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Hallihallo,
meine Aufgabe die ich bearbeiten muss lautet:
Gegeben seien folgende Vektoren aus dem R³:
[mm] \begin{pmatrix} -3 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}
[/mm]
Gibt es unter den obigen 12 Vektoren eine Basis von R³?
Wenn ja wähle eine Basis von Vektoren aus.
Meine Frage: Wie komm ich jetzt darauf welche Vektoren eine Basis des R³ bilden.Ich weiss, dass ich zeigen muss das sie linear unabhängig sind aber wie beweise ich das?
Ich bitte um HIlfe.Danke!!
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> Hallihallo,
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> meine Aufgabe die ich bearbeiten muss lautet:
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> Gegeben seien folgende Vektoren aus dem R³:
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> [mm]\begin{pmatrix} -3 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}[/mm]
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> Gibt es unter den obigen 12 Vektoren eine Basis von R³?
> Wenn ja wähle eine Basis von Vektoren aus.
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> Meine Frage: Wie komm ich jetzt darauf welche Vektoren
> eine Basis des R³ bilden
Hallo,
hilfreich ist es schonmal, wenn man weiß, daß jede Basis des [mm] \IR^3 [/mm] aus drei linear unabhängigen Vektoren besteht.
Dann lautet die Aufgabe nämlich: finde drei linear unabhängige Vektoren.
Du kannst die Basis, sofern es denn eine gibt, nach und nach so aufbauen:
nimm Dir einen Vektor. Der ist natürlich linear unabhängig (sofern Du nicht so blöd bist, den Nullvektor zu nehmen - aber der kommt hier ja gar nicht vor.)
Nun fügst Du einen zweiten Vektor hinzu so, daß die beiden linear unabhängig sind. Der Neue darf also kein Vielfaches des ersten sein.
Nun starte einen Versuchsballon:
nimm einen dritten Vektor, der Dir so erscheint, als könne er mit den beiden anderen zusammen eine linear unabhängige Menge bilden.
Löse dann die Gleichung [mm] r\vec{v_1}+s\vec{v_2}+t\vec{v_3}=\vec{0}
[/mm]
Wenn es nur die Lösung r=s=t=0 gibt, sind die drei linear unabhängig. Ansonsten wechsele den dritten Vektor aus gegen einen anderen und rechne erneut.
Ich würd's mir bei der Auswahl der Vektoren nach Möglichkeit einfach machen und solche nehmen mit Nullen drin. Dann muß man nicht so viel rechnen.
Es gäbe noch andere Möglichkeiten, die Aufgabe zu lösen, ich habe jetzt mal was gesagt, das ohne Matrizen und Determinanten auskommt.
Gruß v. Angela
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