Basis eines Vektorraumes < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:58 Sa 17.11.2012 | | Autor: | Duckx |
| Aufgabe | Sei [mm] $U=$
[/mm]
[mm] $a_1=\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 1}$
[/mm]
[mm] $a_2=\vektor{-2 \\ -3 \\ 1 \\ 1}$
[/mm]
[mm] $a_3=\vektor{-3\\ -6 \\ 2 \\ 3}$
[/mm]
Berechnen sie $dim U$ |
Also dim U ist ja die Anzahl der Vektoren der Basis von U oder?
Meine Frage ist, wie ich jetzt die Basis am besten bei solcher Aufgabe berechne.
Ich habe durch rumprobieren festgestellt, dass sich [mm] z.B.$a_3$ [/mm] mithilfe von [mm] $a_1$ [/mm] und [mm] $a_2$ [/mm] darstellen lässt.
also wäre die Dimension ja 2 oder?
Wie berechne ich dies jetzt "richtig"?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:06 Sa 17.11.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Duckx,
> Sei [mm]U=[/mm]
> [mm]a_1=\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
> [mm]a_2=\vektor{-2 \\ -3 \\ 1 \\ 1}[/mm]
>
> [mm]a_3=\vektor{-3\\ -6 \\ 2 \\ 3}[/mm]
> Berechnen sie [mm]dim U[/mm]
> Also
> dim U ist ja die Anzahl der Vektoren der Basis von U oder?
> Meine Frage ist, wie ich jetzt die Basis am besten bei
> solcher Aufgabe berechne.
> Ich habe durch rumprobieren festgestellt, dass sich
> z.B.[mm]a_3[/mm] mithilfe von [mm]a_1[/mm] und [mm]a_2[/mm] darstellen lässt.
> also wäre die Dimension ja 2 oder?
> Wie berechne ich dies jetzt "richtig"?
Das ist schon ziemlich richtig. Damit ist die Dimension höchstens zwei. Und wenn [mm] $a_1$ [/mm] und [mm] $a_2$ [/mm] linear unabhängig sind, bilden sie eine Basis von $U$ und die Dimension ist zwei.
Gruß,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:11 Sa 17.11.2012 | | Autor: | Duckx |
[mm] $a_1$ [/mm] und [mm] $a_2$ [/mm] sind ja linear unabhängig. Allerdings frage ich mich, wie ich das richtig mache. Später wird mir einfach ausprobiern ja auch nicht weiterhelfen wenn ich dann z.B. 15 Vektoren habe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:29 Sa 17.11.2012 | | Autor: | Helbig |
> [mm]a_1[/mm] und [mm]a_2[/mm] sind ja linear unabhängig. Allerdings frage
> ich mich, wie ich das richtig mache. Später wird mir
> einfach ausprobiern ja auch nicht weiterhelfen wenn ich
> dann z.B. 15 Vektoren habe.
Schreibe 14 der Vektoren als Spalten in eine Matrix M und versuche, M*x = 15. Vektor zu lösen. Wenn es eine Lösung gibt, fällt der 15. Vektor schon mal als Basisvektor aus. Wenn es keine gibt, ist der 15. Vektor ein Basisvektor. Jetzt machst Du dasselbe mit dem 14. Vektor, und schaust, ob es eine Lösung gibt, wobei M jetzt die 14 anderen Vektoren (einschließlich des 15. Vektors) enthält usw. Damit bist Du ruckzuck fertig. Aber es gibt bestimmt auch bessere Verfahren, so eine Basis zu konstruieren.
Grüße,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:37 Sa 17.11.2012 | | Autor: | Duckx |
Ok dankeschön :)
Angenommen
[mm] $V=$
[/mm]
[mm] $b_1=\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 1}$
[/mm]
[mm] $b_2=\vektor{0\\1\\0\\0}$
[/mm]
[mm] $b_3=\vektor{0\\0\\1\\0}$
[/mm]
dim V= 3 weil die Vektoren ja linear unabhängig sind.
Wenn ich jetzt z.B. dim U+V berechnen will, dann ist das doch nichts anderes als dimU+dimV oder? Das wäre dann also 5?
Außerdem gilt doch
$dim U [mm] \cap [/mm] W= dimU [mm] \cap [/mm] dim W=2$
oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:58 Sa 17.11.2012 | | Autor: | Helbig |
> Ok dankeschön :)
> Angenommen
> [mm]V=[/mm]
> [mm]b_1=\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
> [mm]b_2=\vektor{0\\1\\0\\0}[/mm]
> [mm]b_3=\vektor{0\\0\\1\\0}[/mm]
>
> dim V= 3 weil die Vektoren ja linear unabhängig sind.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Wenn ich jetzt z.B. dim U+V berechnen will, dann ist das
> doch nichts anderes als dimU+dimV oder? Das wäre dann also
> 5?
Nein. Das kann ja nicht sein! Die Dimension ist höchstens vier!
> Außerdem gilt doch
> [mm]dim U \cap W= dimU \cap dim W=2[/mm]
> oder?
Nein. Diese Formel ist sinnlos. Du meinst wahrscheinlich [mm] $\dim [/mm] (U+V) = [mm] \dim [/mm] U + [mm] \dim [/mm] V - [mm] \dim (U\cap V)\,.$
[/mm]
Gruß,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:05 Sa 17.11.2012 | | Autor: | Duckx |
Wieso ist die dimension bei dim V+U höchstens 4?
und ich meinte natürlich $ dim U [mm] \cap [/mm] V=2 $?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:10 Sa 17.11.2012 | | Autor: | Helbig |
> Wieso ist die dimension bei dim V+U höchstens 4?
Weil V+U Teilraum des vierdimensionalen Vektorraumes [mm] $\IR^4$ [/mm] ist.
> und ich meinte natürlich [mm]dim U \cap V=2 [/mm]?
Ach so. Ich weiß nicht, ob das stimmt. Wie kommst Du darauf?
Gruß,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:15 Sa 17.11.2012 | | Autor: | Duckx |
Und wie berechne ich dann die Dimension dimV+U?
Woher weiß ich zb das es jetzt nicht 3 ist oder soetwas?
Ich weiß nicht wie ich auf $dimU [mm] \cap [/mm] V$ komme
Ich habe einfach gedacht die dimU=2 und dimV=3
Der Schnitt ist ja 2?
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> Und wie berechne ich dann die Dimension dimV+U?
> Woher weiß ich zb das es jetzt nicht 3 ist oder soetwas?
Hallo,
eine Basis von U+V findest Du z.B., indem Du die Basen (oder Erzeugendensysteme) beider Räume zusammenwirfst und aus dieser Menge "irgendwie" eine maximale linear unabhängige Teilmenge abfischst.
Du kannst das z.B. tun, indem Du die Basis von V mit dem ersten Basisvektor von U ergänzt, guckst ob's linear unabhängig ist. Wenn ja, nimmst Du den nächsten Vektor dazu und prüfst wieder.
Wenn nein, fliegt der Vektor raus und Du testest mit dem nächsten.
Wenn Du Dich bereits mit linearen Gleichungssystemem und der Zeilenstufenform auskennst, gehst's so am geschicktesten:
Stell die Vektoren beider Erzeugendensysteme (oder Basen) als Spalten in eine Matrix.
Bring die Matrix auf ZSF.
Stell fest, in welchen Spalten die führenden Elemente der Nichtnullzeilen stehen.
Die entsprechenden Spalten der Ursprungsmatrix sind eine Basis von U+V.
>
> Ich weiß nicht wie ich auf [mm]dimU \cap V[/mm] komme
Wenn Du die Dimensionen von U, V und U+V kennst, mit der Dimensionsformel.
> Ich habe einfach gedacht die dimU=2 und dimV=3
> Der Schnitt ist ja 2?
Einfach denken nützt nichts.
Entweder rechnet man den Schnitt direkt aus durch Lösen des entsprechenden LGS, oder man bestimmt erstmal dim(U+V) und arbeitet mit der Dimensionsformel.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:04 So 18.11.2012 | | Autor: | Duckx |
Ok dankeschön :)
Angenommen [mm] $U=$
[/mm]
[mm] $a_1=\vektor{1\\0\\0\\1}$
[/mm]
[mm] $a_2=\vektor{-2\\-3\\1\\1}$
[/mm]
[mm] $a_3=\vektor{-3\\-6\\2\\3}$
[/mm]
[mm] $V=$
[/mm]
[mm] $b_1=\vektor{2\\1\\0\\3}$
[/mm]
[mm] $b_2=\vektor{-1\\-1\\0\\2}$
[/mm]
[mm] $b_3=\vektor{7\\4\\0\\11}$
[/mm]
$dimU=2$ Als Basisvektoren hab ich [mm] $a_1,a_2$ [/mm] gewählt
$dimV=3$
$dim(U+V)=4 weil ich [mm] $a_1$ [/mm] als Linearkombination von [mm] $b_1,b_2$ [/mm] darstellen kann. [mm] $a_2$ [/mm] jedoch nicht. also ist sie 4 oder?
Laut Dimensionsformel gilt:
$dim(U+V)=dimU+dimV-dim(U [mm] \cap [/mm] V)$
$4=2+3-dim(U [mm] \cap [/mm] V)$
$dim(U [mm] \cap [/mm] V)=1$ ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:48 So 18.11.2012 | | Autor: | Helbig |
> Ok dankeschön :)
> Angenommen [mm]U=[/mm]
> [mm]a_1=\vektor{1\\0\\0\\1}[/mm]
> [mm]a_2=\vektor{-2\\-3\\1\\1}[/mm]
> [mm]a_3=\vektor{-3\\-6\\2\\3}[/mm]
>
> [mm]V=[/mm]
> [mm]b_1=\vektor{2\\1\\0\\3}[/mm]
> [mm]b_2=\vektor{-1\\-1\\0\\2}[/mm]
> [mm]b_3=\vektor{7\\4\\0\\11}[/mm]
>
> [mm]dimU=2[/mm] Als Basisvektoren hab ich [mm]a_1,a_2[/mm] gewählt
> [mm]dimV=3[/mm]
> $dim(U+V)=4 weil ich [mm]$a_1$[/mm] als Linearkombination von
> [mm]$b_1,b_2$[/mm] darstellen kann. [mm]$a_2$[/mm] jedoch nicht. also ist sie
> 4 oder?
Ist zwar richtig, aber die Begründung müßte lauten: Weil ich [mm] $a_2$ [/mm] nicht als Linearkombination von [mm] $b_1, b_2$ [/mm] und [mm] $b_3$ [/mm] darstellen kann. [mm] ($\dim [/mm] V = 3$ stimmt zwar, aber, wie kommst Du darauf?).
>
> Laut Dimensionsformel gilt:
> [mm]dim(U+V)=dimU+dimV-dim(U \cap V)[/mm]
> [mm]4=2+3-dim(U \cap V)[/mm]
>
> [mm]dim(U \cap V)=1[/mm] ?
Richtig!
Gruß,
Wolfgang
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