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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:11 Di 06.06.2006 | | Autor: | ThomasH |
| Aufgabe | | Ergänze {e1,e2} Teilmenge von [mm] R^4 [/mm] mit Hilfe von Elementen aus {(1,1,1,1),(1,1,-1,-1),(1,2,3,4),(4,3,2,1)} zu einer Basis von [mm] R^4! [/mm] |
Bisher habe ich mir folgende Gedanken über die Aufgabe gemacht:
Folgende Bedingungen müssen gelten:
1. Die Vektoren müssen linear unabhängig sein
2. Die Vektoren müssen ein Erzeugendensystem des [mm] R^4 [/mm] sein, also die Lineare Hülle der Vektoren müssen gleich dem Vektorraum sein.
Dazu meine Frage:
1. Gibt es einen schnelleren und eleganteren Weg, die Vektoren als linear unabhängig zu erkennen, als ein großes Gleichungssystem zu erstellen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
2. Wie kann ich überprüfen, dass die Lineare Hülle gleich dem Vektorraum ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:48 Di 06.06.2006 | | Autor: | Kuebi |
Hallo du!
Also, gefragt ist die Ergänzung zu einer Basis und dann speziell, wie sich erkennen lässt, ob die Vektoren l.u. sind ohne die Lösung eines LGS ...
Ich persönlich mache das bei Basen von irgendeinem [mm] K^{n} [/mm] immer so...
Die potenziellen Basisvektoren geben mir die Spalten einer [mm] n\times [/mm] n Matrix A. Ist die Determinante dieser nicht Null, so folgt als Lösung für das homogene Gleichungssystem Ax=0: [mm] x=A^{-1}0=0. [/mm] D.h. 0 ist die eindeutige Lösung. Daraus kannst du jetzt schließen, dass die Basisvektoren (die Spalten deiner Matrix) l.u. sind. Für detA=0, sind sie abhängig.
Nun noch die Frage nach dem Erzeugendensystem: Um in obiger Art zu argumentieren: Ist detA nicht Null, so gibt es für jeden Vektor x einen Vektor v' mit [mm] v'=A^{-1}x [/mm] mit Av'=x. Daraus folgt dass die lineare Hülle der Spalten von A (welche ja die lineare Hülle der Basisvektoren ist) ein Erzeugendensystem bildet.
Hoffe ich konnte das ein bißchen klar machen!
Lg, Kübi
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