Basis im R4 < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:28 Fr 11.11.2005 | | Autor: | maenjuh |
Hallo!
Habe hier eine Aufgabe und komme einfach nicht weiter:
Ergänzen Sie die beiden Vektoren (4,-2,3,-1) und (1,4,-3,2) zu einer Basis des R4.
Was ich bis jetzt weiß: die beiden Vektoren sind linear unabhängig. Eine Basis im R4 hat 4 Vektoren, d.h. man braucht zusätzlich 2 Vektoren, und diese 4 Vektoren müssen linear unabhängig sein.
Jetzt hab ich gedacht, ich such mir zwei zusätzliche Vektoren, so dass dann alle linear unabhängig sind. Also hab ich mit den beiden gegebenen und zwei unbekannten Vektoren (a,b,c,d) und (e,f,g,h) ein Gleichungssystem aufgestellt
λ (4,-2,3,-1) + μ (1,4,-3,2) + ξ (a,b,c,d) + δ(e,f,g,h) = 0
I) 4λ + μ + aξ + eδ = 0
II) -2λ +4μ +bξ + fδ = 0
III) 3λ - 3μ +cξ + gδ = 0
IV) -λ + 2μ +dξ + hδ = 0
aber irgendwie funktioniert das nicht, weil die Bedingung, dass die 4 Vektoren linear unabhängig sind, wäre ja, dass λ, μ, ξ und δ = 0 sind, aber das kann ich ja nicht einsetzen, sonst kommt ja gar nix raus.
Also irgendwie ist das glaub ich nicht der richtige Ansatz. Kann ich vielleicht einen der beiden unbekannten Vektoren beliebig wählen und so den anderen irgendwie rauskriegen? Eigentlich müsste es für a bis h ja unendlich viele Lösungen geben, oder lieg ich da falsch?
Wäre sehr dankbar für Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Eine Basis im R4 hat 4 Vektoren, d.h. man
> braucht zusätzlich 2 Vektoren, und diese 4 Vektoren müssen
> linear unabhängig sein.
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> Jetzt hab ich gedacht, ich such mir zwei zusätzliche
> Vektoren, so dass dann alle linear unabhängig sind.
> Eigentlich müsste es ... ja unendlich viele
> Lösungen geben, oder lieg ich da falsch?
Nein, da hast du recht.
>
Hallo,
möchtest du wissen, wie ich es machen würde?
Ich würde raten! Das meine ich ernst!
Der [mm] \IR^4 [/mm] ist soooooo groß, und die von den beiden vorgegebenen Vektoren aufgespannte Ebene so "dünn", da müßte es wirklich ein unglücklicher Zufall sein, wenn Dein ausgedachter Vektor von den beiden linear abhängig wäre.
Also schnapp Dir einen Vektor, einen schön einfachen, damit du nicht soviel rechnen mußt, und guck, ob die drei linear unabhängig sind. Wenn nicht, hast du Pech gehabt, nimmst du eben den nächsten.
Wenn sie unabhängig sind, füg einfach einen vierten dazu, und prüf, ob alle vier linear unabhängig sind. Wenn nicht, nimm einen anderen.
Bei dieser Aufgabe mußt du nicht angeben, wie Du drauf gekommen bist. Die wollen wissen, ob du weißt, daß man 4 Vektoren benötigt, und die wollen wissen, ob Du drauf achtest, daß sie linear unabhängig sind.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:08 Sa 12.11.2005 | | Autor: | maenjuh |
Ok, Danke!
Hab mir auch schon überlegt einfach zu raten. Die einzige Bedingung ist ja, dass die vier Vektoren linear unabhängig sind.
Hab nur gedacht, das wär vielleicht zu einfach und es gibt irgendeinen Ansatz dazu.
Aber gut, dann werd ichs mach so probieren!
Hat mir auf jeden Fall schon mal weitergeholfen!
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