv_k [/mm] $,
erhalte ich
$ w = [mm] \sum_{k=1}^m r_k \sum_{k=1}^n s_kv_k [/mm] $.
Also:
$ = [mm] r_1(s_1v_1 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] s_nv_n) [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] r_m(s_1v_1 [/mm] + [mm] \ldots s_nv_n) [/mm] $
Umgeformt:
$ = [mm] (s_1v_1 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] s_nv_n)(r_1+r_2+\ldots+r_m) [/mm] $
Wie hilft mir das jetzt genau? Ein Vektor $ [mm] v_i [/mm] $ [mm] ($s_1v_1 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] s_nv_n$) [/mm] multipliziert mit den Koeffizienten eines Vektors $ [mm] w_j [/mm] $ ergibt $ w $ [mm] ($r_1+r_2+\ldots+r_m$)?
[/mm]
> Manchmal hilft es
> auch, um zu
> sehen, was da zu machen ist, wenn man wenigstens mal die
> Zahlen [mm]m\,[/mm] und [mm]n\,[/mm]
> "testweise konkretisiert". Beispielsweise könntest Du ja
> mal so tun, als wenn
> [mm]m=3\,[/mm] und [mm]n=5\,[/mm] wäre (der Rest wird NICHT
> konkretisiert).
>
> > > Falls nein: Selbst, wenn ihr nur für "endliche Teilmengen
> > > [mm]E \subseteqq V[/mm]", also
> > >
> > > [mm]E=\{v_1,...,v_n\}[/mm] mit [mm]|E|=n\,[/mm]
> > >
> > > halt
> > >
> > > [mm]\,[/mm] bzw. [mm][/mm]
> > >
> > > definiert habt (was ich alles andere als gut fände!), dann
> > > wäre es für mich
> > > schonmal wichtig, zu sehen, ob Dir klar ist, was
> [mm]\,[/mm]
> > > eigentlich ist.
> > >
> > > Um das deutlicher zu machen:
> > > Was ist (anschaulich)
> > >
> > > [mm]<(1,2)^T> \subseteqq \IR^2[/mm]
> >
> > Also, [mm]<(1,2)^T>[/mm] wäre dann ja der Span von [mm]\vektor{1\\2}[/mm]
> > und demnach alle Linearkombinationen des Vektors in [mm]\IR^2[/mm]
> > sozusagen.
>
> Da steht eine Menge(!). Diese Menge enthält alle die von
> Dir genannten
> Elemente. Aber wie kann man sie einfach beschreiben?
> Die Elemente entstehen doch dadurch, dass "man einen
> Vektor *vervielfältigt*".
> Was ist also der genannte Span? Da ich wenigstens das
> geometrische
> Wort von Dir hören will:
> Der Graph der Funktion
>
> [mm]\IR \ni x \mapsto f(x):=2x \in \IR\,,[/mm]
>
> also
>
> [mm]\text{graph}(f):=\{(x,2x)^T \in \IR^2: x \in \IR\}[/mm]
>
> ist nichts anderes als eine
>
> Ur...gs-Ger...
>
> im [mm]\IR^2\,.[/mm] Was hat [mm]\text{graph}(f)[/mm] mit [mm]<(1,2)^T>[/mm] zu tun?
Ja, eine Ursprungsgerade. Ich war so im Span-Modus, dass ich das nicht loslassen konnte^^ [mm] <(1,2)^T> [/mm] hat insofern etwas mit [mm] \text{graph}(f) [/mm] zu tun, als (in diesem Fall) die 1 die x- und die 2 die y-Koordinate ist (soll heißen, einmal die x-Koord. ist zweimal die y-Koord [mm] \to [/mm] f(x) = 2x).
>
> > >
> > > und was ist (anschaulich)
> > >
> > > [mm]<(1,0,0)^T,\;(0,1,0)^T> \subseteqq \IR^3[/mm]?
> >
> > Auch hier wieder der Span von [mm]\vektor{1\\0\\0}[/mm] und
> > [mm]\vektor{0\\1\\0},[/mm] also alle Linearkombinationen der beiden
> > Vektoren in [mm]\IR^3[/mm]
>
> Die Bitte an Dich:
> Den [mm]\IR^3[/mm] zeichnen wir als kartesisches KO-System und reden
> dann unter anderem
> von den [mm]x\,[/mm]-, [mm]y\,-[/mm] und [mm]z\,[/mm]-Achsen.
> Das kennst Du, oder?
> Hier ist durch [mm]<(1,0,0)^T,(0,1,0)^T>[/mm] eine
>
> Ur...gs-Eb...e
Ja, kenn ich. In diesem Fall ist es die xy-Ebene.
>
> gegeben. Welche ist es? (Die [mm]xy\,[/mm]-Ebene, [mm]xz\,[/mm]-Ebene oder
> die [mm]yz\,[/mm]-Ebene?)
>
> Nebenbei: Hattest Du in der Schule auch analytische
> Geometrie?
Ja, aber das ist schon einige Jahre her. Und auch nie sonderlich ausführlich, wenn ich mich recht erinnere.
>Die Begriffe
> "Spannvektoren" sind nicht ganz zufällig gewählt,
> wenngleich man munieren
> könnte, dass sie verwirren können. Bei dem, was ihr
> momentan an der
> Uni lernt, müsste man diese Begriffe besser nur bei
> "Objektien", die auch
> durch den "Ur...g" gehen, verwenden.
> Vielleicht auch nochmal eine andere Frage an Dich:
> Unterräume des [mm]\IR^n[/mm] müssen
>
> Was?
>
> immer enthalten? Tipp: Ur...g.
Den Ursprung, z.B. den Nullvektor, oder?
> Aber Ebenen tun das halt nicht immer...
>
> > > ([mm]\IR^n[/mm] ist immer als *üblicher [mm]\IR[/mm]-Vektorraum*
> > > aufzufassen, wenn ich nichts
> > > anderes sage!)
> > >
> > > P.S. Bei Rückfragen: Jedenfalls ich werde erst ein wenig
> > > später antworten
> > > können. Aber Du darfst auch gerne dennoch weiterfragen,
> > > denn manchmal
> > > hilft es ja gerade, dass jemand aus einem anderen
> > > Blickwinkel oder mit
> > > anderen Worten etwas dazu sagt.
> > >
> > > P.P.S. Lange Pausen vom Nachdenken sind auch gut, manchmal
> > > müssen sich
> > > auch die Gedanken im Gehirn ein wenig selbst
> sortieren
> > > dürfen. Hilfreich
> > > dafür kann es aber dennoch sein, dass Du wenigstens
> > die
> > > letzten beiden
> > > Fragen vor dem P.S. zuvor überdenkst und ggf.
> > > nachfragst!
> > >
> > > Auf jeden Fall: Zwischendurch mal Abschalten und ganz was
> > > anderes tun,
> > > der Drang, weiterzumachen, wird sicher eh von
> alleine
> > > wieder kommen. ^^
> > >
> > > Gruß,
> > > Marcel
> >
> > Vielen Dank für deine Geduld :P Es ist immer gut, wenn der
> > Andere nicht ungeduldig wird und einem Zeit zum Verstehen
> > lässt :)
>
> Wieviel Zeit Du brauchst kann ich eh nicht beeinflussen,
> bzw. das hängt
> auf jeden Fall nicht nur von mir ab.
>
> Gruß,
> Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:00 So 21.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo,
> >
> > ich kürze mal das Zitierte, damit wir ein wenig den
> > Überblick behalten:
> >
> > > > Hallo,
> > > >
> > > > > > Hallo nochmal,
> > > > > >
> > > > > > die erweiterte Aufgabe war:
> > > > > > Zeige, dass [mm]= [/mm],
> > > > > dann
> > > > > > und nur dann, wenn
> > > > > > jedes [mm]v_i[/mm] zu [mm][/mm] und jedes [mm]w_j[/mm] zu [mm][/mm]
> > > > > > gehört.
> > > > > >
> > > > > > Dort steht für die Aussagen
> > > > > >
> > > > > > [mm]X \colon[/mm] "[mm][/mm] [mm]=\,[/mm] [mm][/mm]."
>
> >
> > >
> > > >
> > > > > >
> > > > > > [mm]Y \colon[/mm] "Jedes [mm]v_i[/mm] gehört zu [mm][/mm] und jedes
> > > > > > [mm]w_j[/mm] zu [mm][/mm]."
> > > > > >
> > > > > > dass man [mm]X \gdw Y[/mm] zeigen soll.
> > > > > >
> > > > > > Das macht man am Besten (anfangs) getrennt, man zeigt
> > > > > > "[mm]\Rightarrow[/mm]" (kurz für [mm]X \Rightarrow Y[/mm]):
>
> > >
> > > >
> > > >
> > > > Man
> > > > > setzt
> > > > > > voraus, dass [mm]X\,[/mm] wahr ist. Unter dieser Annahme ist zu
> > > > > > zeigen, dass
> > > > > > damit gefolgert werden kann, dass auch [mm]Y\,[/mm]
> > wahr
> > > sein
> > > > > > muss.
> > > > > >
> > > > > > "[mm]\Leftarrow[/mm]" (kurz für [mm]Y \Leftarrow X[/mm] bzw. [mm]Y \Rightarrow X[/mm]):
>
> >
> > >
> > > >
> > > > >
> > > > > >
> > > > > > Man setzt voraus, dass [mm]Y\,[/mm] wahr ist. Unter dieser Annahme
> > > > > > ist zu zeigen, dass
> > > > > > damit gefolgert werden kann, dass auch [mm]X\,[/mm]
> > wahr
> > > sein
> > > > > > muss.
> > > > > >
> > > > > > Soweit alles nachvollziehbar?
> > > > > > Soweit ich das gesehen habe, konntest Du
> den
> > > Beweis
> > > > von
> > > > > > "[mm]\Rightarrow[/mm]" problemlos
> > > > > > nachvollziehen. (Nur [mm]v_i \in [/mm]
> > muss
> > > noch
> > > > > > genauer begründet werden!))
> > > > >
> > > > > Man kann [mm]v_i[/mm] aus [mm]v_1, \ldots, v_n[/mm] bilden, weil der Span ja
> > > > > aus allen Linearkombinationen der Vektoren [mm]v_1, \ldots, v_n[/mm]
> > > > > besteht. Wenn [mm]v_1[/mm] jetzt in [mm]span(v_1, \ldots, v_n)[/mm] liegt,
> > > > > heißt das, dass er ein Term der Linearkombination ist.
> > > >
> > > > Es gibt doch nicht nur "eine" Linearkombination.
> > > >
> > > > > Damit kann man ihn auch aus den anderen Elementen bilden.
> > > > > Also
> > > > >
> > > > > [mm]a_iv_i = -(a_1v_1 + \ldots + \neg a_in_i + \ldots + a_nv_n) [/mm],
> > > > > für [mm]a_1, \ldots, a_n \in \IR[/mm].
> > > >
> > > > ich verstehe Deine Notation nicht. Kennst Du das
> > > >
> > > >
> > >
> >
> Kronecker-Delta?
> > > >
> > > > Fasse es hier ein wenig spezieller auf, indem Du sagst,
> > > > dass die [mm]1\,[/mm] die [mm]1=1_K \in K[/mm]
> > > > und die [mm]0\,[/mm]
> die
> > [mm]0=0_K \in K[/mm]
> > > > bedeuten möge.
> > > >
> > > > Damit kannst Du schreiben
> > > >
> > > > [mm]v_i=\sum_{k=1}^n \delta_{i,k}*v_k\,.[/mm]
> > > >
> > > > Anders gesagt:
> > > >
> > > > [mm]v_1=1*v_1+0*v_2+...+0*v_n\,,[/mm]
> > > >
> > > > [mm]v_2=0*v_1+1*v_2+0*v_3+...+0*v_n\,,[/mm]
> > > >
> > > > [mm]v_3=0*v_1+0*v_2+1*v_3+0*v_4...+0*v_n\,,[/mm]
> > > >
> > > > etc. pp.
> > > >
> > > > Okay?
> > > >
> > >
> > > Ich denke schon. Wenn das [mm]k[/mm] vom k-ten Vektor übereinstimmt
> > > mit dem i-ten Term ([mm]i=k[/mm]), dann ist [mm]\delta = 1 [/mm], ansonsten
> > > [mm]\delta = 0 [/mm].
> >
> > ich glaube, Du meinst das Richtige.
> >
> > > ...
> > > > Meine erste Frage ist eigentlich:
> > > > Habt ihr für BELIEBIGE TEILMENGEN [mm]T \subseteqq V[/mm]
> > > > eigentlich
> > > >
> > > > [mm]\,[/mm]
> > > >
> > > > definiert? Denn damit arbeite ich ja permanent, und es kann
> > > > sein, dass Du deswegen
> > > > schon den Überblick verlierst.
> > >
> > > Ich kann mich nicht erinnern, dass wir z.B. jemals diese
> > > Notation benutzt hätten. Es ging bis jetzt auch immer um
> > > Vektoren [mm]v_1, \ldots, v_n [/mm], also eine endliche Anzahl.
> > > Meinst du das?
> >
> > Ja. Ich finde aber, dass man das nicht machen sollte, weil
> > es meiner Meinung
> > nach schwerer ist, dann später die Definition für
> > "beliebig viele Vektoren"
> > zu verstehen. Außerdem wirst Du bei mir dann die
> Aussage
> >
> > [mm]<\;\;>[/mm] [mm]=\,[/mm] [mm][/mm]
> >
> > gar nicht verstehen können, weil Du mit dem Zeichen
> > linkerhand gar nichts
> > anzufangen weißt.
> >
> > In diesem Fall müsten wir
> >
> > [mm]\{w_1,...,w_m\}[/mm] [mm]\subseteqq[/mm] [mm][/mm] [mm]\Rightarrow[/mm]
> > [mm][/mm] [mm]\subseteqq[/mm] [mm][/mm]
> >
> > auch anders beweisen (noch ein Nachteil dieser sehr
> > einschränkenden
> > Definition), ich mach mal eine "Kurzfassung":
> > Wir können [mm]w \in [/mm] schreiben als
> >
> > [mm]w=\sum_{k=1}^m r_k w_k\,.[/mm]
> >
> > Das folgt per Definitionem von [mm]\,.[/mm]
> >
> > Wir wollen [mm]w\,[/mm] sehen in einer Darstellung
> >
> > [mm]w=\sum_{k=1}^\red{n} s_k v_k\,.[/mm]
> >
> > Das folgt per Def. von [mm]\,.[/mm]
> >
> > Wie geht das? Grobgesagt:
> > In der Darstellung
> >
> > [mm]w=\sum_{k=1}^m r_k w_k[/mm] (die wir ja HABEN!)
> >
> > ersetze jedes [mm]w_j[/mm] durch eine Darstellung der Art
> >
> > [mm]w_j=\sum_{k=1}^\red{n} s_k^{(j)} v_k[/mm] (solche haben wir
> > auch, weil...?),
> >
> > und dann sortiere das Ganze ein wenig um.
>
> Wenn ich jetzt also das [mm]w_k[/mm] in
>
> [mm]w=\sum_{k=1}^m r_k w_k[/mm]
>
> ersetze durch
>
> [mm]\sum_{k=1}^n s_kv_k [/mm],
>
> erhalte ich
>
> [mm]w = \sum_{k=1}^m r_k \sum_{k=1}^n s_kv_k [/mm].
Vorsicht (insbesondere nicht die gleichen Laufindizes nehmen!):
[mm] $w=\sum_{k=1}^m r_k w_k=\sum_{k=1}^m r_k*\left(\sum_{j=1}^\red{n}s_j^{(k)}v_j\right)$
[/mm]
> Also:
>
> [mm]= r_1(s_1v_1 + \ldots + s_nv_n) + \ldots + r_m(s_1v_1 + \ldots s_nv_n)[/mm]
Nein, der Fehler kommt daher, dass Du oben so tust, als wenn bei allen [mm] $w_k$
[/mm]
die Faktoren
[mm] $s_1^{(k)},...,s^{(k)}_n$
[/mm]
gleich wären. Weil sie das eben nicht sind, habe ich [mm] $s_j^{(k)}$ [/mm] geschrieben,
Du kannst meinetwegen auch [mm] $s_{k,1},...,s_{k,n}$ [/mm] schreiben. Mich hat das
aber immer mehr verwirrt.
> Umgeformt:
>
> [mm]= (s_1v_1 + \ldots + s_nv_n)(r_1+r_2+\ldots+r_m)[/mm]
Ich rechne mal weiter:
[mm] $w=\sum_{k=1}^m r_k*\left(\sum_{j=1}^\red{n}s_j^{(k)}v_j\right)$
[/mm]
[mm] $=r_\red{1}*(s^{(\red{1})}_1 v_1+...+s^{(\red{1})}_n v_n)+r_\blue{2}*(s^{(\blue{2})}_1 v_1+...+s^{(\blue{2})}_n v_n) [/mm] + ... [mm] +r_\green{m}*(s^{(\green{m})}_1 v_1+...+s^{(\green{m})}_n v_n)$
[/mm]
[mm] $=...\,$
[/mm]
[mm] $=\left(r_\red{1}*s^{(\red{1})}_1+r_\blue{2}s^{(\blue{2})}_1+...+r_\green{m}s^{(\green{m})}_1\right)*v_1+...+\left(r_\red{1}*s^{(\red{1})}_n+r_\blue{2}s^{(\blue{2})}_n+...+r_\green{m}s^{(\green{m})}_n\right)*v_n$
[/mm]
[mm] $=\sum_{j=1}^n \left(\sum_{k=1}^m r_k s^{(k)}_j\right)*v_j$
[/mm]
Jetzt ist [mm] $w\,$ [/mm] wie gewünscht - siehst Du es?
> Wie hilft mir das jetzt genau? Ein Vektor [mm]v_i[/mm] ([mm]s_1v_1 + \ldots + s_nv_n[/mm])
> multipliziert mit den Koeffizienten eines Vektors [mm]w_j[/mm]
> ergibt [mm]w[/mm] ([mm]r_1+r_2+\ldots+r_m[/mm])?
>
> > Manchmal hilft es
> > auch, um zu
> > sehen, was da zu machen ist, wenn man wenigstens mal
> die
> > Zahlen [mm]m\,[/mm] und [mm]n\,[/mm]
> > "testweise konkretisiert". Beispielsweise könntest Du ja
> > mal so tun, als wenn
> > [mm]m=3\,[/mm] und [mm]n=5\,[/mm] wäre (der Rest wird NICHT
> > konkretisiert).
> >
> > > > Falls nein: Selbst, wenn ihr nur für "endliche Teilmengen
> > > > [mm]E \subseteqq V[/mm]", also
> > > >
> > > > [mm]E=\{v_1,...,v_n\}[/mm] mit [mm]|E|=n\,[/mm]
> > > >
> > > > halt
> > > >
> > > > [mm]\,[/mm] bzw. [mm][/mm]
> > > >
> > > > definiert habt (was ich alles andere als gut fände!), dann
> > > > wäre es für mich
> > > > schonmal wichtig, zu sehen, ob Dir klar ist, was
> > [mm]\,[/mm]
> > > > eigentlich ist.
> > > >
> > > > Um das deutlicher zu machen:
> > > > Was ist (anschaulich)
> > > >
> > > > [mm]<(1,2)^T> \subseteqq \IR^2[/mm]
> > >
> > > Also, [mm]<(1,2)^T>[/mm] wäre dann ja der Span von [mm]\vektor{1\\2}[/mm]
> > > und demnach alle Linearkombinationen des Vektors in [mm]\IR^2[/mm]
> > > sozusagen.
> >
> > Da steht eine Menge(!). Diese Menge enthält alle die von
> > Dir genannten
> > Elemente. Aber wie kann man sie einfach beschreiben?
> > Die Elemente entstehen doch dadurch, dass "man einen
> > Vektor *vervielfältigt*".
> > Was ist also der genannte Span? Da ich wenigstens das
> > geometrische
> > Wort von Dir hören will:
> > Der Graph der Funktion
> >
> > [mm]\IR \ni x \mapsto f(x):=2x \in \IR\,,[/mm]
> >
> > also
> >
> > [mm]\text{graph}(f):=\{(x,2x)^T \in \IR^2: x \in \IR\}[/mm]
> >
> > ist nichts anderes als eine
> >
> > Ur...gs-Ger...
> >
> > im [mm]\IR^2\,.[/mm] Was hat [mm]\text{graph}(f)[/mm] mit [mm]<(1,2)^T>[/mm] zu tun?
>
> Ja, eine Ursprungsgerade. Ich war so im Span-Modus, dass
> ich das nicht loslassen konnte^^ [mm]<(1,2)^T>[/mm] hat insofern
> etwas mit [mm]\text{graph}(f)[/mm] zu tun, als (in diesem Fall) die
> 1 die x- und die 2 die y-Koordinate ist (soll heißen,
> einmal die x-Koord. ist zweimal die y-Koord [mm]\to[/mm] f(x) =
> 2x).
Noch viel besser:
[mm] $<(1,2)^T>$ $\;=\;$ $\text{graph}(f)\,.$
[/mm]
Ist Dir das nicht klar?
[mm] $\text{graph}(f)=\{(x,2x)^T \in \IR^2:\;\; x \in \IR\}=\{x*(1,2)^T:\;\; x \in \IR\}\,,$
[/mm]
und ganz rechts steht doch nichts anderes als [mm] $<(1,2)^T>\,$! [/mm] Klar(er)?
> >
> > > >
> > > > und was ist (anschaulich)
> > > >
> > > > [mm]<(1,0,0)^T,\;(0,1,0)^T> \subseteqq \IR^3[/mm]?
> > >
> > > Auch hier wieder der Span von [mm]\vektor{1\\0\\0}[/mm] und
> > > [mm]\vektor{0\\1\\0},[/mm] also alle Linearkombinationen der beiden
> > > Vektoren in [mm]\IR^3[/mm]
> >
> > Die Bitte an Dich:
> > Den [mm]\IR^3[/mm] zeichnen wir als kartesisches KO-System und reden
> > dann unter anderem
> > von den [mm]x\,[/mm]-, [mm]y\,-[/mm] und [mm]z\,[/mm]-Achsen.
> > Das kennst Du, oder?
> > Hier ist durch [mm]<(1,0,0)^T,(0,1,0)^T>[/mm] eine
> >
> > Ur...gs-Eb...e
>
> Ja, kenn ich. In diesem Fall ist es die xy-Ebene.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> >
> > gegeben. Welche ist es? (Die [mm]xy\,[/mm]-Ebene, [mm]xz\,[/mm]-Ebene oder
> > die [mm]yz\,[/mm]-Ebene?)
> >
> > Nebenbei: Hattest Du in der Schule auch analytische
> > Geometrie?
>
> Ja, aber das ist schon einige Jahre her. Und auch nie
> sonderlich ausführlich, wenn ich mich recht erinnere.
>
> >Die Begriffe
> > "Spannvektoren" sind nicht ganz zufällig gewählt,
> > wenngleich man munieren
> > könnte, dass sie verwirren können. Bei dem, was ihr
> > momentan an der
> > Uni lernt, müsste man diese Begriffe besser nur bei
> > "Objektien", die auch
> > durch den "Ur...g" gehen, verwenden.
> > Vielleicht auch nochmal eine andere Frage an Dich:
> > Unterräume des [mm]\IR^n[/mm] müssen
> >
> > Was?
> >
> > immer enthalten? Tipp: Ur...g.
>
> Den Ursprung, z.B. den Nullvektor, oder?
Der Urspung ist der Nullvektor. Aber ja, der muss immer drin sein.
> > Aber Ebenen tun das halt nicht immer...
> >
> > > > ([mm]\IR^n[/mm] ist immer als *üblicher [mm]\IR[/mm]-Vektorraum*
> > > > aufzufassen, wenn ich nichts
> > > > anderes sage!)
> > > >
> > > > P.S. Bei Rückfragen: Jedenfalls ich werde erst ein wenig
> > > > später antworten
> > > > können. Aber Du darfst auch gerne dennoch weiterfragen,
> > > > denn manchmal
> > > > hilft es ja gerade, dass jemand aus einem anderen
> > > > Blickwinkel oder mit
> > > > anderen Worten etwas dazu sagt.
> > > >
> > > > P.P.S. Lange Pausen vom Nachdenken sind auch gut, manchmal
> > > > müssen sich
> > > > auch die Gedanken im Gehirn ein wenig selbst
> > sortieren
> > > > dürfen. Hilfreich
> > > > dafür kann es aber dennoch sein, dass Du
> wenigstens
> > > die
> > > > letzten beiden
> > > > Fragen vor dem P.S. zuvor überdenkst und ggf.
> > > > nachfragst!
> > > >
> > > > Auf jeden Fall: Zwischendurch mal Abschalten und ganz was
> > > > anderes tun,
> > > > der Drang, weiterzumachen, wird sicher eh von
> > alleine
> > > > wieder kommen. ^^
> > > >
> > > > Gruß,
> > > > Marcel
> > >
> > > Vielen Dank für deine Geduld :P Es ist immer gut, wenn der
> > > Andere nicht ungeduldig wird und einem Zeit zum Verstehen
> > > lässt :)
> >
> > Wieviel Zeit Du brauchst kann ich eh nicht beeinflussen,
> > bzw. das hängt
> > auf jeden Fall nicht nur von mir ab.
> >
> > Gruß,
> > Marcel
Nebenbei, dann einfach mal, um ein wenig die Brücke zwischen der L.A.
und der analytischen Geometrie zu schlagen:
Ich fand dieses Skript:
http://www.uni-math.gwdg.de/skripten/Aglaskript/agla.pdf
immer sehr hilfreich!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
> Hallo,
>
> > > Hallo,
> > >
> > > ich kürze mal das Zitierte, damit wir ein wenig den
> > > Überblick behalten:
> > >
> > > > > Hallo,
> > > > >
> > > > > > > Hallo nochmal,
> > > > > > >
> > > > > > > die erweiterte Aufgabe war:
> > > > > > > Zeige, dass [mm]= [/mm],
> > > > > > dann
> > > > > > > und nur dann, wenn
> > > > > > > jedes [mm]v_i[/mm] zu [mm][/mm] und jedes [mm]w_j[/mm] zu [mm][/mm]
> > > > > > > gehört.
> > > > > > >
> > > > > > > Dort steht für die Aussagen
> > > > > > >
> > > > > > > [mm]X \colon[/mm] "[mm][/mm] [mm]=\,[/mm] [mm][/mm]."
>
> >
> > >
> > > >
> > > > >
> > > > > > >
> > > > > > > [mm]Y \colon[/mm] "Jedes [mm]v_i[/mm] gehört zu [mm][/mm] und jedes
> > > > > > > [mm]w_j[/mm] zu [mm][/mm]."
> > > > > > >
> > > > > > > dass man [mm]X \gdw Y[/mm] zeigen soll.
> > > > > > >
> > > > > > > Das macht man am Besten (anfangs) getrennt, man zeigt
> > > > > > > "[mm]\Rightarrow[/mm]" (kurz für [mm]X \Rightarrow Y[/mm]):
>
> >
> > > >
> > > > >
> > > > >
> > > > > Man
> > > > > > setzt
> > > > > > > voraus, dass [mm]X\,[/mm] wahr ist. Unter dieser Annahme ist zu
> > > > > > > zeigen, dass
> > > > > > > damit gefolgert werden kann, dass auch
> [mm]Y\,[/mm]
> > > wahr
> > > > sein
> > > > > > > muss.
> > > > > > >
> > > > > > > "[mm]\Leftarrow[/mm]" (kurz für [mm]Y \Leftarrow X[/mm] bzw. [mm]Y \Rightarrow X[/mm]):
>
> >
> > >
> > > >
> > > > >
> > > > > >
> > > > > > >
> > > > > > > Man setzt voraus, dass [mm]Y\,[/mm] wahr ist. Unter dieser Annahme
> > > > > > > ist zu zeigen, dass
> > > > > > > damit gefolgert werden kann, dass auch
> [mm]X\,[/mm]
> > > wahr
> > > > sein
> > > > > > > muss.
> > > > > > >
> > > > > > > Soweit alles nachvollziehbar?
> > > > > > > Soweit ich das gesehen habe, konntest Du
> > den
> > > > Beweis
> > > > > von
> > > > > > > "[mm]\Rightarrow[/mm]" problemlos
> > > > > > > nachvollziehen. (Nur [mm]v_i \in [/mm]
> > > muss
> > > > noch
> > > > > > > genauer begründet werden!))
> > > > > >
> > > > > > Man kann [mm]v_i[/mm] aus [mm]v_1, \ldots, v_n[/mm] bilden, weil der Span ja
> > > > > > aus allen Linearkombinationen der Vektoren [mm]v_1, \ldots, v_n[/mm]
> > > > > > besteht. Wenn [mm]v_1[/mm] jetzt in [mm]span(v_1, \ldots, v_n)[/mm] liegt,
> > > > > > heißt das, dass er ein Term der Linearkombination ist.
> > > > >
> > > > > Es gibt doch nicht nur "eine" Linearkombination.
> > > > >
> > > > > > Damit kann man ihn auch aus den anderen Elementen bilden.
> > > > > > Also
> > > > > >
> > > > > > [mm]a_iv_i = -(a_1v_1 + \ldots + \neg a_in_i + \ldots + a_nv_n) [/mm],
> > > > > > für [mm]a_1, \ldots, a_n \in \IR[/mm].
> > > > >
> > > > > ich verstehe Deine Notation nicht. Kennst Du das
> > > > >
> > > > >
> > > >
> > >
> >
> Kronecker-Delta?
> > > > >
> > > > > Fasse es hier ein wenig spezieller auf, indem Du sagst,
> > > > > dass die [mm]1\,[/mm] die [mm]1=1_K \in K[/mm]
> > > > > und die
> [mm]0\,[/mm]
> > die
> > > [mm]0=0_K \in K[/mm]
> > > > > bedeuten möge.
> > > > >
> > > > > Damit kannst Du schreiben
> > > > >
> > > > > [mm]v_i=\sum_{k=1}^n \delta_{i,k}*v_k\,.[/mm]
> > > > >
> > > > > Anders gesagt:
> > > > >
> > > > > [mm]v_1=1*v_1+0*v_2+...+0*v_n\,,[/mm]
> > > > >
> > > > > [mm]v_2=0*v_1+1*v_2+0*v_3+...+0*v_n\,,[/mm]
> > > > >
> > > > > [mm]v_3=0*v_1+0*v_2+1*v_3+0*v_4...+0*v_n\,,[/mm]
> > > > >
> > > > > etc. pp.
> > > > >
> > > > > Okay?
> > > > >
> > > >
> > > > Ich denke schon. Wenn das [mm]k[/mm] vom k-ten Vektor übereinstimmt
> > > > mit dem i-ten Term ([mm]i=k[/mm]), dann ist [mm]\delta = 1 [/mm], ansonsten
> > > > [mm]\delta = 0 [/mm].
> > >
> > > ich glaube, Du meinst das Richtige.
> > >
> > > > ...
> > > > > Meine erste Frage ist eigentlich:
> > > > > Habt ihr für BELIEBIGE TEILMENGEN [mm]T \subseteqq V[/mm]
> > > > > eigentlich
> > > > >
> > > > > [mm]\,[/mm]
> > > > >
> > > > > definiert? Denn damit arbeite ich ja permanent, und es kann
> > > > > sein, dass Du deswegen
> > > > > schon den Überblick verlierst.
> > > >
> > > > Ich kann mich nicht erinnern, dass wir z.B. jemals diese
> > > > Notation benutzt hätten. Es ging bis jetzt auch immer um
> > > > Vektoren [mm]v_1, \ldots, v_n [/mm], also eine endliche Anzahl.
> > > > Meinst du das?
> > >
> > > Ja. Ich finde aber, dass man das nicht machen sollte, weil
> > > es meiner Meinung
> > > nach schwerer ist, dann später die Definition für
> > > "beliebig viele Vektoren"
> > > zu verstehen. Außerdem wirst Du bei mir dann die
> > Aussage
> > >
> > > [mm]<\;\;>[/mm] [mm]=\,[/mm] [mm][/mm]
> > >
> > > gar nicht verstehen können, weil Du mit dem Zeichen
> > > linkerhand gar nichts
> > > anzufangen weißt.
> > >
> > > In diesem Fall müsten wir
> > >
> > > [mm]\{w_1,...,w_m\}[/mm] [mm]\subseteqq[/mm] [mm][/mm] [mm]\Rightarrow[/mm]
> > > [mm][/mm] [mm]\subseteqq[/mm] [mm][/mm]
> > >
> > > auch anders beweisen (noch ein Nachteil dieser sehr
> > > einschränkenden
> > > Definition), ich mach mal eine "Kurzfassung":
> > > Wir können [mm]w \in [/mm] schreiben als
> > >
> > > [mm]w=\sum_{k=1}^m r_k w_k\,.[/mm]
> > >
> > > Das folgt per Definitionem von [mm]\,.[/mm]
> > >
> > > Wir wollen [mm]w\,[/mm] sehen in einer Darstellung
> > >
> > > [mm]w=\sum_{k=1}^\red{n} s_k v_k\,.[/mm]
> > >
> > > Das folgt per Def. von [mm]\,.[/mm]
> > >
> > > Wie geht das? Grobgesagt:
> > > In der Darstellung
> > >
> > > [mm]w=\sum_{k=1}^m r_k w_k[/mm] (die wir ja HABEN!)
> > >
> > > ersetze jedes [mm]w_j[/mm] durch eine Darstellung der Art
> > >
> > > [mm]w_j=\sum_{k=1}^\red{n} s_k^{(j)} v_k[/mm] (solche haben wir
> > > auch, weil...?),
> > >
> > > und dann sortiere das Ganze ein wenig um.
> >
> > Wenn ich jetzt also das [mm]w_k[/mm] in
> >
> > [mm]w=\sum_{k=1}^m r_k w_k[/mm]
> >
> > ersetze durch
> >
> > [mm]\sum_{k=1}^n s_kv_k [/mm],
> >
> > erhalte ich
> >
> > [mm]w = \sum_{k=1}^m r_k \sum_{k=1}^n s_kv_k [/mm].
>
> Vorsicht (insbesondere nicht die gleichen Laufindizes
> nehmen!):
>
> [mm]w=\sum_{k=1}^m r_k w_k=\sum_{k=1}^m r_k*\left(\sum_{j=1}^\red{n}s_j^{(k)}v_j\right)[/mm]
>
>
> > Also:
> >
> > [mm]= r_1(s_1v_1 + \ldots + s_nv_n) + \ldots + r_m(s_1v_1 + \ldots s_nv_n)[/mm]
>
> Nein, der Fehler kommt daher, dass Du oben so tust, als
> wenn bei allen [mm]w_k[/mm]
> die Faktoren
>
> [mm]s_1^{(k)},...,s^{(k)}_n[/mm]
>
> gleich wären. Weil sie das eben nicht sind, habe ich
> [mm]s_j^{(k)}[/mm] geschrieben,
> Du kannst meinetwegen auch [mm]s_{k,1},...,s_{k,n}[/mm] schreiben.
> Mich hat das
> aber immer mehr verwirrt.
>
> > Umgeformt:
> >
> > [mm]= (s_1v_1 + \ldots + s_nv_n)(r_1+r_2+\ldots+r_m)[/mm]
>
> Ich rechne mal weiter:
>
> [mm]w=\sum_{k=1}^m r_k*\left(\sum_{j=1}^\red{n}s_j^{(k)}v_j\right)[/mm]
>
> [mm]=r_\red{1}*(s^{(\red{1})}_1 v_1+...+s^{(\red{1})}_n v_n)+r_\blue{2}*(s^{(\blue{2})}_1 v_1+...+s^{(\blue{2})}_n v_n) + ... +r_\green{m}*(s^{(\green{m})}_1 v_1+...+s^{(\green{m})}_n v_n)[/mm]
>
> [mm]=...\,[/mm]
>
> [mm]=\left(r_\red{1}*s^{(\red{1})}_1+r_\blue{2}s^{(\blue{2})}_1+...+r_\green{m}s^{(\green{m})}_1\right)*v_1+...+\left(r_\red{1}*s^{(\red{1})}_n+r_\blue{2}s^{(\blue{2})}_n+...+r_\green{m}s^{(\green{m})}_n\right)*v_n[/mm]
>
> [mm]=\sum_{j=1}^n \left(\sum_{k=1}^m r_k s^{(k)}_j\right)*v_j[/mm]
>
>
> Jetzt ist [mm]w\,[/mm] wie gewünscht - siehst Du es?
Ja, ich sehe den Fehler. Ich nehme an, dass dasselbe dann für einen Vektor $v$ gilt. Nur irgendwie hab ich den roten Faden zur Aufgabenstellung verloren. Heißt das Ergebnis, wenn man dasselbe Verfahren für einen Vektor $v$ anwendet, dass [mm] $=$?
[/mm]
>
> > Wie hilft mir das jetzt genau? Ein Vektor [mm]v_i[/mm] ([mm]s_1v_1 + \ldots + s_nv_n[/mm])
> > multipliziert mit den Koeffizienten eines Vektors [mm]w_j[/mm]
> > ergibt [mm]w[/mm] ([mm]r_1+r_2+\ldots+r_m[/mm])?
> >
> > > Manchmal hilft es
> > > auch, um zu
> > > sehen, was da zu machen ist, wenn man wenigstens mal
> > die
> > > Zahlen [mm]m\,[/mm] und [mm]n\,[/mm]
> > > "testweise konkretisiert". Beispielsweise könntest Du ja
> > > mal so tun, als wenn
> > > [mm]m=3\,[/mm] und [mm]n=5\,[/mm] wäre (der Rest wird NICHT
> > > konkretisiert).
> > >
> > > > > Falls nein: Selbst, wenn ihr nur für "endliche Teilmengen
> > > > > [mm]E \subseteqq V[/mm]", also
> > > > >
> > > > > [mm]E=\{v_1,...,v_n\}[/mm] mit [mm]|E|=n\,[/mm]
> > > > >
> > > > > halt
> > > > >
> > > > > [mm]\,[/mm] bzw. [mm][/mm]
> > > > >
> > > > > definiert habt (was ich alles andere als gut fände!), dann
> > > > > wäre es für mich
> > > > > schonmal wichtig, zu sehen, ob Dir klar ist,
> was
> > > [mm]\,[/mm]
> > > > > eigentlich ist.
> > > > >
> > > > > Um das deutlicher zu machen:
> > > > > Was ist (anschaulich)
> > > > >
> > > > > [mm]<(1,2)^T> \subseteqq \IR^2[/mm]
> > > >
> > > > Also, [mm]<(1,2)^T>[/mm] wäre dann ja der Span von [mm]\vektor{1\\2}[/mm]
> > > > und demnach alle Linearkombinationen des Vektors in [mm]\IR^2[/mm]
> > > > sozusagen.
> > >
> > > Da steht eine Menge(!). Diese Menge enthält alle die von
> > > Dir genannten
> > > Elemente. Aber wie kann man sie einfach
> beschreiben?
> > > Die Elemente entstehen doch dadurch, dass "man einen
> > > Vektor *vervielfältigt*".
> > > Was ist also der genannte Span? Da ich wenigstens
> das
> > > geometrische
> > > Wort von Dir hören will:
> > > Der Graph der Funktion
> > >
> > > [mm]\IR \ni x \mapsto f(x):=2x \in \IR\,,[/mm]
> > >
> > > also
> > >
> > > [mm]\text{graph}(f):=\{(x,2x)^T \in \IR^2: x \in \IR\}[/mm]
> >
> >
> > > ist nichts anderes als eine
> > >
> > > Ur...gs-Ger...
> > >
> > > im [mm]\IR^2\,.[/mm] Was hat [mm]\text{graph}(f)[/mm] mit [mm]<(1,2)^T>[/mm] zu tun?
> >
> > Ja, eine Ursprungsgerade. Ich war so im Span-Modus, dass
> > ich das nicht loslassen konnte^^ [mm]<(1,2)^T>[/mm] hat insofern
> > etwas mit [mm]\text{graph}(f)[/mm] zu tun, als (in diesem Fall) die
> > 1 die x- und die 2 die y-Koordinate ist (soll heißen,
> > einmal die x-Koord. ist zweimal die y-Koord [mm]\to[/mm] f(x) =
> > 2x).
>
> Noch viel besser:
>
> [mm]<(1,2)^T>[/mm] [mm]\;=\;[/mm] [mm]\text{graph}(f)\,.[/mm]
>
> Ist Dir das nicht klar?
>
> [mm]\text{graph}(f)=\{(x,2x)^T \in \IR^2:\;\; x \in \IR\}=\{x*(1,2)^T:\;\; x \in \IR\}\,,[/mm]
>
> und ganz rechts steht doch nichts anderes als [mm]<(1,2)^T>\,[/mm]!
> Klar(er)?
Ja, glaube schon.
>
> > >
> > > > >
> > > > > und was ist (anschaulich)
> > > > >
> > > > > [mm]<(1,0,0)^T,\;(0,1,0)^T> \subseteqq \IR^3[/mm]?
> > > >
> > > > Auch hier wieder der Span von [mm]\vektor{1\\0\\0}[/mm] und
> > > > [mm]\vektor{0\\1\\0},[/mm] also alle Linearkombinationen der beiden
> > > > Vektoren in [mm]\IR^3[/mm]
> > >
> > > Die Bitte an Dich:
> > > Den [mm]\IR^3[/mm] zeichnen wir als kartesisches KO-System und reden
> > > dann unter anderem
> > > von den [mm]x\,[/mm]-, [mm]y\,-[/mm] und [mm]z\,[/mm]-Achsen.
> > > Das kennst Du, oder?
> > > Hier ist durch [mm]<(1,0,0)^T,(0,1,0)^T>[/mm] eine
> > >
> > > Ur...gs-Eb...e
> >
> > Ja, kenn ich. In diesem Fall ist es die xy-Ebene.
>
>
>
> > >
> > > gegeben. Welche ist es? (Die [mm]xy\,[/mm]-Ebene, [mm]xz\,[/mm]-Ebene oder
> > > die [mm]yz\,[/mm]-Ebene?)
> > >
> > > Nebenbei: Hattest Du in der Schule auch analytische
> > > Geometrie?
> >
> > Ja, aber das ist schon einige Jahre her. Und auch nie
> > sonderlich ausführlich, wenn ich mich recht erinnere.
> >
> > >Die Begriffe
> > > "Spannvektoren" sind nicht ganz zufällig gewählt,
> > > wenngleich man munieren
> > > könnte, dass sie verwirren können. Bei dem, was
> ihr
> > > momentan an der
> > > Uni lernt, müsste man diese Begriffe besser nur bei
> > > "Objektien", die auch
> > > durch den "Ur...g" gehen, verwenden.
> > > Vielleicht auch nochmal eine andere Frage an Dich:
> > > Unterräume des [mm]\IR^n[/mm] müssen
> > >
> > > Was?
> > >
> > > immer enthalten? Tipp: Ur...g.
> >
> > Den Ursprung, z.B. den Nullvektor, oder?
>
> Der Urspung ist der Nullvektor. Aber ja, der muss immer
> drin sein.
>
> > > Aber Ebenen tun das halt nicht immer...
> > >
> > > > > ([mm]\IR^n[/mm] ist immer als *üblicher [mm]\IR[/mm]-Vektorraum*
> > > > > aufzufassen, wenn ich nichts
> > > > > anderes sage!)
> > > > >
> > > > > P.S. Bei Rückfragen: Jedenfalls ich werde erst ein wenig
> > > > > später antworten
> > > > > können. Aber Du darfst auch gerne dennoch weiterfragen,
> > > > > denn manchmal
> > > > > hilft es ja gerade, dass jemand aus einem
> anderen
> > > > > Blickwinkel oder mit
> > > > > anderen Worten etwas dazu sagt.
> > > > >
> > > > > P.P.S. Lange Pausen vom Nachdenken sind auch gut, manchmal
> > > > > müssen sich
> > > > > auch die Gedanken im Gehirn ein wenig selbst
> > > sortieren
> > > > > dürfen. Hilfreich
> > > > > dafür kann es aber dennoch sein, dass Du
> > wenigstens
> > > > die
> > > > > letzten beiden
> > > > > Fragen vor dem P.S. zuvor überdenkst und ggf.
> > > > > nachfragst!
> > > > >
> > > > > Auf jeden Fall: Zwischendurch mal Abschalten und ganz was
> > > > > anderes tun,
> > > > > der Drang, weiterzumachen, wird sicher eh von
> > > alleine
> > > > > wieder kommen. ^^
> > > > >
> > > > > Gruß,
> > > > > Marcel
> > > >
> > > > Vielen Dank für deine Geduld :P Es ist immer gut, wenn der
> > > > Andere nicht ungeduldig wird und einem Zeit zum Verstehen
> > > > lässt :)
> > >
> > > Wieviel Zeit Du brauchst kann ich eh nicht beeinflussen,
> > > bzw. das hängt
> > > auf jeden Fall nicht nur von mir ab.
> > >
> > > Gruß,
> > > Marcel
>
> Nebenbei, dann einfach mal, um ein wenig die Brücke
> zwischen der L.A.
> und der analytischen Geometrie zu schlagen:
> Ich fand dieses Skript:
>
> http://www.uni-math.gwdg.de/skripten/Aglaskript/agla.pdf
>
> immer sehr hilfreich!
Werde ich mir beizeiten anschauen :) Danke.
>
> Gruß,
> Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:57 So 21.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo,
> >
> > > > Hallo,
> > > >
> > > > ich kürze mal das Zitierte, damit wir ein wenig den
> > > > Überblick behalten:
> > > >
> > > > > > Hallo,
> > > > > >
> > > > > > > > Hallo nochmal,
> > > > > > > >
> > > > > > > > die erweiterte Aufgabe war:
> > > > > > > > Zeige, dass [mm]= [/mm],
> > > > > > > dann
> > > > > > > > und nur dann, wenn
> > > > > > > > jedes [mm]v_i[/mm] zu [mm][/mm] und jedes [mm]w_j[/mm] zu [mm][/mm]
> > > > > > > > gehört.
> > > > > > > >
> > > > > > > > Dort steht für die Aussagen
> > > > > > > >
> > > > > > > > [mm]X \colon[/mm] "[mm][/mm] [mm]=\,[/mm] [mm][/mm]."
>
> >
> > >
> > > >
> > > > >
> > > > > >
> > > > > > > >
> > > > > > > > [mm]Y \colon[/mm] "Jedes [mm]v_i[/mm] gehört zu [mm][/mm] und jedes
> > > > > > > > [mm]w_j[/mm] zu [mm][/mm]."
> > > > > > >
> >
> > > > > > > > dass man [mm]X \gdw Y[/mm] zeigen soll.
> > > > > > > >
> > > > > > > > Das macht man am Besten (anfangs) getrennt, man zeigt
> > > > > > > > "[mm]\Rightarrow[/mm]" (kurz für [mm]X \Rightarrow Y[/mm]):
>
> >
> > >
> > > > >
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > > Man
> > > > > > > setzt
> > > > > > > > voraus, dass [mm]X\,[/mm] wahr ist. Unter dieser Annahme ist zu
> > > > > > > > zeigen, dass
> > > > > > > > damit gefolgert werden kann, dass
> auch
> > [mm]Y\,[/mm]
> > > > wahr
> > > > > sein
> > > > > > > > muss.
> > > > > > > >
> > > > > > > > "[mm]\Leftarrow[/mm]" (kurz für [mm]Y \Leftarrow X[/mm] bzw. [mm]Y \Rightarrow X[/mm]):
>
> >
> > >
> > > >
> > > > >
> > > > > >
> > > > > > >
> > > > > > > >
> > > > > > > > Man setzt voraus, dass [mm]Y\,[/mm] wahr ist. Unter dieser Annahme
> > > > > > > > ist zu zeigen, dass
> > > > > > > > damit gefolgert werden kann, dass
> auch
> > [mm]X\,[/mm]
> > > > wahr
> > > > > sein
> > > > > > > > muss.
> > > > > > > >
> > > > > > > > Soweit alles nachvollziehbar?
> > > > > > > > Soweit ich das gesehen habe, konntest
> Du
> > > den
> > > > > Beweis
> > > > > > von
> > > > > > > > "[mm]\Rightarrow[/mm]" problemlos
> > > > > > > > nachvollziehen. (Nur [mm]v_i \in [/mm]
> > > > muss
> > > > > noch
> > > > > > > > genauer begründet werden!))
> > > > > > >
> > > > > > > Man kann [mm]v_i[/mm] aus [mm]v_1, \ldots, v_n[/mm] bilden, weil der Span ja
> > > > > > > aus allen Linearkombinationen der Vektoren [mm]v_1, \ldots, v_n[/mm]
> > > > > > > besteht. Wenn [mm]v_1[/mm] jetzt in [mm]span(v_1, \ldots, v_n)[/mm] liegt,
> > > > > > > heißt das, dass er ein Term der Linearkombination ist.
> > > > > >
> > > > > > Es gibt doch nicht nur "eine" Linearkombination.
> > > > > >
> > > > > > > Damit kann man ihn auch aus den anderen Elementen bilden.
> > > > > > > Also
> > > > > > >
> > > > > > > [mm]a_iv_i = -(a_1v_1 + \ldots + \neg a_in_i + \ldots + a_nv_n) [/mm],
> > > > > > > für [mm]a_1, \ldots, a_n \in \IR[/mm].
> > > > > >
> > > > > > ich verstehe Deine Notation nicht. Kennst Du das
> > > > > >
> > > > > >
> > > > >
> > > >
> > >
> >
> Kronecker-Delta?
> > > > > >
> > > > > > Fasse es hier ein wenig spezieller auf, indem Du sagst,
> > > > > > dass die [mm]1\,[/mm] die [mm]1=1_K \in K[/mm]
> > > > > > und
> die
> > [mm]0\,[/mm]
> > > die
> > > > [mm]0=0_K \in K[/mm]
> > > > > > bedeuten möge.
> > > > > >
> > > > > > Damit kannst Du schreiben
> > > > > >
> > > > > > [mm]v_i=\sum_{k=1}^n \delta_{i,k}*v_k\,.[/mm]
> > > > >
> >
> > > > > > Anders gesagt:
> > > > > >
> > > > > > [mm]v_1=1*v_1+0*v_2+...+0*v_n\,,[/mm]
> > > > > >
> > > > > > [mm]v_2=0*v_1+1*v_2+0*v_3+...+0*v_n\,,[/mm]
> > > > > >
> > > > > > [mm]v_3=0*v_1+0*v_2+1*v_3+0*v_4...+0*v_n\,,[/mm]
> > > > > >
> > > > > > etc. pp.
> > > > > >
> > > > > > Okay?
> > > > > >
> > > > >
> > > > > Ich denke schon. Wenn das [mm]k[/mm] vom k-ten Vektor übereinstimmt
> > > > > mit dem i-ten Term ([mm]i=k[/mm]), dann ist [mm]\delta = 1 [/mm], ansonsten
> > > > > [mm]\delta = 0 [/mm].
> > > >
> > > > ich glaube, Du meinst das Richtige.
> > > >
> > > > > ...
> > > > > > Meine erste Frage ist eigentlich:
> > > > > > Habt ihr für BELIEBIGE TEILMENGEN [mm]T \subseteqq V[/mm]
> > > > > > eigentlich
> > > > > >
> > > > > > [mm]\,[/mm]
> > > > > >
> > > > > > definiert? Denn damit arbeite ich ja permanent, und es kann
> > > > > > sein, dass Du deswegen
> > > > > > schon den Überblick verlierst.
> > > > >
> > > > > Ich kann mich nicht erinnern, dass wir z.B. jemals diese
> > > > > Notation benutzt hätten. Es ging bis jetzt auch immer um
> > > > > Vektoren [mm]v_1, \ldots, v_n [/mm], also eine endliche Anzahl.
> > > > > Meinst du das?
> > > >
> > > > Ja. Ich finde aber, dass man das nicht machen sollte, weil
> > > > es meiner Meinung
> > > > nach schwerer ist, dann später die Definition
> für
> > > > "beliebig viele Vektoren"
> > > > zu verstehen. Außerdem wirst Du bei mir dann die
> > > Aussage
> > > >
> > > > [mm]<\;\;>[/mm] [mm]=\,[/mm] [mm][/mm]
> > > >
> > > > gar nicht verstehen können, weil Du mit dem Zeichen
> > > > linkerhand gar nichts
> > > > anzufangen weißt.
> > > >
> > > > In diesem Fall müsten wir
> > > >
> > > > [mm]\{w_1,...,w_m\}[/mm] [mm]\subseteqq[/mm] [mm][/mm] [mm]\Rightarrow[/mm]
> > > > [mm][/mm] [mm]\subseteqq[/mm] [mm][/mm]
> > > >
> > > > auch anders beweisen (noch ein Nachteil dieser sehr
> > > > einschränkenden
> > > > Definition), ich mach mal eine "Kurzfassung":
> > > > Wir können [mm]w \in [/mm] schreiben als
> > > >
> > > > [mm]w=\sum_{k=1}^m r_k w_k\,.[/mm]
> > > >
> > > > Das folgt per Definitionem von [mm]\,.[/mm]
> > > >
> > > > Wir wollen [mm]w\,[/mm] sehen in einer Darstellung
> > > >
> > > > [mm]w=\sum_{k=1}^\red{n} s_k v_k\,.[/mm]
> > > >
> > > > Das folgt per Def. von [mm]\,.[/mm]
> > > >
> > > > Wie geht das? Grobgesagt:
> > > > In der Darstellung
> > > >
> > > > [mm]w=\sum_{k=1}^m r_k w_k[/mm] (die wir ja HABEN!)
> > > >
> > > > ersetze jedes [mm]w_j[/mm] durch eine Darstellung der Art
> > > >
> > > > [mm]w_j=\sum_{k=1}^\red{n} s_k^{(j)} v_k[/mm] (solche haben wir
> > > > auch, weil...?),
> > > >
> > > > und dann sortiere das Ganze ein wenig um.
> > >
> > > Wenn ich jetzt also das [mm]w_k[/mm] in
> > >
> > > [mm]w=\sum_{k=1}^m r_k w_k[/mm]
> > >
> > > ersetze durch
> > >
> > > [mm]\sum_{k=1}^n s_kv_k [/mm],
> > >
> > > erhalte ich
> > >
> > > [mm]w = \sum_{k=1}^m r_k \sum_{k=1}^n s_kv_k [/mm].
> >
> > Vorsicht (insbesondere nicht die gleichen Laufindizes
> > nehmen!):
> >
> > [mm]w=\sum_{k=1}^m r_k w_k=\sum_{k=1}^m r_k*\left(\sum_{j=1}^\red{n}s_j^{(k)}v_j\right)[/mm]
>
> >
> >
> > > Also:
> > >
> > > [mm]= r_1(s_1v_1 + \ldots + s_nv_n) + \ldots + r_m(s_1v_1 + \ldots s_nv_n)[/mm]
>
> >
> > Nein, der Fehler kommt daher, dass Du oben so tust, als
> > wenn bei allen [mm]w_k[/mm]
> > die Faktoren
> >
> > [mm]s_1^{(k)},...,s^{(k)}_n[/mm]
> >
> > gleich wären. Weil sie das eben nicht sind, habe ich
> > [mm]s_j^{(k)}[/mm] geschrieben,
> > Du kannst meinetwegen auch [mm]s_{k,1},...,s_{k,n}[/mm]
> schreiben.
> > Mich hat das
> > aber immer mehr verwirrt.
> >
> > > Umgeformt:
> > >
> > > [mm]= (s_1v_1 + \ldots + s_nv_n)(r_1+r_2+\ldots+r_m)[/mm]
> >
> > Ich rechne mal weiter:
> >
> > [mm]w=\sum_{k=1}^m r_k*\left(\sum_{j=1}^\red{n}s_j^{(k)}v_j\right)[/mm]
>
> >
> > [mm]=r_\red{1}*(s^{(\red{1})}_1 v_1+...+s^{(\red{1})}_n v_n)+r_\blue{2}*(s^{(\blue{2})}_1 v_1+...+s^{(\blue{2})}_n v_n) + ... +r_\green{m}*(s^{(\green{m})}_1 v_1+...+s^{(\green{m})}_n v_n)[/mm]
>
> >
> > [mm]=...\,[/mm]
> >
> >
> [mm]=\left(r_\red{1}*s^{(\red{1})}_1+r_\blue{2}s^{(\blue{2})}_1+...+r_\green{m}s^{(\green{m})}_1\right)*v_1+...+\left(r_\red{1}*s^{(\red{1})}_n+r_\blue{2}s^{(\blue{2})}_n+...+r_\green{m}s^{(\green{m})}_n\right)*v_n[/mm]
> >
> > [mm]=\sum_{j=1}^n \left(\sum_{k=1}^m r_k s^{(k)}_j\right)*v_j[/mm]
>
> >
> >
> > Jetzt ist [mm]w\,[/mm] wie gewünscht - siehst Du es?
>
> Ja, ich sehe den Fehler. Ich nehme an, dass dasselbe dann
> für einen Vektor [mm]v[/mm] gilt. Nur irgendwie hab ich den roten
> Faden zur Aufgabenstellung verloren. Heißt das Ergebnis,
> wenn man dasselbe Verfahren für einen Vektor [mm]v[/mm] anwendet,
> dass [mm]=[/mm]?
was wir gemacht haben, war folgendes:
Wenn alle [mm] $w_j \in $ [/mm] (anders gesagt [mm] $\{w_1,...,w_m\}$ $\subseteqq $),
[/mm]
dann gilt
[mm] $$ $\subseteqq$ $\,.$
[/mm]
"Rollentausch" (oder analoges nachrechnen) zeigt:
Wenn [mm] $\{v_1,...,v_n\}$ $\subseteqq$ $\,,$ [/mm] dann
[mm] $$ $\subseteqq$ $\,.$ [/mm]
Und wenn Dir das alles hier gerade zu komplex werden sollte: Denk'
dran, dass ich die Aufgabe eigentlich erweitert hatte. Schau' nochmal
nach, was Du eigentlich nur laut dem Aufgabenblatt zu beweisen hast.
Es war wohl nur eine dieser beiden Beweisrichtungen, wobei ich mich
wundere, wieso man nicht direkt den Beweis der Äquivalenz als Aufgabe
stellt.
> > > Wie hilft mir das jetzt genau? Ein Vektor [mm]v_i[/mm] ([mm]s_1v_1 + \ldots + s_nv_n[/mm])
> > > multipliziert mit den Koeffizienten eines Vektors [mm]w_j[/mm]
> > > ergibt [mm]w[/mm] ([mm]r_1+r_2+\ldots+r_m[/mm])?
> > >
> > > > Manchmal hilft es
> > > > auch, um zu
> > > > sehen, was da zu machen ist, wenn man wenigstens
> mal
> > > die
> > > > Zahlen [mm]m\,[/mm] und [mm]n\,[/mm]
> > > > "testweise konkretisiert". Beispielsweise könntest Du ja
> > > > mal so tun, als wenn
> > > > [mm]m=3\,[/mm] und [mm]n=5\,[/mm] wäre (der Rest wird NICHT
> > > > konkretisiert).
> > > >
> > > > > > Falls nein: Selbst, wenn ihr nur für "endliche Teilmengen
> > > > > > [mm]E \subseteqq V[/mm]", also
> > > > > >
> > > > > > [mm]E=\{v_1,...,v_n\}[/mm] mit [mm]|E|=n\,[/mm]
> > > > > >
> > > > > > halt
> > > > > >
> > > > > > [mm]\,[/mm] bzw. [mm][/mm]
> > > > > >
> > > > > > definiert habt (was ich alles andere als gut fände!), dann
> > > > > > wäre es für mich
> > > > > > schonmal wichtig, zu sehen, ob Dir klar
> ist,
> > was
> > > > [mm]\,[/mm]
> > > > > > eigentlich ist.
> > > > > >
> > > > > > Um das deutlicher zu machen:
> > > > > > Was ist (anschaulich)
> > > > > >
> > > > > > [mm]<(1,2)^T> \subseteqq \IR^2[/mm]
> > > > >
> > > > > Also, [mm]<(1,2)^T>[/mm] wäre dann ja der Span von [mm]\vektor{1\\2}[/mm]
> > > > > und demnach alle Linearkombinationen des Vektors in [mm]\IR^2[/mm]
> > > > > sozusagen.
> > > >
> > > > Da steht eine Menge(!). Diese Menge enthält alle die von
> > > > Dir genannten
> > > > Elemente. Aber wie kann man sie einfach
> > beschreiben?
> > > > Die Elemente entstehen doch dadurch, dass "man
> einen
> > > > Vektor *vervielfältigt*".
> > > > Was ist also der genannte Span? Da ich wenigstens
> > das
> > > > geometrische
> > > > Wort von Dir hören will:
> > > > Der Graph der Funktion
> > > >
> > > > [mm]\IR \ni x \mapsto f(x):=2x \in \IR\,,[/mm]
> > > >
> > > > also
> > > >
> > > > [mm]\text{graph}(f):=\{(x,2x)^T \in \IR^2: x \in \IR\}[/mm]
> >
> >
> > >
> > > > ist nichts anderes als eine
> > > >
> > > > Ur...gs-Ger...
> > > >
> > > > im [mm]\IR^2\,.[/mm] Was hat [mm]\text{graph}(f)[/mm] mit [mm]<(1,2)^T>[/mm] zu tun?
> > >
> > > Ja, eine Ursprungsgerade. Ich war so im Span-Modus, dass
> > > ich das nicht loslassen konnte^^ [mm]<(1,2)^T>[/mm] hat insofern
> > > etwas mit [mm]\text{graph}(f)[/mm] zu tun, als (in diesem Fall) die
> > > 1 die x- und die 2 die y-Koordinate ist (soll heißen,
> > > einmal die x-Koord. ist zweimal die y-Koord [mm]\to[/mm] f(x) =
> > > 2x).
> >
> > Noch viel besser:
> >
> > [mm]<(1,2)^T>[/mm] [mm]\;=\;[/mm] [mm]\text{graph}(f)\,.[/mm]
> >
> > Ist Dir das nicht klar?
> >
> > [mm]\text{graph}(f)=\{(x,2x)^T \in \IR^2:\;\; x \in \IR\}=\{x*(1,2)^T:\;\; x \in \IR\}\,,[/mm]
>
> >
> > und ganz rechts steht doch nichts anderes als [mm]<(1,2)^T>\,[/mm]!
> > Klar(er)?
>
> Ja, glaube schon.
>
> >
> > > >
> > > > > >
> > > > > > und was ist (anschaulich)
> > > > > >
> > > > > > [mm]<(1,0,0)^T,\;(0,1,0)^T> \subseteqq \IR^3[/mm]?
> > >
> > >
> > > > > Auch hier wieder der Span von [mm]\vektor{1\\0\\0}[/mm] und
> > > > > [mm]\vektor{0\\1\\0},[/mm] also alle Linearkombinationen der beiden
> > > > > Vektoren in [mm]\IR^3[/mm]
> > > >
> > > > Die Bitte an Dich:
> > > > Den [mm]\IR^3[/mm] zeichnen wir als kartesisches KO-System und reden
> > > > dann unter anderem
> > > > von den [mm]x\,[/mm]-, [mm]y\,-[/mm] und [mm]z\,[/mm]-Achsen.
> > > > Das kennst Du, oder?
> > > > Hier ist durch [mm]<(1,0,0)^T,(0,1,0)^T>[/mm] eine
> > > >
> > > > Ur...gs-Eb...e
> > >
> > > Ja, kenn ich. In diesem Fall ist es die xy-Ebene.
> >
> >
> >
> > > >
> > > > gegeben. Welche ist es? (Die [mm]xy\,[/mm]-Ebene, [mm]xz\,[/mm]-Ebene oder
> > > > die [mm]yz\,[/mm]-Ebene?)
> > > >
> > > > Nebenbei: Hattest Du in der Schule auch analytische
> > > > Geometrie?
> > >
> > > Ja, aber das ist schon einige Jahre her. Und auch nie
> > > sonderlich ausführlich, wenn ich mich recht erinnere.
> > >
> > > >Die Begriffe
> > > > "Spannvektoren" sind nicht ganz zufällig
> gewählt,
> > > > wenngleich man munieren
> > > > könnte, dass sie verwirren können. Bei dem, was
> > ihr
> > > > momentan an der
> > > > Uni lernt, müsste man diese Begriffe besser nur
> bei
> > > > "Objektien", die auch
> > > > durch den "Ur...g" gehen, verwenden.
> > > > Vielleicht auch nochmal eine andere Frage an Dich:
> > > > Unterräume des [mm]\IR^n[/mm] müssen
> > > >
> > > > Was?
> > > >
> > > > immer enthalten? Tipp: Ur...g.
> > >
> > > Den Ursprung, z.B. den Nullvektor, oder?
> >
> > Der Urspung ist der Nullvektor. Aber ja, der muss immer
> > drin sein.
> >
> > > > Aber Ebenen tun das halt nicht immer...
> > > >
> > > > > > ([mm]\IR^n[/mm] ist immer als *üblicher [mm]\IR[/mm]-Vektorraum*
> > > > > > aufzufassen, wenn ich nichts
> > > > > > anderes sage!)
> > > > > >
> > > > > > P.S. Bei Rückfragen: Jedenfalls ich werde erst ein wenig
> > > > > > später antworten
> > > > > > können. Aber Du darfst auch gerne dennoch weiterfragen,
> > > > > > denn manchmal
> > > > > > hilft es ja gerade, dass jemand aus einem
> > anderen
> > > > > > Blickwinkel oder mit
> > > > > > anderen Worten etwas dazu sagt.
> > > > > >
> > > > > > P.P.S. Lange Pausen vom Nachdenken sind auch gut, manchmal
> > > > > > müssen sich
> > > > > > auch die Gedanken im Gehirn ein wenig
> selbst
> > > > sortieren
> > > > > > dürfen. Hilfreich
> > > > > > dafür kann es aber dennoch sein, dass Du
> > > wenigstens
> > > > > die
> > > > > > letzten beiden
> > > > > > Fragen vor dem P.S. zuvor überdenkst und
> ggf.
> > > > > > nachfragst!
> > > > > >
> > > > > > Auf jeden Fall: Zwischendurch mal Abschalten und ganz was
> > > > > > anderes tun,
> > > > > > der Drang, weiterzumachen, wird sicher eh
> von
> > > > alleine
> > > > > > wieder kommen. ^^
> > > > > >
> > > > > > Gruß,
> > > > > > Marcel
> > > > >
> > > > > Vielen Dank für deine Geduld :P Es ist immer gut, wenn der
> > > > > Andere nicht ungeduldig wird und einem Zeit zum Verstehen
> > > > > lässt :)
> > > >
> > > > Wieviel Zeit Du brauchst kann ich eh nicht beeinflussen,
> > > > bzw. das hängt
> > > > auf jeden Fall nicht nur von mir ab.
> > > >
> > > > Gruß,
> > > > Marcel
> >
> > Nebenbei, dann einfach mal, um ein wenig die Brücke
> > zwischen der L.A.
> > und der analytischen Geometrie zu schlagen:
> > Ich fand dieses Skript:
> >
> > http://www.uni-math.gwdg.de/skripten/Aglaskript/agla.pdf
> >
> > immer sehr hilfreich!
>
> Werde ich mir beizeiten anschauen :) Danke.
Es gibt durchaus Aussagen der Art, dass man (jedenfalls für [mm] $\IR\,$- [/mm] oder
[mm] $\IC$-Vektorräume) [/mm] eigentlich schon vieles aus der Linearen Algebra als
"verstanden" abhaken kann, wenn man den Zusammenhang zwischen
der Linearen Algebra und der Analytischen Geometrie der Geraden, der
Ebenen und des Raums versteht.
Auch deshalb ist das Skript empfehlenswert. 
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
Hallo, hab mal wieder Tabula rasa gemacht, weil es wieder unübersuchtlich wurde.
> > Ja, ich sehe den Fehler. Ich nehme an, dass dasselbe dann
> > für einen Vektor [mm]v[/mm] gilt. Nur irgendwie hab ich den roten
> > Faden zur Aufgabenstellung verloren. Heißt das Ergebnis,
> > wenn man dasselbe Verfahren für einen Vektor [mm]v[/mm] anwendet,
> > dass [mm]=[/mm]?
>
> was wir gemacht haben, war folgendes:
> Wenn alle [mm]w_j \in [/mm] (anders gesagt
> [mm]\{w_1,...,w_m\}[/mm] [mm]\subseteqq [/mm]),
> dann gilt
>
> [mm][/mm] [mm]\subseteqq[/mm] [mm]\,.[/mm]
>
> "Rollentausch" (oder analoges nachrechnen) zeigt:
> Wenn [mm]\{v_1,...,v_n\}[/mm] [mm]\subseteqq[/mm] [mm]\,,[/mm] dann
>
> [mm][/mm] [mm]\subseteqq[/mm] [mm]\,.[/mm]
>
> Und wenn Dir das alles hier gerade zu komplex werden
> sollte: Denk'
> dran, dass ich die Aufgabe eigentlich erweitert hatte.
> Schau' nochmal
> nach, was Du eigentlich nur laut dem Aufgabenblatt zu
> beweisen hast.
> Es war wohl nur eine dieser beiden Beweisrichtungen, wobei
> ich mich
> wundere, wieso man nicht direkt den Beweis der Äquivalenz
> als Aufgabe
> stellt.
Also, zur Wiederholung: Die Aufgabe lautete, dass man zeigen sollte, dass
$ [mm] [/mm] = [mm] [/mm] $
nur dann zutrifft, wenn jeder Vektor [mm] $v_i$ [/mm] zu [mm] $$ [/mm] und jeder Vektor [mm] $w_i$ [/mm] zu [mm] $$ [/mm] gehört (das war jedenfalls die erste von vier Teilaufgaben).
Aber ist das jetzt mit dem Verfahren, dass du mir gezeigt hast, bewiesen? Wenn ich also zeige, dass
$ w = [mm] \sum_{k=1}^m r_k [/mm] * [mm] (\sum_{j=1}^n s_j^{(k)}v_j) [/mm] = [mm] \sum_{j=1}^n*(\sum_{k=1}^m r_ks_j^{(k)})*v_j [/mm] $
und
$ v = [mm] \sum_{k=1}^n s_k [/mm] * [mm] (\sum_{j=1}^m r_j^{(k)}w_j) [/mm] = [mm] \sum_{j=1}^m*(\sum_{k=1}^n s_kr_j^{(k)})*w_j [/mm] $
gelten, ist das dann ein Beweis?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:48 So 21.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo, hab mal wieder Tabula rasa gemacht, weil es wieder
> unübersuchtlich wurde.
>
> > > Ja, ich sehe den Fehler. Ich nehme an, dass dasselbe dann
> > > für einen Vektor [mm]v[/mm] gilt. Nur irgendwie hab ich den roten
> > > Faden zur Aufgabenstellung verloren. Heißt das Ergebnis,
> > > wenn man dasselbe Verfahren für einen Vektor [mm]v[/mm] anwendet,
> > > dass [mm]=[/mm]?
> >
> > was wir gemacht haben, war folgendes:
> > Wenn alle [mm]w_j \in [/mm] (anders gesagt
> > [mm]\{w_1,...,w_m\}[/mm] [mm]\subseteqq [/mm]),
> > dann gilt
> >
> > [mm][/mm] [mm]\subseteqq[/mm] [mm]\,.[/mm]
> >
> > "Rollentausch" (oder analoges nachrechnen) zeigt:
> > Wenn [mm]\{v_1,...,v_n\}[/mm] [mm]\subseteqq[/mm] [mm]\,,[/mm] dann
> >
> > [mm][/mm] [mm]\subseteqq[/mm] [mm]\,.[/mm]
> >
> > Und wenn Dir das alles hier gerade zu komplex werden
> > sollte: Denk'
> > dran, dass ich die Aufgabe eigentlich erweitert hatte.
> > Schau' nochmal
> > nach, was Du eigentlich nur laut dem Aufgabenblatt zu
> > beweisen hast.
> > Es war wohl nur eine dieser beiden Beweisrichtungen,
> wobei
> > ich mich
> > wundere, wieso man nicht direkt den Beweis der
> Äquivalenz
> > als Aufgabe
> > stellt.
>
> Also, zur Wiederholung: Die Aufgabe lautete, dass man
> zeigen sollte, dass
>
> [mm] = [/mm]
>
> nur dann zutrifft, wenn jeder Vektor [mm]v_i[/mm] zu [mm][/mm]
> und jeder Vektor [mm]w_i[/mm] zu [mm][/mm] gehört (das war
> jedenfalls die erste von vier Teilaufgaben).
ich würde zur Sicherheit morgen mal nachfragen, ob das wirklich nur eine
*einfache* Folgerung ist, die zu beweisen ist. Oder ob bei der Aufgabe eine
Äquivalenz bewiesen werden soll.
Man sagt für Aussagen [mm] $X,Y\,:$
[/mm]
[mm] "$X\,$ [/mm] gilt nur dann, wenn [mm] $Y\,$"
[/mm]
eigentlich, wenn man sagen will: $X [mm] \Rightarrow Y\,.$
[/mm]
Ich hege aber stark die Vermutung, dass ihr dennoch bei der Aufgabe
eine Äquivalenz zeigen sollt.
> Aber ist das jetzt mit dem Verfahren, dass du mir gezeigt
> hast, bewiesen? Wenn ich also zeige, dass
>
> [mm]w = \sum_{k=1}^m r_k * (\sum_{j=1}^n s_j^{(k)}v_j) = \sum_{j=1}^n*(\sum_{k=1}^m r_ks_j^{(k)})*v_j[/mm]
>
> und
>
> [mm]v = \sum_{k=1}^n s_k * (\sum_{j=1}^m r_j^{(k)}w_j) = \sum_{j=1}^m*(\sum_{k=1}^n s_kr_j^{(k)})*w_j[/mm]
>
> gelten, ist das dann ein Beweis?
Das brauchen wir für $Y [mm] \Rightarrow X\,,$ [/mm] wobei die Aussagen [mm] $X\,$ [/mm] und [mm] $Y\,$
[/mm]
hier
definiert worden sind. Und das alleine reicht natürlich nicht, Du musst schon
das so zusammenschreiben, wie es bei mir steht.
Um Dir jetzt nicht alle Gedanken durcheinander zu bringen, schreibe ich
Dir nochmal hin, was i.W. bei "$X [mm] \Rightarrow [/mm] Y$" stehen soll:
Gelte [mm] $X\,,$ [/mm] also wahr sei
[mm] $$ $\,=$ $\,.$ [/mm]
Es ist zunächst zu beweisen, dass dann alle [mm] $w_i$ [/mm] zu [mm] $$ [/mm] gehören.
Da für jedes $j [mm] \in \{1,...,m\}$ [/mm] gilt
[mm] $w_j=\sum_{k=1}^m \delta_{k,j} w_k$ ($\delta_{k,j}$ [/mm] ist das Kronecker-Delta,
wobei wir es aber so verstehen wollen, dass [mm] $1=1_K \in [/mm] K$ und [mm] $0=0_k \in [/mm] K$ meint!),
erkennen wir [mm] $w_j \in \,.$
[/mm]
Wegen [mm] $$ $=\,$ $$ [/mm] folgt für alle diese [mm] $j\,$
[/mm]
[mm] $w_j \in \,.$
[/mm]
Der Nachweis, dass alle [mm] $v_i \in $ [/mm] gilt, geht dann analog. (Falls es
für Dich gar nicht aufschreibbar ist, kann ich es gerne auch noch hinschreiben.
Ich denke eh, dass Du den Beweis in einer *eigenen Version* abliefern wirst.
Und die beinhaltet eh nur das, was Dir selbst klar ist!)
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
> Hallo,
>
> > Hallo, hab mal wieder Tabula rasa gemacht, weil es wieder
> > unübersuchtlich wurde.
> >
> > > > Ja, ich sehe den Fehler. Ich nehme an, dass dasselbe dann
> > > > für einen Vektor [mm]v[/mm] gilt. Nur irgendwie hab ich den roten
> > > > Faden zur Aufgabenstellung verloren. Heißt das Ergebnis,
> > > > wenn man dasselbe Verfahren für einen Vektor [mm]v[/mm] anwendet,
> > > > dass [mm]=[/mm]?
> > >
> > > was wir gemacht haben, war folgendes:
> > > Wenn alle [mm]w_j \in [/mm] (anders gesagt
> > > [mm]\{w_1,...,w_m\}[/mm] [mm]\subseteqq [/mm]),
> > > dann
> gilt
> > >
> > > [mm][/mm] [mm]\subseteqq[/mm] [mm]\,.[/mm]
> > >
> > > "Rollentausch" (oder analoges nachrechnen) zeigt:
> > > Wenn [mm]\{v_1,...,v_n\}[/mm] [mm]\subseteqq[/mm] [mm]\,,[/mm]
> dann
> > >
> > > [mm][/mm] [mm]\subseteqq[/mm] [mm]\,.[/mm]
> > >
> > > Und wenn Dir das alles hier gerade zu komplex werden
> > > sollte: Denk'
> > > dran, dass ich die Aufgabe eigentlich erweitert
> hatte.
> > > Schau' nochmal
> > > nach, was Du eigentlich nur laut dem Aufgabenblatt
> zu
> > > beweisen hast.
> > > Es war wohl nur eine dieser beiden Beweisrichtungen,
> > wobei
> > > ich mich
> > > wundere, wieso man nicht direkt den Beweis der
> > Äquivalenz
> > > als Aufgabe
> > > stellt.
> >
> > Also, zur Wiederholung: Die Aufgabe lautete, dass man
> > zeigen sollte, dass
> >
> > [mm] = [/mm]
> >
> > nur dann zutrifft, wenn jeder Vektor [mm]v_i[/mm] zu [mm][/mm]
> > und jeder Vektor [mm]w_i[/mm] zu [mm][/mm] gehört (das war
> > jedenfalls die erste von vier Teilaufgaben).
>
> ich würde zur Sicherheit morgen mal nachfragen, ob das
> wirklich nur eine
> *einfache* Folgerung ist, die zu beweisen ist. Oder ob bei
> der Aufgabe eine
> Äquivalenz bewiesen werden soll.
>
> Man sagt für Aussagen [mm]X,Y\,:[/mm]
> "[mm]X\,[/mm] gilt nur dann, wenn [mm]Y\,[/mm]"
>
> eigentlich, wenn man sagen will: [mm]X \Rightarrow Y\,.[/mm]
>
> Ich hege aber stark die Vermutung, dass ihr dennoch bei der
> Aufgabe
> eine Äquivalenz zeigen sollt.
>
> > Aber ist das jetzt mit dem Verfahren, dass du mir gezeigt
> > hast, bewiesen? Wenn ich also zeige, dass
> >
> > [mm]w = \sum_{k=1}^m r_k * (\sum_{j=1}^n s_j^{(k)}v_j) = \sum_{j=1}^n*(\sum_{k=1}^m r_ks_j^{(k)})*v_j[/mm]
>
> >
> > und
> >
> > [mm]v = \sum_{k=1}^n s_k * (\sum_{j=1}^m r_j^{(k)}w_j) = \sum_{j=1}^m*(\sum_{k=1}^n s_kr_j^{(k)})*w_j[/mm]
>
> >
> > gelten, ist das dann ein Beweis?
>
> Das brauchen wir für [mm]Y \Rightarrow X\,,[/mm] wobei die Aussagen
> [mm]X\,[/mm] und [mm]Y\,[/mm]
>
> hier
>
> definiert worden sind. Und das alleine reicht natürlich
> nicht, Du musst schon
> das so zusammenschreiben, wie es bei mir steht.
>
>
>
>
>
> Um Dir jetzt nicht alle Gedanken durcheinander zu bringen,
> schreibe ich
> Dir nochmal hin, was i.W. bei "[mm]X \Rightarrow Y[/mm]" stehen
> soll:
> Gelte [mm]X\,,[/mm] also wahr sei
>
> [mm][/mm] [mm]\,=[/mm] [mm]\,.[/mm]
>
> Es ist zunächst zu beweisen, dass dann alle [mm]w_i[/mm] zu
> [mm][/mm] gehören.
>
> Da für jedes [mm]j \in \{1,...,m\}[/mm] gilt
>
> [mm]w_j=\sum_{k=1}^m \delta_{k,j} w_k[/mm] ([mm]\delta_{k,j}[/mm] ist das
> Kronecker-Delta,
> wobei wir es aber so verstehen wollen, dass [mm]1=1_K \in K[/mm]
> und [mm]0=0_k \in K[/mm] meint!),
>
> erkennen wir [mm]w_j \in \,.[/mm]
>
> Wegen [mm][/mm] [mm]=\,[/mm] [mm][/mm] folgt für alle diese
> [mm]j\,[/mm]
>
> [mm]w_j \in \,.[/mm]
>
> Der Nachweis, dass alle [mm]v_i \in [/mm] gilt, geht
> dann analog. (Falls es
> für Dich gar nicht aufschreibbar ist, kann ich es gerne
> auch noch hinschreiben.
> Ich denke eh, dass Du den Beweis in einer *eigenen
> Version* abliefern wirst.
> Und die beinhaltet eh nur das, was Dir selbst klar ist!)
Das kann ich bisher eigentlich nachvollziehen. Nur dann haben wir bisher ja gezeigt, dass $ [mm] v_i \in [/mm] $ und $ [mm] w_i \in [/mm] $. Das wäre dann also $ X [mm] \Rightarrow [/mm] Y $, stimmt's? Die Aufgabenstellung sagt ja, dass die Äquivalenz nur zutrifft, wenn jedes Element der einen Menge in der anderen Menge ist und umgekehrt. Streng genommen haben wir das ja bewiesen, wenn man sagen kann, dass $ [mm] v_i \in [/mm] $ und $ [mm] w_i \in [/mm] $, oder übersehe ich etwas?
Um direkt mal auf die zweite Aufgabenstellung einzugehen: Leite aus der ersten Teilaufgabe her, dass $ [mm] [/mm] = [mm] [/mm] $ für jedes $ c [mm] \in \IR [/mm] $ und jedes Paar $ (i,j) $ mit $1 [mm] \le [/mm] i [mm] \not= [/mm] j [mm] \le [/mm] n $. Ich muss gestehen, dass ich hier nicht wirklich durchschaue, was genau gemeint ist. Heißt das einfach, dass man dasselbe erhält, wenn man ein Element aus einer Menge zu einer mit einer Konstante multiplizierten Version eines anderen Elementes derselben Menge hinzu addiert?
Eine ähnliche Frage ließe sich stellen für Teilaufgabe drei: Leite auch her, dass $ [mm] [/mm] = [mm] [/mm] $ für jedes $ i $ und jedes $ c [mm] \in \IR [/mm] - [mm] \{0\} [/mm] $. Bedeutet das, dass man ein Element aus der Menge mit einer Konstante multiplizieren kann und dass die Menge dadurch dieselbe bleibt?
Wenn dem so ist und wenn man für die zwei Teilaufgaben den Beweis gefunden hat, dann soll man in Teilaufgabe vier aus zwei und drei herleiten, dass eine Basis eine Basis bleibt, wenn man ein Element daraus ein paarmal zu einem anderen Element der Basis addiert oder wenn man ein Element aus der Basis mit einer Konstante ungleich null multipliziert. Wie unterscheidet sich dann diese Aufgabenstellung von den beiden anderen, außer dass hier die Ergebnisse aus zwei und drei zusammengefasst werden?
UND natürlich die obligatorische Frage: Wie könnte ich das beweisen? :P
Ich stelle jetzt so viele Fragen auf einmal, weil ich ein bisschen Zeitdruck habe. Ich muss die Aufgaben vor morgen früh fertig haben :/ Und ich will sie gerne alle lösen...
>
> Gruß,
> Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:54 Mo 22.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo,
> >
> > > Hallo, hab mal wieder Tabula rasa gemacht, weil es wieder
> > > unübersuchtlich wurde.
> > >
> > > > > Ja, ich sehe den Fehler. Ich nehme an, dass dasselbe dann
> > > > > für einen Vektor [mm]v[/mm] gilt. Nur irgendwie hab ich den roten
> > > > > Faden zur Aufgabenstellung verloren. Heißt das Ergebnis,
> > > > > wenn man dasselbe Verfahren für einen Vektor [mm]v[/mm] anwendet,
> > > > > dass [mm]=[/mm]?
> > > >
> > > > was wir gemacht haben, war folgendes:
> > > > Wenn alle [mm]w_j \in [/mm] (anders gesagt
> > > > [mm]\{w_1,...,w_m\}[/mm] [mm]\subseteqq [/mm]),
> > > >
> dann
> > gilt
> > > >
> > > > [mm][/mm] [mm]\subseteqq[/mm] [mm]\,.[/mm]
> > > >
> > > > "Rollentausch" (oder analoges nachrechnen) zeigt:
> > > > Wenn [mm]\{v_1,...,v_n\}[/mm] [mm]\subseteqq[/mm] [mm]\,,[/mm]
> > dann
> > > >
> > > > [mm][/mm] [mm]\subseteqq[/mm] [mm]\,.[/mm]
> > > >
> > > > Und wenn Dir das alles hier gerade zu komplex werden
> > > > sollte: Denk'
> > > > dran, dass ich die Aufgabe eigentlich erweitert
> > hatte.
> > > > Schau' nochmal
> > > > nach, was Du eigentlich nur laut dem
> Aufgabenblatt
> > zu
> > > > beweisen hast.
> > > > Es war wohl nur eine dieser beiden
> Beweisrichtungen,
> > > wobei
> > > > ich mich
> > > > wundere, wieso man nicht direkt den Beweis der
> > > Äquivalenz
> > > > als Aufgabe
> > > > stellt.
> > >
> > > Also, zur Wiederholung: Die Aufgabe lautete, dass man
> > > zeigen sollte, dass
> > >
> > > [mm] = [/mm]
> > >
> > > nur dann zutrifft, wenn jeder Vektor [mm]v_i[/mm] zu [mm][/mm]
> > > und jeder Vektor [mm]w_i[/mm] zu [mm][/mm] gehört (das war
> > > jedenfalls die erste von vier Teilaufgaben).
> >
> > ich würde zur Sicherheit morgen mal nachfragen, ob das
> > wirklich nur eine
> > *einfache* Folgerung ist, die zu beweisen ist. Oder ob
> bei
> > der Aufgabe eine
> > Äquivalenz bewiesen werden soll.
> >
> > Man sagt für Aussagen [mm]X,Y\,:[/mm]
> > "[mm]X\,[/mm] gilt nur dann, wenn [mm]Y\,[/mm]"
> >
> > eigentlich, wenn man sagen will: [mm]X \Rightarrow Y\,.[/mm]
> >
> > Ich hege aber stark die Vermutung, dass ihr dennoch bei der
> > Aufgabe
> > eine Äquivalenz zeigen sollt.
> >
> > > Aber ist das jetzt mit dem Verfahren, dass du mir gezeigt
> > > hast, bewiesen? Wenn ich also zeige, dass
> > >
> > > [mm]w = \sum_{k=1}^m r_k * (\sum_{j=1}^n s_j^{(k)}v_j) = \sum_{j=1}^n*(\sum_{k=1}^m r_ks_j^{(k)})*v_j[/mm]
>
> >
> > >
> > > und
> > >
> > > [mm]v = \sum_{k=1}^n s_k * (\sum_{j=1}^m r_j^{(k)}w_j) = \sum_{j=1}^m*(\sum_{k=1}^n s_kr_j^{(k)})*w_j[/mm]
>
> >
> > >
> > > gelten, ist das dann ein Beweis?
> >
> > Das brauchen wir für [mm]Y \Rightarrow X\,,[/mm] wobei die Aussagen
> > [mm]X\,[/mm] und [mm]Y\,[/mm]
> >
> > hier
> >
> > definiert worden sind. Und das alleine reicht natürlich
> > nicht, Du musst schon
> > das so zusammenschreiben, wie es bei mir steht.
> >
> >
> >
> >
> >
> > Um Dir jetzt nicht alle Gedanken durcheinander zu bringen,
> > schreibe ich
> > Dir nochmal hin, was i.W. bei "[mm]X \Rightarrow Y[/mm]" stehen
> > soll:
> > Gelte [mm]X\,,[/mm] also wahr sei
> >
> > [mm][/mm] [mm]\,=[/mm] [mm]\,.[/mm]
> >
> > Es ist zunächst zu beweisen, dass dann alle [mm]w_i[/mm] zu
> > [mm][/mm] gehören.
> >
> > Da für jedes [mm]j \in \{1,...,m\}[/mm] gilt
> >
> > [mm]w_j=\sum_{k=1}^m \delta_{k,j} w_k[/mm] ([mm]\delta_{k,j}[/mm] ist das
> > Kronecker-Delta,
> > wobei wir es aber so verstehen wollen, dass [mm]1=1_K \in K[/mm]
> > und [mm]0=0_k \in K[/mm] meint!),
> >
> > erkennen wir [mm]w_j \in \,.[/mm]
> >
> > Wegen [mm][/mm] [mm]=\,[/mm] [mm][/mm] folgt für alle diese
> > [mm]j\,[/mm]
> >
> > [mm]w_j \in \,.[/mm]
> >
> > Der Nachweis, dass alle [mm]v_i \in [/mm] gilt, geht
> > dann analog. (Falls es
> > für Dich gar nicht aufschreibbar ist, kann ich es
> gerne
> > auch noch hinschreiben.
> > Ich denke eh, dass Du den Beweis in einer *eigenen
> > Version* abliefern wirst.
> > Und die beinhaltet eh nur das, was Dir selbst klar
> ist!)
>
> Das kann ich bisher eigentlich nachvollziehen. Nur dann
> haben wir bisher ja gezeigt, dass [mm]v_i \in [/mm]
> und [mm]w_i \in [/mm]. Das wäre dann also [mm]X \Rightarrow Y [/mm],
> stimmt's?
Genau. Und pass' ein wenig mit der Sprache auf: Wir haben gezeigt, dass
alle [mm] $w_i$ [/mm] (d.h. [mm] $w_i$ [/mm] für $i=1,...,m$) erfüllen [mm] $w_i \in \,.$
[/mm]
> Die Aufgabenstellung sagt ja, dass die
> Äquivalenz
Du meinst nicht die Äquivalenz, sondern die Gleichheit der genannten Spans!
> nur zutrifft, wenn jedes Element der einen
> Menge in der anderen Menge ist und umgekehrt.
>
> Streng
> genommen haben wir das ja bewiesen, wenn man sagen kann,
> dass
alle(!)
> [mm]v_i \in [/mm] und
alle(!)
> [mm]w_i \in [/mm],
Hier würde man besser einen anderen Index nehmen, aber okay!
> oder übersehe ich etwas?
Das, was da steht, würde für mich bedeuten, dass $X [mm] \Rightarrow [/mm] Y$ zu beweisen ist,
und das haben wir getan (wir haben sogar das etwas komplexere $Y [mm] \Rightarrow [/mm] X$
auch irgendwo, wenn man es ordentlich zusammenschreibt, bewiesen).
> Um direkt mal auf die zweite Aufgabenstellung einzugehen:
> Leite aus der ersten Teilaufgabe her, dass
> [mm] = [/mm]
da steht sicher in der Mitte
[mm] $v_\red{i}+cv_j$?!
[/mm]
Und danach geht es mit [mm] $v_{i+1}$ [/mm] weiter...
> für jedes [mm]c \in \IR[/mm] und jedes Paar [mm](i,j)[/mm] mit [mm]1 \le i \not= j \le n [/mm].
> Ich muss gestehen, dass ich hier nicht wirklich
> durchschaue, was genau gemeint ist. Heißt das einfach,
> dass man dasselbe erhält, wenn man ein Element aus einer
> Menge zu einer mit einer Konstante multiplizierten Version
> eines anderen Elementes derselben Menge hinzu addiert?
Die beiden (endlichen) Erzeugendensysteme erzeugen dann den gleichen
Unterraum!
Die Aufgabe ist aber nicht schwer:
Hier ist [mm] $m=n\,$ [/mm] nach Vorgabe. Setze für
$k=1,...,m$ und $k [mm] \not=i$ [/mm] dann [mm] $w_k:=v_k\,,$
[/mm]
und
[mm] $w_i:=v_i+cv_j\,.$
[/mm]
Nach 1. reicht es, zu zeigen: Für k=1,...,n ist [mm] $w_k \in $ [/mm] und
auch [mm] $v_k \in \,.$
[/mm]
(Das ist die Aufgabe, die nun erledigt werden sollte!)
Ich hoffe, dass Dir mittlerweise sowas wie
$u [mm] \in [/mm] <.,.,u,.,.,.>$
klar ist. Damit ist vieles oben klar:
Du musst nur noch
[mm] $w_i \in $
[/mm]
und
[mm] $v_i \in $
[/mm]
begründen. (Das [mm] $i\,$ [/mm] ist hier FEST! Man würde vielleicht auch besser [mm] $i_0$ [/mm] schreiben,
damit der Parameter-Charakter hier klarer ist!)
> Eine ähnliche Frage ließe sich stellen für Teilaufgabe
> drei: Leite auch her, dass [mm] = [/mm]
> für jedes [mm]i[/mm] und jedes [mm]c \in \IR - \{0\} [/mm]. Bedeutet das,
> dass man ein Element aus der Menge mit einer Konstante
> multiplizieren kann und dass die Menge dadurch dieselbe
> bleibt?
Wenn Du aus einem EZS ein Element mit einem Skalar [mm] $\not=0$ [/mm] multiplizierst,
erzeigt das (neue)so veränderte EZS genau den gleichen Unterraum. Der
Beweis dazu sollte auch wieder mit 1. geführt werden (2. geht nicht, da wir
dort nicht i=j wählen dürfen...).
> Wenn dem so ist und wenn man für die zwei Teilaufgaben den
> Beweis gefunden hat, dann soll man in Teilaufgabe vier aus
> zwei und drei herleiten, dass eine Basis eine Basis bleibt,
> wenn man ein Element daraus ein paarmal zu einem anderen
> Element der Basis addiert oder wenn man ein Element aus der
> Basis mit einer Konstante ungleich null multipliziert. Wie
> unterscheidet sich dann diese Aufgabenstellung von den
> beiden anderen, außer dass hier die Ergebnisse aus zwei
> und drei zusammengefasst werden?
Das überlasse ich jetzt mal jemand anderem. (Irgendwann sitzt man sonst
einfach zu lange vor dem PC.)
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:12 Mo 22.09.2014 | | Autor: | MeMeansMe |
> Hallo,
>
> > > Hallo,
> > >
> > > > Hallo, hab mal wieder Tabula rasa gemacht, weil es wieder
> > > > unübersuchtlich wurde.
> > > >
> > > > > > Ja, ich sehe den Fehler. Ich nehme an, dass dasselbe dann
> > > > > > für einen Vektor [mm]v[/mm] gilt. Nur irgendwie hab ich den roten
> > > > > > Faden zur Aufgabenstellung verloren. Heißt das Ergebnis,
> > > > > > wenn man dasselbe Verfahren für einen Vektor [mm]v[/mm] anwendet,
> > > > > > dass [mm]=[/mm]?
> > > > >
> > > > > was wir gemacht haben, war folgendes:
> > > > > Wenn alle [mm]w_j \in [/mm] (anders gesagt
> > > > > [mm]\{w_1,...,w_m\}[/mm] [mm]\subseteqq [/mm]),
> > > >
> >
> > dann
> > > gilt
> > > > >
> > > > > [mm][/mm] [mm]\subseteqq[/mm] [mm]\,.[/mm]
> > > > >
> > > > > "Rollentausch" (oder analoges nachrechnen) zeigt:
> > > > > Wenn [mm]\{v_1,...,v_n\}[/mm] [mm]\subseteqq[/mm]
> [mm]\,,[/mm]
> > > dann
> > > > >
> > > > > [mm][/mm] [mm]\subseteqq[/mm] [mm]\,.[/mm]
> > > > >
> > > > > Und wenn Dir das alles hier gerade zu komplex werden
> > > > > sollte: Denk'
> > > > > dran, dass ich die Aufgabe eigentlich
> erweitert
> > > hatte.
> > > > > Schau' nochmal
> > > > > nach, was Du eigentlich nur laut dem
> > Aufgabenblatt
> > > zu
> > > > > beweisen hast.
> > > > > Es war wohl nur eine dieser beiden
> > Beweisrichtungen,
> > > > wobei
> > > > > ich mich
> > > > > wundere, wieso man nicht direkt den Beweis der
> > > > Äquivalenz
> > > > > als Aufgabe
> > > > > stellt.
> > > >
> > > > Also, zur Wiederholung: Die Aufgabe lautete, dass man
> > > > zeigen sollte, dass
> > > >
> > > > [mm] = [/mm]
> > > >
> > > > nur dann zutrifft, wenn jeder Vektor [mm]v_i[/mm] zu [mm][/mm]
> > > > und jeder Vektor [mm]w_i[/mm] zu [mm][/mm] gehört (das war
> > > > jedenfalls die erste von vier Teilaufgaben).
> > >
> > > ich würde zur Sicherheit morgen mal nachfragen, ob das
> > > wirklich nur eine
> > > *einfache* Folgerung ist, die zu beweisen ist. Oder
> ob
> > bei
> > > der Aufgabe eine
> > > Äquivalenz bewiesen werden soll.
> > >
> > > Man sagt für Aussagen [mm]X,Y\,:[/mm]
> > > "[mm]X\,[/mm] gilt nur dann, wenn [mm]Y\,[/mm]"
> > >
> > > eigentlich, wenn man sagen will: [mm]X \Rightarrow Y\,.[/mm]
> >
> >
> > > Ich hege aber stark die Vermutung, dass ihr dennoch bei der
> > > Aufgabe
> > > eine Äquivalenz zeigen sollt.
> > >
> > > > Aber ist das jetzt mit dem Verfahren, dass du mir gezeigt
> > > > hast, bewiesen? Wenn ich also zeige, dass
> > > >
> > > > [mm]w = \sum_{k=1}^m r_k * (\sum_{j=1}^n s_j^{(k)}v_j) = \sum_{j=1}^n*(\sum_{k=1}^m r_ks_j^{(k)})*v_j[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > und
> > > >
> > > > [mm]v = \sum_{k=1}^n s_k * (\sum_{j=1}^m r_j^{(k)}w_j) = \sum_{j=1}^m*(\sum_{k=1}^n s_kr_j^{(k)})*w_j[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > gelten, ist das dann ein Beweis?
> > >
> > > Das brauchen wir für [mm]Y \Rightarrow X\,,[/mm] wobei die Aussagen
> > > [mm]X\,[/mm] und [mm]Y\,[/mm]
> > >
> > > hier
> > >
> > > definiert worden sind. Und das alleine reicht natürlich
> > > nicht, Du musst schon
> > > das so zusammenschreiben, wie es bei mir steht.
> > >
> > >
> > >
> > >
> > >
> > > Um Dir jetzt nicht alle Gedanken durcheinander zu bringen,
> > > schreibe ich
> > > Dir nochmal hin, was i.W. bei "[mm]X \Rightarrow Y[/mm]" stehen
> > > soll:
> > > Gelte [mm]X\,,[/mm] also wahr sei
> > >
> > > [mm][/mm] [mm]\,=[/mm] [mm]\,.[/mm]
> > >
> > > Es ist zunächst zu beweisen, dass dann alle [mm]w_i[/mm] zu
> > > [mm][/mm] gehören.
> > >
> > > Da für jedes [mm]j \in \{1,...,m\}[/mm] gilt
> > >
> > > [mm]w_j=\sum_{k=1}^m \delta_{k,j} w_k[/mm] ([mm]\delta_{k,j}[/mm] ist das
> > > Kronecker-Delta,
> > > wobei wir es aber so verstehen wollen, dass
> [mm]1=1_K \in K[/mm]
> > > und [mm]0=0_k \in K[/mm] meint!),
> > >
> > > erkennen wir [mm]w_j \in \,.[/mm]
> > >
> > > Wegen [mm][/mm] [mm]=\,[/mm] [mm][/mm] folgt für alle diese
> > > [mm]j\,[/mm]
> > >
> > > [mm]w_j \in \,.[/mm]
> > >
> > > Der Nachweis, dass alle [mm]v_i \in [/mm] gilt, geht
> > > dann analog. (Falls es
> > > für Dich gar nicht aufschreibbar ist, kann ich es
> > gerne
> > > auch noch hinschreiben.
> > > Ich denke eh, dass Du den Beweis in einer *eigenen
> > > Version* abliefern wirst.
> > > Und die beinhaltet eh nur das, was Dir selbst klar
> > ist!)
> >
> > Das kann ich bisher eigentlich nachvollziehen. Nur dann
> > haben wir bisher ja gezeigt, dass [mm]v_i \in [/mm]
> > und [mm]w_i \in [/mm]. Das wäre dann also [mm]X \Rightarrow Y [/mm],
> > stimmt's?
>
> Genau. Und pass' ein wenig mit der Sprache auf: Wir haben
> gezeigt, dass
> alle [mm]w_i[/mm] (d.h. [mm]w_i[/mm] für [mm]i=1,...,m[/mm]) erfüllen [mm]w_i \in \,.[/mm]
>
> > Die Aufgabenstellung sagt ja, dass die
> > Äquivalenz
>
> Du meinst nicht die Äquivalenz, sondern die Gleichheit der
> genannten Spans!
>
> > nur zutrifft, wenn jedes Element der einen
> > Menge in der anderen Menge ist und umgekehrt.
> >
> > Streng
> > genommen haben wir das ja bewiesen, wenn man sagen kann,
> > dass
>
> alle(!)
>
> > [mm]v_i \in [/mm] und
>
> alle(!)
>
> > [mm]w_i \in [/mm],
>
> Hier würde man besser einen anderen Index nehmen, aber
> okay!
>
> > oder übersehe ich etwas?
>
> Das, was da steht, würde für mich bedeuten, dass [mm]X \Rightarrow Y[/mm]
> zu beweisen ist,
> und das haben wir getan (wir haben sogar das etwas
> komplexere [mm]Y \Rightarrow X[/mm]
> auch irgendwo, wenn man es
> ordentlich zusammenschreibt, bewiesen).
>
> > Um direkt mal auf die zweite Aufgabenstellung einzugehen:
> > Leite aus der ersten Teilaufgabe her, dass
> > [mm] = [/mm]
>
> da steht sicher in der Mitte
>
> [mm]v_\red{i}+cv_j[/mm]?!
>
> Und danach geht es mit [mm]v_{i+1}[/mm] weiter...
>
> > für jedes [mm]c \in \IR[/mm] und jedes Paar [mm](i,j)[/mm] mit [mm]1 \le i \not= j \le n [/mm].
> > Ich muss gestehen, dass ich hier nicht wirklich
> > durchschaue, was genau gemeint ist. Heißt das einfach,
> > dass man dasselbe erhält, wenn man ein Element aus einer
> > Menge zu einer mit einer Konstante multiplizierten Version
> > eines anderen Elementes derselben Menge hinzu addiert?
>
> Die beiden (endlichen) Erzeugendensysteme erzeugen dann den
> gleichen
> Unterraum!
>
> Die Aufgabe ist aber nicht schwer:
> Hier ist [mm]m=n\,[/mm] nach Vorgabe. Setze für
>
> [mm]k=1,...,m[/mm] und [mm]k \not=i[/mm] dann [mm]w_k:=v_k\,,[/mm]
>
> und
>
> [mm]w_i:=v_i+cv_j\,.[/mm]
>
> Nach 1. reicht es, zu zeigen: Für k=1,...,n ist [mm]w_k \in [/mm]
> und
> auch [mm]v_k \in \,.[/mm]
> (Das ist die Aufgabe, die
> nun erledigt werden sollte!)
>
> Ich hoffe, dass Dir mittlerweise sowas wie
>
> [mm]u \in <.,.,u,.,.,.>[/mm]
>
> klar ist. Damit ist vieles oben klar:
> Du musst nur noch
>
> [mm]w_i \in [/mm]
>
> und
>
> [mm]v_i \in [/mm]
>
> begründen. (Das [mm]i\,[/mm] ist hier FEST! Man würde vielleicht
> auch besser [mm]i_0[/mm] schreiben,
> damit der Parameter-Charakter hier klarer ist!)
>
> > Eine ähnliche Frage ließe sich stellen für Teilaufgabe
> > drei: Leite auch her, dass [mm] = [/mm]
> > für jedes [mm]i[/mm] und jedes [mm]c \in \IR - \{0\} [/mm]. Bedeutet das,
> > dass man ein Element aus der Menge mit einer Konstante
> > multiplizieren kann und dass die Menge dadurch dieselbe
> > bleibt?
>
> Wenn Du aus einem EZS ein Element mit einem Skalar [mm]\not=0[/mm]
> multiplizierst,
> erzeigt das (neue)so veränderte EZS genau den gleichen
> Unterraum. Der
> Beweis dazu sollte auch wieder mit 1. geführt werden (2.
> geht nicht, da wir
> dort nicht i=j wählen dürfen...).
>
> > Wenn dem so ist und wenn man für die zwei Teilaufgaben den
> > Beweis gefunden hat, dann soll man in Teilaufgabe vier aus
> > zwei und drei herleiten, dass eine Basis eine Basis bleibt,
> > wenn man ein Element daraus ein paarmal zu einem anderen
> > Element der Basis addiert oder wenn man ein Element aus der
> > Basis mit einer Konstante ungleich null multipliziert. Wie
> > unterscheidet sich dann diese Aufgabenstellung von den
> > beiden anderen, außer dass hier die Ergebnisse aus zwei
> > und drei zusammengefasst werden?
>
> Das überlasse ich jetzt mal jemand anderem. (Irgendwann
> sitzt man sonst
> einfach zu lange vor dem PC.)
Kann ich verstehen. Das Dumme ist nur, dass ich wie üblich nicht drauf komme. Ich werde einfach morgen früh noch mal hier reinschauen, ob jemand noch was geschrieben hab. Sonst geb ich's einfach so ab/auf und sch*** auf die Note, auch wenn mir das ziemlich gegen den Strich geht -.- Trotzdem vielen Dank für deine Mühe!
>
> Gruß,
> Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:56 Mo 22.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Übersicht der Aufgaben:
| Aufgabe | Sei $V$ ein Vektorraum und [mm] $v_1, \cdots, v_n, w_1, \cdots, w_m \in [/mm] V$.
Teilaufgabe 1
Zeige, dass [mm] $=$, [/mm] nur wenn jede [mm] v_1 [/mm] zu [mm] $$ [/mm] und jedes [mm] w_j [/mm] zu [mm] $$ [/mm] gehört.
Teilaufgabe 2
Leite aus Teilaufgabe 1 her, dass [mm] $=$ [/mm] für jedes $c$ [mm] \in \IR [/mm] und jedes Paar $(i,j)$ mit $ 1 [mm] \le [/mm] i [mm] \not= [/mm] j [mm] \le [/mm] n$.
Teilaufgabe 3
Leite auch her, dass [mm] $=$ [/mm] für jedes $i$ und jedes $c [mm] \in \IR [/mm] - {0}$.
Teilaufgabe 4
Leite aus Teilaufgabe 2 und 3 her, das eine Basis eine Basis bleibt, wenn man ein Element aus dieser Basis ein paar Male zu einem anderen Element der Basis hinzuaddiert oder wenn man ein Element aus der Basis mit einer Konstante ungleich null multipliziert. |
Hinweis:
Eigentlich ist 1. (mehr als) gelöst, zu 2. und 3. habe ich Hinweise gegeben.
Für den 4. Teil darf, wer mag, gerne noch Tipps abgeben.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Mi 24.09.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:47 Sa 20.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Leduart,
> Hallo
> was du da hingeschrieben hast ist jeweils ein Vektor,
> davon der Span sind die Vielfachen dieses Vektors. Das ist
> also sinnlos.
wo?
Es wurde hier der übliche Fehler gemacht, Mengenklammern als
${}$
zu schreiben anstatt
[mm] [nomm]$\{\}$[/nomm],
[/mm]
wie man es in Latex machen sollte (wer sich ein wenig mit der Syntax
auskennt, dem ist das klar).
P.S. Ich habe das mal editiert!
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
