Basis und Dimension von UR < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Man bestimme je eine Basis und die Dimension der Unterräume
[mm] U_1 [/mm] = LH [mm] [\vektor{ 1\\ -1\\ 2\\0},\vektor{ 1\\ 1\\ 1\\1},\vektor{ 0\\ 2\\ -1\\1},\vektor{ 2\\ 0\\ 3\\1}], [/mm]
[mm] U_2 [/mm] = LH [mm] [\vektor{ 3\\ 6\\ 1\\4},\vektor{ 6\\ 0\\6\\0},\vektor{ 5\\ -1\\ 5\\0},\vektor{ 2\\ 3\\ 1\\2}]
[/mm]
[mm] U_1 \cap U_2 [/mm] und [mm] U_1 [/mm] + [mm] U_2 [/mm] in [mm] \IR^4. [/mm] |
Hallo,
ich steh vor dem nächsten Problem. Wie bestimm ich hieraus eine Basis??
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo King-LA-Gold,
> Man bestimme je eine Basis und die Dimension der
> Unterräume
> [mm]U_1[/mm] = LH [mm][\vektor{ 1\\ -1\\ 2\\0},\vektor{ 1\\ 1\\ 1\\1},\vektor{ 0\\ 2\\ -1\\1},\vektor{ 2\\ 0\\ 3\\1}],[/mm]
>
> [mm]U_2[/mm] = LH [mm][\vektor{ 3\\ 6\\ 1\\4},\vektor{ 6\\ 0\\6\\0},\vektor{ 5\\ -1\\ 5\\0},\vektor{ 2\\ 3\\ 1\\2}][/mm]
>
> [mm]U_1 \cap U_2[/mm] und [mm]U_1[/mm] + [mm]U_2[/mm] in [mm]\IR^4.[/mm]
> Hallo,
> ich steh vor dem nächsten Problem. Wie bestimm ich
> hieraus eine Basis??
>
Wende zunächst den Gauß-Algorithmus auf die entsprechenden Matrizen an.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:52 Fr 06.01.2012 | | Autor: | s1mn |
Ich sitz an der selben Aufgabe und komme beim Schnittraum einfach nicht weiter.
Wie bestimme ich den Schnittraum genau ?
Weil wenn ich mir die Basen von U1 und U2 anschaue, dann gibts keinen gemeinsamen Vektor. Also nur der Nullvektor.
Wenn ich das dann aber mit dem Dimensionssatz:
dim [mm] (U_{1}+U_{2}) [/mm] = [mm] dim(U_{1}) [/mm] + [mm] dim(U_{2}) [/mm] - [mm] dim(U_{1} \cap U_{2}).
[/mm]
Da sich das ganze im [mm] \IR^{4} [/mm] abspielt, sollte da ja wohl 4 rauskommen. Mit meiner Rechnung kommt dann allerdings 5 raus.
Also kann der Schnittraum nicht nur aus dem Nullvektor bestehen...
Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
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Hallo s1mn,
> Ich sitz an der selben Aufgabe und komme beim Schnittraum
> einfach nicht weiter.
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> Wie bestimme ich den Schnittraum genau ?
Bestimme Lösungen von
[mm]v=w[/mm]
,wobei [mm]v \in U_{1}, \ w \in U_{2}[/mm]
> Weil wenn ich mir die Basen von U1 und U2 anschaue, dann
> gibts keinen gemeinsamen Vektor. Also nur der Nullvektor.
> Wenn ich das dann aber mit dem Dimensionssatz:
> dim [mm](U_{1}+U_{2})[/mm] = [mm]dim(U_{1})[/mm] + [mm]dim(U_{2})[/mm] - [mm]dim(U_{1} \cap U_{2}).[/mm]
>
> Da sich das ganze im [mm]\IR^{4}[/mm] abspielt, sollte da ja wohl 4
> rauskommen. Mit meiner Rechnung kommt dann allerdings 5
> raus.
> Also kann der Schnittraum nicht nur aus dem Nullvektor
> bestehen...
>
> Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
Gruss
MathePower
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Ich komm auf folgende Zeilenstufenform:
[mm] U_1 [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 2 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 0} [/mm]
Ein Basis wäre: [mm] \pmat{ 1 & 1 & 2\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & -1} [/mm] und dim=3
[mm] U_2 [/mm] = [mm] \pmat{ 3 & 6 & 5 & 2\\ 0 & -12 & -11 & -1\\ 0 & 0 & -1 & 0}
[/mm]
Ein Basis wäre: [mm] \pmat{ 3 & 6 & 5\\ 0 & -12 & -11\\ 0 & 0 & -1} [/mm] und dim=3
Ist das so richtig???
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Hallo King-LA-Gold,
> Ich komm auf folgende Zeilenstufenform:
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> [mm]U_1[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 2 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 0}[/mm]
Hier muss jeweile eine andere Zahl stehen:
[mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 2 & 2 & \red{0}\\ 0 & 0 & 0 & \red{-1}\\ 0 & 0 & 0 & 0}[/mm]
> Ein Basis wäre: [mm]\pmat{ 1 & 1 & 2\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & -1}[/mm]
> und dim=3
>
Das musst Du nochmal nachrechnen.
> [mm]U_2[/mm] = [mm]\pmat{ 3 & 6 & 5 & 2\\ 0 & -12 & -11 & -1\\ 0 & 0 & -1 & 0}[/mm]
>
Hier fehlt eine Zeile::
[mm]\pmat{ 3 & 6 & 5 & 2\\ 0 & -12 & -11 & -1\\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ \red{0} & \red{0} & \red{0} & \red{0} }[/mm]
> Ein Basis wäre: [mm]\pmat{ 3 & 6 & 5\\ 0 & -12 & -11\\ 0 & 0 & -1}[/mm]
> und dim=3
>
> Ist das so richtig???
Nein, das ist nicht so richtig.
Gruss
MathePower
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[mm] U_1 [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 2 & 2 & 2\\ 0 & 0 & 0 & -2\\ 0 & 0 & 0 & 0}
[/mm]
Ein Basis wäre: [mm] \pmat{ 1 & 1 & 2\\ 0 & 2 & 2\\ 0 & 0 & -2} [/mm] und dim=3
[mm] U_2 [/mm] = [mm] \pmat{ 3 & 6 & 5 & 2\\ 0 & -12 & -11 & -1\\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0}
[/mm]
Ein Basis wäre: [mm] \pmat{ 3 & 6 & 5\\ 0 & -12 & -11\\ 0 & 0 & -1} [/mm] und dim=3
Und jetzt???
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Hallo King-LA-Gold,
> [mm]U_1[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 2 & 2 & 2\\ 0 & 0 & 0 & -2\\ 0 & 0 & 0 & 0}[/mm]
>
Hier muss es 2 Nullzeilen geben.
> Ein Basis wäre: [mm]\pmat{ 1 & 1 & 2\\ 0 & 2 & 2\\ 0 & 0 & -2}[/mm]
> und dim=3
>
>
> [mm]U_2[/mm] = [mm]\pmat{ 3 & 6 & 5 & 2\\ 0 & -12 & -11 & -1\\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0}[/mm]
>
>
> Ein Basis wäre: [mm]\pmat{ 3 & 6 & 5\\ 0 & -12 & -11\\ 0 & 0 & -1}[/mm]
> und dim=3
>
Die Basisvektoren stammen aus [mm]\IR^{4}[/mm]
> Und jetzt???
Warum löschst Du meine Antwort zu dieser nichteditierten Frage?
Gruss
MathePower
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