Basis eines Vektorraumes < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:03 Sa 17.06.2006 | | Autor: | didi_160 |
Hi,
ich sitze über einer Aufgabe und weiß nicht wie ich herangehen muß. Einmal wird in der Aufgabe von den Mengen U und U´gesprochen. Dann von W. Ist das ein Schreibfehler und muß U bzw. U´heißen?????
Ich bin über jede Hilfe sehr dankbar.
Aufgabe
U und U´sind Untervektorräume des endlich dimensionalen Vektorraum V. Es sei [mm] V=R^4.
[/mm]
U=Span { [mm] \begin{pmatrix}1\\3\\0\\1\end{pmatrix} [/mm] , [mm] \begin{pmatrix}1\\0\\0\\-1\end{pmatrix} [/mm] , [mm] \begin{pmatrix}-1\\3\\0\\3\end{pmatrix} [/mm] } ,
U'=Span { [mm] \begin{pmatrix}0\\3\\2\\2\end{pmatrix} [/mm] , [mm] \begin{pmatrix}0\\0\\2\\0\end{pmatrix} [/mm] }
Gesucht werden die Basis und die Dimension von
a) U,
b) W,
c) U [mm] \cap [/mm] W,
d) U + W
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Guten Abend....
Ich denke, du hast recht. Das W müsste ein V sein, weil nur V, U und U' vorher in der AUfgabenstellung definiert wurde...
Gruß, Fabian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:47 So 18.06.2006 | | Autor: | didi_160 |
> Guten Abend....
>
> Ich denke, du hast recht. Das W müsste ein V sein, weil nur
> V, U und U' vorher in der AUfgabenstellung definiert
> wurde...
>
> Gruß, Fabian
>
Hi Fabian,
besten Dank für deien Tipp. Um sicher zu sein, werde ich morgen in den Dozenten fragen, ob es sich um einen Tippfehler handelt.
Bis dahin ruht diese Aufgabe.
Gruß, Dietrich
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:42 Di 20.06.2006 | | Autor: | didi_160 |
Hi,
in der ursprünglichen Aufgabe war ein Druckfehler.
Die korrigierte Aufgabe lautet :
U ist ein Untervektorraum des endlich dimensionalen
Vektorraum V. Es sei [mm]V=\IR^4[/mm].
[mm] U=Span\left\{\begin{pmatrix}1\\3\\0\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\0\\0\\-1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-1\\3\\0\\3\end{pmatrix}\right\}
[/mm]
[mm] W=Span\left\{\begin{pmatrix}0\\3\\2\\2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\0\\2\\0\end{pmatrix}\right\} [/mm]
Gesucht werden die Basis und die Dimension von
a) U,
b) W,
c) U [mm]\cap[/mm] W,
d) U + W
Müßte es in der Aufgabenstellung nicht heißen:
U und W sind Untervektorräume ?? Oder ist mit W etwas ganz anderes gemeint???
Wer kann mir weiterhelfen?
Bin über jede Art Hilfe dankbar.
Gruß Didi_160
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:33 Di 20.06.2006 | | Autor: | dormant |
Hallo!
> Müßte es in der Aufgabenstellung nicht heißen:
> U und W sind Untervektorräume ?? Oder ist mit W etwas ganz
> anderes gemeint???
So wie U und W definiert sind, ist es klar, dass beide UVRäume von [mm] \IR^{4} [/mm] sind.
> Wer kann mir weiterhelfen?
> Bin über jede Art Hilfe dankbar.
Teilaufgaben a) und b) dürften klar sein, oder? Zu c) und d):
Schnitt und Summe von VRäume sind auch VRäume. In c) kannst du die Dimensionsformel anwenden. In d) sollst du einen beliebigen Vektor aus U+W also Summe aus einem Vektor aus U und einem aus W: u+w. Jetzt kannst du u als Linearkombination von den Basisvektoren von U darstellen, w als Linearkombination von der Basis von W. Dann hast du eine Summe aus vier Vektoren, bestimmst die Anzahl der linear unabhängigen und bist fertig.
Gruß,
dormant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:09 Di 20.06.2006 | | Autor: | didi_160 |
Hi,
ich muß zu a) noch mal nachfragen:
Um die Dimension zu bestimmen fasse ich die 3 Spaltenvektoren von U=span... zu einer 3x4-Matrix zusammen, nennen wir sie A.
A = [mm] \begin{pmatrix} 1&1&-1\\3&0&3\\0&0&0\\1&-1&3
\end{pmatrix}
[/mm]
Dann bringe ich A auf "Zeilenstufenform" mittels GAUSS´Algorithmus. anhand der Nullzeilen kann ich die Dimension ablesen.
Wie beantworte ich die Frage nach (EINER MÖGLICHEN) BASIS?? So muß doch die Aufgabe lauten.
Oder??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:51 Di 20.06.2006 | | Autor: | dormant |
Hi!
> Dann bringe ich A auf "Zeilenstufenform" mittels
> GAUSS´Algorithmus. anhand der Nullzeilen kann ich die
> Dimension ablesen.
Ja, das geht.
> Wie beantworte ich die Frage nach (EINER MÖGLICHEN) BASIS??
Du stellst fest, dass die Dimension 2 ist und nimmst einfach beliebige zwei Vektoren aus den schon angegebenen und nennst sie eine Basis.
Gruß,
dormant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:55 Di 20.06.2006 | | Autor: | didi_160 |
Hi Dormant,
ich kann nur eine Nullzeile erzeugen und komme damit nur auf Dimension 1.
Wie kommst du auf Dim 2
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:52 Di 20.06.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo didi,
> Hi Dormant,
>
> ich kann nur eine Nullzeile erzeugen und komme damit nur
> auf Dimension 1.
>
> Wie kommst du auf Dim 2
>
1.) Die Dimension des aufgespannten Raums wird in diesem Fall nicht durch die Zahl der Nullzeilen angegeben (das braucht man für die Dimension des Kerns einer linearen Abbildung oder des Lösungsraums eines linearen Gleichungssystems), sondern durch die Zahl der Nicht-Null-Zeilen.
2.) Auf den ersten Blick krieg ich auch nur eine Nullzeile hin....
Damit hätte ich dann anzubieten: dim(U) = 3, und die Basis steht dann ja schon da....
Gibts noch andere Vorschläge (ein paar Zahlen wären ja noch frei  )
Gruß
piet
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:37 Mi 21.06.2006 | | Autor: | dormant |
Hi!
dim(U)=2, da wenn man die drei Vektoren, der Reihe nach, u1, u2 und u3 tauft, dann gilt u1-2u2=u3. Somit steht die Basis, tatsächlich da - u1 und u2.
Gruß,
dormant
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Hi,
Besten Dnk für Eure schnelle Hilfe!
Noch eine Frage zu d)
Wenn ich die Summe bilde erhalte ich eine Matrix mir 5 Spalten, indem ich einfach die Spaltenvektoren von U und W nebeneinander schreibe. Dann verfahre ich genau so wie bei a). Das leuchtet mir ein.
Ist der Gedankengang richtig??
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eine Frage zu c)
Wie errechne ich den Durchschnitt von 2 Matritzen???
Gruß
Didi_160
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:03 Mi 21.06.2006 | | Autor: | piet.t |
Stimmt! War wohl schon nicht mehr ganz wach.....
Gruß
piet
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Hi Dormant,
besten Dank für deine schnelle Antwort.
Noch eine Frage zur Aufgabe d):
Wenn ich die Summe bilde erhalte ich eine Matrix mit 5 Süpalten, indem ich einfach die Spaltenvektoren von U und W nebeneinander schreibe.
Dann verfahre ich wie bei Aufg a). Ist der Weg so richtig?
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Eine Frage zu Aufg. b):
Wie errechnet man den Durchschnitt von 2 Matritzen bzw. Spaltenvektoren???
Gruß Didi_160
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:21 Do 22.06.2006 | | Autor: | didi_160 |
Hi,
mit der Berechnung der DIMENSION von U bin ich jetzt total verunsichert:
1. piet schreibt: "Du brauchst die Anzahl der NICHT-NullZEILEN." Das habe ich mit dem Gauss-schema gemacht. Damit kann ich aber beim besten Willen außer der Zeile mit den 4 Nullen keine weitere finden. Also ist bei mir dim(U)=3.
2. dormant schreibt: "dim(U)=2 und erklärt das das mit den 3 SPALTENVEKTOREN indem er zeigt dass Spaltenvektor u3 eine Linearkombination von u1 und u2 ist."
Ist das nicht die Vorgehensweis zur Bestimmung der BASIS von U ???
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Wer da draussen kann sich mal dieses Problems annehmen??? Muss die Lösung der Aufgabe morgen früh abgeben.
Bin über jeden Hinweis sehr dankbar.
Gruß
didi_160
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:03 Fr 23.06.2006 | | Autor: | Jan_Z |
Hallo Didi,
beim Bestimmen der Basis geht es darum, muss man die Erzeugendenvektoren solange mit einander linearkombinieren, bis manche zu Null werden und der Rest linear unabhängig wird. Es gibt verschiedene Möglichkeiten:
1) Du schreibst die Vektoren in die Spalten einer Matrix und machst Zeilenumformungen (Gauß-Algorithmus), bis die Matrix auf Zeilenstufenform gebracht ist. Die Nicht-Nullzeilen bilden dann eine Basis und ihre Anzahl ist somit die Dimension.
2) Du machst das gleiche wie in 1), nur alles mit Spalten (also Vektoren in Spalten schreiben und Spaltenumformungen machen)
3) Falls du "siehst", dass einige der Vektoren bereits linear unabhängig sind und vermutest, dass sie bereits eine Basis bilden, musst du nachweisen, dass die restlichen Vektoren Linearkombinationen der ersten sind (Weißt du, wie man das macht?) Bei diesem Verfahren kann man sich natürlich vertun (wenn man falsch "sieht"), daher rate ich die zu einem der ersten beiden Methoden.
Viele Grüße, Jan
Ich empfehle dir aber
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Hallo,
ich sitze vor einer Aufgabe und komme ohne fremde Hilfe nicht weiter:
Aufgabe
Sei [mm] V=R^4.
[/mm]
[mm] U=span{\begin{pmatrix}1&\\3&\\0&\\1&\\\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&\\0&\\0&\\-1&\\\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-1&\\3&\\0&\\3&\\\end{pmatrix}}, [/mm]
[mm] W=span{\begin{pmatrix}0&\\3&\\2&\\2&\\\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&\\0&\\2&\\0&\\\end{pmatrix}}
[/mm]
Zu bestimmen sind Basis und Dimension von
a) U
b) W
c) U [mm] \cap [/mm] W
d) U+W
Ich habe folgende Fragen:
zu d):
Ich schreibe U als Matrix
A= [mm] \begin{pmatrix}1&1&-1\\3&0&3\\0&0&0\\1&-1&3\\\end{pmatrix} [/mm]
und
W als Matrix
[mm] B=\begin{pmatrix}0&3&\\3&0&\\2&2\\2&0\\\end{pmatrix}
[/mm]
Wenn ich die Summe von U+W bilde schreibe ich 5 Spaltenvektoren wie folgt auf:
U+W= [mm] \begin{pmatrix}1&1&-1&0&0\\3&0&3&3&0\\0&0&0&2&2\\1&-1&3&2&0\\\end{pmatrix}
[/mm]
und verfahre mit der Bestimmung von Basis und Dimension analog zu
Aufg a)
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Frage zu Aufg. c)
Wie komme ich auf die Mtatrix von U [mm] \cap [/mm] W= ???
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Sind meine Gedankengänge richtig?? Bin über jede Hilfe sehr dankbar.
Gruß
Didi_160
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