Basis für Vektorraum finden < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Wir definieren die folgenden Vaktoren in [mm] P_{2}(\IR):
[/mm]
[mm] v_1 [/mm] = 1 + x + [mm] x^2
[/mm]
[mm] v_2 [/mm] = 1 + [mm] 3x^2
[/mm]
[mm] v_3 [/mm] = 2 - x + [mm] x^2
[/mm]
[mm] v_4 [/mm] = 4 - x
i) Dünne [mm] {v_1, ..., v_4} [/mm] aus, sodass man eine Basis aus Vektoren für [mm] [/mm] erhält, die linear unabhängig sind.
ii) Zeige, dass das in i) gefundene eine Basis für [mm] P_2{2}(\IR) [/mm] ist. |
Hallo,
zuerst muss ich sagen, dass ich ein bisschen Probleme damit hatte, die Funktionen Vektoren zu nennen. Ich glaube, das ist auch der Grund, warum ich nicht wirklich weiter weiß. Aber hier mal, was ich bisher gefunden habe.
Wenn ich gucken will, ob einer der Vektoren überflüssig ist, um eine Basis zu bilden, muss ich schauen, ob die Vektoren linear unabhängig sind. Dazu habe ich Spaltenvektoren gemacht, sodass ich erhalte:
[mm] v_1 [/mm] = 1 + x + [mm] x^2 [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
[mm] v_2 [/mm] = 1 + [mm] 3x^2 [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 3}
[/mm]
[mm] v_3 [/mm] = 2 - x + [mm] x^2 [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ -1 \\ 1}
[/mm]
[mm] v_4 [/mm] = 4 - x = [mm] \vektor{4 \\ -1 \\ 0}
[/mm]
Diese müssen linear unabhängig sein, also:
[mm] a\vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] + [mm] b\vektor{1 \\ 0 \\ 3} [/mm] + [mm] c\vektor{2 \\ -1 \\ 1} [/mm] + [mm] d\vektor{4 \\ -1 \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
wobei a, b, c, d [mm] \in \IR. [/mm] Ich erspare euch die Les- und mir die Schreibarbeit und sage einfach, was ich dann als Ergebnis des linearen Gleichungssystems erhalte (sollten die Schritte gewünscht sein, kann ich das noch hinzufügen). Die Anfangsmatrix ist (jede Spalte ist ein Spaltenvektor):
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 2 & 4 \\ 1 & 0 & -1 & -1 \\ 1 & 3 & 1 & 0 }
[/mm]
Hieraus erhalte ich schlussendlich:
a = -d
b = d
c = -2d
Jetzt verstehe ich aber nicht mehr, wie ich genau weitermachen muss, um die Basis zu finden und zu überprüfen, ob das dann auch echt eine Basis für den Vektorraum ist. Kann mir hier jemand helfen?
Danke schon mal :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:31 So 14.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
(edit: das Wichtigste für Dich findest Du eigentlich nach dem P.S., habe ich
aber erst nachträglich gesehen!)g
> Wir definieren die folgenden Vaktoren in [mm]P_{2}(\IR):[/mm]
>
> [mm]v_1[/mm] = 1 + x + [mm]x^2[/mm]
> [mm]v_2[/mm] = 1 + [mm]3x^2[/mm]
> [mm]v_3[/mm] = 2 - x + [mm]x^2[/mm]
> [mm]v_4[/mm] = 4 - x
>
> i) Dünne [mm]{v_1, ..., v_4}[/mm] aus, sodass man eine Basis aus
> Vektoren für [mm][/mm] erhält, die linear
> unabhängig sind.
> ii) Zeige, dass das in i) gefundene eine Basis für
> [mm]P_2{2}(\IR)[/mm] ist.
Ich mach's gerade kurz und zeige Dir eine mögliche Idee, wie Du hier eine
Basis finden kannst. Das Ganze kann man auch anders machen, aber ich
finde, dass man erstmal "im [mm] $\IR^3$ [/mm] die Analogie sehen sollte":
Du weißt, dass
$(x [mm] \mapsto [/mm] 1,x [mm] \mapsto [/mm] x,x [mm] \mapsto x^2)$
[/mm]
(wobei auch schon $x [mm] \mapsto [/mm] 1$ eine Kurznotation für
$f [mm] \colon \IR \to \IR$ [/mm] mit [mm] $f(x):=1\,$ [/mm] für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] ist; der Rest analog)
eine Basis von [mm] $P_2(\IR)$ [/mm] ist. Wir verkürzen diese Notation zu
[mm] $(1,x,x^2)$ [/mm] (d.h. [mm] $1\,$ [/mm] bedeutet nichts anderes als letztgenannte Fkt. [mm] $f\,$).
[/mm]
[mm] $P_2(\IR)$ [/mm] ist dann (als [mm] $\IR$-VR) [/mm] isomorph zu [mm] $\IR^3$ [/mm] (welche Addition und
skalare Mult. jeweils vorliegt, ist Dir hoffentlich klar?!)
Der zu [mm] $v_1$ [/mm] zugehörige Koordinatenvektor lautet
[mm] $w_1:=\vektor{1\\1\\1}\,.$
[/mm]
Der zu [mm] $v_2$ [/mm] zugehörige Koordinatenvektor lautet
[mm] $w_2:=\vektor{1\\0\\3}\,.$
[/mm]
Der zu [mm] $v_3$ [/mm] zugehörige Koordinatenvektor lautet
[mm] $w_3:=\vektor{2\\-1\\1}\,.$
[/mm]
Der zu [mm] $v_4$ [/mm] zugehörige Koordinatenvektor lautet
[mm] $w_4:=\vektor{4\\-1\\0}\,.$
[/mm]
Mache jetzt erstmal aus [mm] $(w_1,w_2,w_3,w_4)$ [/mm] eine Basis des [mm] $\IR^3\,.$ [/mm] Dann
suche die Vektoren aus [mm] $P_2(\IR)\,,$ [/mm] die den so gefundenen Basisvektoren
des [mm] $\IR^3$ [/mm] entsprechen.
P.S. Ich sehe jetzt gerade (war wohl zu spät, dass ich eben nicht genau
gelesen habe):
Du hast obiges schon gemacht. Es gibt eigentlich verschiedene Möglichkeiten,
jetzt aus
[mm] $(w_1,w_2,w_3,w_4)$
[/mm]
eine Basis zu machen. Du kannst aber nicht
[mm] $a*w_1+b*w_2+c*w_3+d*w_4=0$ $\Rightarrow$ $a=b=c=d=0\,$
[/mm]
nachrechnen, denn 4 Vektoren des [mm] $\IR^3$ [/mm] sind immer linear abhängig.
[mm] ($m\,$ [/mm] Vektoren des [mm] $\IR^n$ [/mm] sind für $m > [mm] n\,$ [/mm] stets linear abhängig!)
Du könntest höchstens mal nachrechnen, dass diese 4 Vektoren wirklich
auch den [mm] $\IR^3$ [/mm] erzeugen. (Ansonsten kannst Du mit ihnen keine Basis
des [mm] $\IR^3$ [/mm] basteln!)
Wie bekommt man nun eine Basis des [mm] $\IR^3\,,$ [/mm] wenn
[mm] $(w_1,w_2,w_3,w_4)$
[/mm]
ein EZS des [mm] $\IR^3$ [/mm] ist? Ganz einfach:
Finde ein $k [mm] \in \{1,2,3,4\}$ [/mm] so, dass die Menge
[mm] $\{w_1,w_2,w_3,w_4\} \setminus \{w_k\}$
[/mm]
linear unabhängig ist. Das ist dann ein minimales EZS!
Eine andere, allgemeinere Möglichkeit: Siehe
![[]](/images/popup.gif) hier (klick!), insbesondere ab Seite 4!
P.P.S. Es gibt auch eine Methode, die von
Dir erstellte Matrix in Zeilenstufenform zu
bringen und damit zu sehen, welche der
Spalten man wählen kann, so dass die
ausgewählten linear unabhg. sind!
Gruß,
Marcel
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Danke für deine Antwort :)
Wenn ich jetzt eine Matrix erstelle mit den Funktionen als Spaltenvektoren, kriege ich das:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 2 & 4 \\ 1 & 0 & -1 & -1 \\ 1 & 3 & 1 & 0 }
[/mm]
Hier bekomme ich Folgendes heraus:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 }
[/mm]
Heißt das jetzt, dass die ersten drei Funktionen [mm] v_1, v_2 [/mm] und [mm] v_3 [/mm] eine Basis für [mm] [/mm] bilden? Und wenn ja, wie weite ich das jetzt genau aus auf den gesamten Raum [mm] P_2(\IR)?
[/mm]
Wichtig: Ich soll ja im ersten Schritt nur schauen, welche der vier Vektoren eine Basis bilden und linear unabhängig sind für [mm] ! [/mm] Im nächsten Schritt soll ich das erst ausbreiten auf den Vektorraum [mm] P_2(\IR).
[/mm]
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Hallo MeMeansMe,
> Danke für deine Antwort :)
>
> Wenn ich jetzt eine Matrix erstelle mit den Funktionen als
> Spaltenvektoren, kriege ich das:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 2 & 4 \\ 1 & 0 & -1 & -1 \\ 1 & 3 & 1 & 0 }[/mm]
>
> Hier bekomme ich Folgendes heraus:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 }[/mm]
>
> Heißt das jetzt, dass die ersten drei Funktionen [mm]v_1, v_2[/mm]
> und [mm]v_3[/mm] eine Basis für [mm][/mm] bilden? Und wenn
Ja.
> ja, wie weite ich das jetzt genau aus auf den gesamten Raum
> [mm]P_2(\IR)?[/mm]
>
Die Funktionen [mm]v_{1}, \ v_{2}, \ v_{3}[/mm] bilden schon eine Basis des [mm]P_2(\IR)[/mm].
> Wichtig: Ich soll ja im ersten Schritt nur schauen, welche
> der vier Vektoren eine Basis bilden und linear unabhängig
> sind für [mm]![/mm] Im nächsten Schritt soll ich
> das erst ausbreiten auf den Vektorraum [mm]P_2(\IR).[/mm]
Gruss
MathePower
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Danke für die Antwort :)
> > wie weite ich das jetzt genau aus auf den gesamten Raum
> > [mm]P_2(\IR)?[/mm]
> >
>
>
> Die Funktionen [mm]v_{1}, \ v_{2}, \ v_{3}[/mm] bilden schon eine
> Basis des [mm]P_2(\IR)[/mm].
>
Könntest du das hier vielleicht noch ein bisschen näher erklären? Die zweite Teilaufgabe sagt ja, man muss zeigen, dass die drei Funktionen eine Basis für [mm] P_2(\IR) [/mm] bilden. Wie kann ich das, an die Lösung der ersten Teilaufgabe anknüpfend, zeigen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:56 Mo 15.09.2014 | | Autor: | fred97 |
> Danke für die Antwort :)
>
> > > wie weite ich das jetzt genau aus auf den gesamten Raum
> > > [mm]P_2(\IR)?[/mm]
> > >
> >
> >
> > Die Funktionen [mm]v_{1}, \ v_{2}, \ v_{3}[/mm] bilden schon eine
> > Basis des [mm]P_2(\IR)[/mm].
> >
>
> Könntest du das hier vielleicht noch ein bisschen näher
> erklären? Die zweite Teilaufgabe sagt ja, man muss zeigen,
> dass die drei Funktionen eine Basis für [mm]P_2(\IR)[/mm] bilden.
> Wie kann ich das, an die Lösung der ersten Teilaufgabe
> anknüpfend, zeigen?
>
Du hast gezeigt, dass [mm] v_1,v_2,v_3 [/mm] linear unabhängige Elemente von [mm]P_2(\IR)[/mm] sind.
Es ist [mm]dim(P_2(\IR))=3[/mm]
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:57 Mo 15.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke für die Antwort :)
>
> > > wie weite ich das jetzt genau aus auf den gesamten Raum
> > > [mm]P_2(\IR)?[/mm]
> > >
> >
> >
> > Die Funktionen [mm]v_{1}, \ v_{2}, \ v_{3}[/mm] bilden schon eine
> > Basis des [mm]P_2(\IR)[/mm].
> >
>
> Könntest du das hier vielleicht noch ein bisschen näher
> erklären? Die zweite Teilaufgabe sagt ja, man muss zeigen,
> dass die drei Funktionen eine Basis für [mm]P_2(\IR)[/mm] bilden.
> Wie kann ich das, an die Lösung der ersten Teilaufgabe
> anknüpfend, zeigen?
merke Dir mal allgemein:
Ist [mm] $V\,$ [/mm] ein [mm] $n\,$-dimensionaler [/mm] Vektorraum über [mm] $\IR$ [/mm] (mit $n [mm] \in \IN$ [/mm] fest), so
gilt:
Sind [mm] $v_1,...,v_k \in [/mm] V$ linear unabhängig, so bilden diese Vektoren genau dann
eine Basis von [mm] $V\,,$ [/mm] wenn [mm] $k=n\,.$
[/mm]
Kurzgesagt:
Hast Du echt weniger als [mm] $n\,$ [/mm] Vektoren des [mm] $n\,$-dimensionalen [/mm] Vektorraums
[mm] $V\,,$ [/mm] so ist das keine Basis (sie erzeugen *nur* einen echten Unterraum [mm] $U\,$ [/mm]
von [mm] $V\,$).
[/mm]
Hast Du echt mehr als [mm] $n\,$ [/mm] Vektoren, so bilden diese auch keine Basis - Du
wirst feststellen, dass für $k > [mm] n\,$ [/mm] Vektoren [mm] $v_1,...,v_k$ [/mm] immer linear abhängig
sind.
Hast Du genau [mm] $n\,$ [/mm] Vektoren (beachte, dass diese linear unabhängig sein
sollen): Freu' Dich darüber, dass Du eine Basis von [mm] $V\,$ [/mm] kennst.
Deswegen gilt etwa für den [mm] $\IR$-Vektorraum $\IR^n:$
[/mm]
Hat man echt weniger als [mm] $n\,$ [/mm] Vektoren gegeben, so bilden diese KEINE Basis
des [mm] $\IR^n,$ [/mm] sondern nur einen echten Unterraum. Und zwar sogar unabhängig
davon, ob sie linear abhg. sind oder nicht.
Hat man mehr als [mm] $n\,$ [/mm] Vektoren gegeben, so sind diese linear abhängig. Da
braucht man nichts mehr zu rechnen, um das einzusehen!
Hat man genau [mm] $n\,$ [/mm] Vektoren und will man wissen, ob diese eine Basis von
[mm] $V\,$ [/mm] bilden, so braucht man diese nur noch auf lineare Abhängigkeit zu
prüfen. Falls sie linear abhängig sind, so bilden sie keine Basis. Falls sie
aber linear unabhängig sind, so bilden sie eine Basis.
Gruß,
Marcel
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