Basis magischer 4x4Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:10 Fr 26.05.2006 | | Autor: | Maren88 |
Hallo
kann mir bitte jemand helfen, ich bin schon am verzweifeln..
Ich brauche unbedingt eine Basis des Vektorraumes der magischen 4x4 Matrizen (keine Standardbasis)... ich probier schon die ganze Zeit aber irgendwie klappt es nich .. :(
Soweit ich weiß hat der Vektorraum der magischen 4x4 Matrizen die Dimension 8, d.h. also ich brauch für die Basis 8 linear unabhängige 4x4 Matrizen. ob matrizen linear unabhängig sind überprüft man doch über ein LGS oder? wenn es so ist müsste ich ja für die 8 4x4Matrizen ein LGS mit 9Gleichungen und 8 Variablen aufstellen!!
geht das denn nicht einfacher??
LG Maren
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Fr 26.05.2006 | | Autor: | Fulla |
hi maren!
kannst du vielleicht kurz erklären, was diese magischen matrizen sind?
gruß,
Fulla
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:38 Fr 26.05.2006 | | Autor: | Maren88 |
hey fulla.
Wenn in einer quadratischen Matrix die Summe der Zahlen in jeder Zeile, jeder Spalte und jeder Diagonalen gleich sind, so heißt diese magisches Quadrat bzw. magische nxn Matrix ( n IN ).
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[mm]s = \text{Summenwert}[/mm]
[mm]M = s \begin{pmatrix} -1 & -1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} + \lambda_1 \begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 & -1 \\ 0 & -2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + \lambda_2 \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} + \lambda_3 \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}[/mm]
[mm]+ \lambda_4 \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} + \lambda_5 \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} + \lambda_6 \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} + \lambda_7 \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}[/mm]
Die [mm]s[/mm]-Matrix hat den Summenwert [mm]1[/mm], die [mm]\lambda[/mm]-Matrizen haben den Summenwert [mm]0[/mm].
(ohne Gewähr)
[mm]s = 34 \, , \ \lambda_1 = 1 \, , \ \lambda_2 = 14 \, , \ \lambda_3 = 15 \, , \ \lambda_4 = 12 \, , \ \lambda_5 = 7 \, , \ \lambda_6 = 6 \, , \ \lambda_7 = 8 \ \longrightarrow \ \mbox{Dürer-Quadrat}[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:24 Fr 26.05.2006 | | Autor: | Maren88 |
hey
vielen vielen Dank!!
hab das grad überprüft (mit derive ^^) und die matrizen scheinen zu stimmen! 
aber könntest du mir noch erklären wie du auf diese Lösung gekommen bist?
das wär total lieb! dann wärste mein Held des Tages!!!
nochma vielen Dank!!
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Das habe ich relativ primitiv angestellt. Die Bedingungen für "magisches Quadrat" liefern ein lineares Gleichungssystem mit 10 Gleichungen in 16 Unbekannten, den Elementen der Matrix. Dieses habe ich teilweise unter Zuhilfenahme eines CAS gelöst und so die obige Darstellung gefunden.
Die kann man übrigens noch verschönern. Die Basiseigenschaft bleibt ja erhalten, wenn man ein Basiselement durch eine Linearkombination von Basiselementen ersetzt, an der jenes nichttrivial beteiligt ist. Ersetzt man die erste Matrix durch die Summe aus erster und dritter, die zweite Matrix durch die Differenz aus zweiter und dritter und die dritte durch die Differenz aus dritter und vierter, so erhält man lauter Matrizen, die nur noch 1,-1,0 als Elemente enthalten.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:43 Fr 26.05.2006 | | Autor: | Maren88 |
Hey
nochmal ganz vielen herzlichen DANK!
du hast mir echt weiter geholfen.
Lieber Gruß
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