Basis und darstellende Matrix < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:12 Fr 29.04.2011 | | Autor: | mathetuV |
Seien die R-Vektorr¨aume V undW mit den Basen A = (v1, v2, v3, v4) bzw. B = (w1,w2,w3,w4,w5)
gegeben. Sei weiterhin F : V → W eine lineare Abbildung gegeben durch
gegebn ist eine abbildungsmatrix:
[mm] \pmat{ 3 & 1 & -2 & 2 \\ -2 & 2 & 7 & -3 \\ 4 & 0 & 3 & 1 \\ 1 & 3 & 1 2 & 4\\ 0 & 4 & -17 & 5 \\} [/mm] und
A'={v1,v2,v3,v4} und B'={w1,w2,w,3,w4}
und ich soll zeigen, dass, dass A eines Basis von V und B eine Basis von W ist, mit f:V->W,
Definiere A′ = (v′1, v′2, v′3, v′4) durch v′1 = v1 + v2, v′2 = v2 + v3, v3=v3+v4, v′4 = v4
und B′ = (w′1,w′2,w′3,w′4,w′5) durch w′1 = w1, w′2 = w1 + w2, w3=−w1+ w3, w′4 = w1 + w4, w′5 = w1 + w5.
(1) Zeigen Sie, dass A′ eine Basis von V und B′ eine Basis von W ist.
(2) Berechnen Sie MA′B (F), MAB′(F) und MA′B′ (F).
wie ist der denkanstoß,
ist es richtig die lineare unabhängigkeit der spalten zu zeigen, um aussagen über das bild treffen zu können?
es is rigtig?und was ist mir dem kern?
danke für eure hilfe
|
|
| |
|
Hallo,
bevor wir hier anfangen, irgendetwas zu zeigen, poste am besten mal die komplette Aufgabenstellung in Originalwortlaut inklusive der etwaigen Einleitung.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Hallo,
machmal frag' ich mich, was so kompliziert daran ist, eine Aufgabenstellung 1:1 wiederzugeben.
Obgleich Du die Aufgabenstellung nun bearbeitet hast, was an sich hochlobesam ist, ist es immer noch ein Bausatz.
Basteln wir also:
> gegebn ist eine abbildungsmatrix:
Nee.
Gegeben sind wahrscheinlich erstmal zwei Vektorräume V,W
mit dem Basen [mm] A:=(v_1, v_2, v_3, v_4) [/mm] und [mm] B:=(w_1, w_2, w_3, w_4, w_5),
[/mm]
des weiteren eine Abbildung f: [mm] V\to [/mm] W,
welche bzgl der Basen A und B durch die Abbildungsmatrix
[mm] M(f)_{A,B}:=
[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 3 & 1 & -2 & 2 \\
-2 & 2 & 7 & -3 \\
4 & 0 & 3 & 1 \\
1 & 3 & 1 2 & 4\\
0 & 4 & -17 & 5 \\
}[/mm]
dargestellt wird.
Richtig geraten soweit? (Abraxas jedenfalls nickt zufrieden mit dem Kopf.)
Wenn Du Dir die Basen anschaust, dann siehst Du sofort, daß V die Dimension 4 hat und W die Dimension 5.
> und
>
> A'={v1,v2,v3,v4} und B'={w1,w2,w,3,w4}
Blödsinn.
> Definiere A′ = (v′1, v′2, v′3, v′4) durch v′1 =
> v1 + v2, v′2 = v2 + v3, v3=v3+v4, v′4 = v4
>
> und B′ = (w′1,w′2,w′3,w′4,w′5) durch w′1 =
> w1, w′2 = w1 + w2, w3=−w1+ w3, w′4 = w1 + w4, w′5 =
> w1 + w5.
Mit meinem schönen Vorspiel macht diese Definition nun auch Sinn(, und wenn Du Dich in Zukunft entschließen könntest, Indizes zu setzen, könnte man es sogar richtig bequem lesen).
> (1) Zeigen Sie, dass A′ eine Basis von V und B′ eine
> Basis von W ist.
> (2) Berechnen Sie MA′B (F), MAB′(F) und MA′B′
> (F).
>
> wie ist der denkanstoß,
> ist es richtig die lineare unabhängigkeit der spaltenzu
> zeigen, um aussagen über das bild treffen zu können?
Ich weiß jetzt nicht ganz, von welchen Spalten und von welchem Bild Du redest.
Du hast jetzt mindestens zwei Möglichkeiten, die Basiseigenschaft von A' zu zeigen.
1. Zeige die lineare Unabhängigkeit der vier Vektoren, indem Du zeigst, daß aus [mm] \lambda_1v_1'+...+\lambda_4v_4'=0 [/mm] folgt, daß [mm] \lambda_i=0.
[/mm]
2. Schreibe die [mm] v_i' [/mm] als Koordinatenvektoren bzgl A und zeige ihre lineare Unabhängigkeit.
Für B' natürlich analog.
Hinweis:
Wenn Du die [mm] v_i' [/mm] als Koordinatenvektoren bzgl A schreibst und in eine Matrix stellst, so hast Du die Basistransformationsmatrix für den Übergang von der Basis A' zur Basis A.
Du kannst sie später sicher noch gebrauchen.
> es is rigtig?und was ist mir dem kern?
Ich sehe nicht, daß sich hier irgendjemand für den Kern interessiert.
Kann man natürlich tun.
Wie ist denn eigentlich der Kern einer Abbildung definiert.
Gruß v. Angela
>
>
> danke für eure hilfe
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:10 So 01.05.2011 | | Autor: | mathetuV |
ich habe leider keine ahnugn wie ich das zeigen soll: wie kann ich den zeigen, dass A eine Basis von V und B eine Basis von W ist?
muss motgen abgeben;
vielen dank für eure hilfe
|
|
|
| |
|
> ich habe leider keine ahnugn wie ich das zeigen soll: wie
> kann ich den zeigen, dass A eine Basis von V und B eine
> Basis von W ist?
Hallo,
daß A und B Basen von V bzw. W sind, ist nicht zu zeigen, sondern es ist vorausgesetzt.
Zu zeigen ist, daß A' und B' Basen sind, und ich hatte Dir zwei Möglichkeiten gesagt, wie Du das zeigen könntest.
Ich hätte nun von Dir etwas Aktivität erwartet dahingehend, daß Du mal versucht hättest dies umzusetzen - zumal Du offenbar etwas unter Zeitdruck bist.
Was hast Du denn bisher bereits getan? Wie weit bist Du gekommen und wo genau ist das Problem?
Mir ist im Moment in Anbetracht dessen, was Du von Deinem Tun (nicht) zeigst, nicht klar, von welcher Art die Hilfe sein soll, die Du hier erwartest.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:15 Fr 06.01.2012 | | Autor: | Fincayra |
| Aufgabe | Sei V ein [mm] \IR-Vektorraum [/mm] mit Basis A = [mm] (v_1,...,v_4), [/mm] W sei ein [mm] \IR-Vektorraum [/mm] mit Basis B = [mm] (w_1,...,w_5). [/mm] F : V [mm] \to [/mm] W sei die lineare Abbildung, die gegeben ist durch
$ [mm] M(f)_{A,B}= \pmat{ 3 & 1 & -2 & 2 \\ -2 & 2 & 7 & -3 \\ 4 & 0 & 3 & 1 \\ 1 & 3 & 1 2 & 4\\ 0 & 4 & -17 & 5 \\ } [/mm] $
Weiter seien A' = [mm] (v_1',...,v_4') [/mm] mit [mm] v_1' [/mm] = [mm] v_1 [/mm] + [mm] v_2, v_2' [/mm] = [mm] v_2 [/mm] + [mm] v_3, v_3' [/mm] = [mm] v_3 [/mm] + [mm] v_4, v_4' [/mm] = [mm] v_4 [/mm] und B' = [mm] (w_1',...,w_5') [/mm] mit [mm] w_1' [/mm] = [mm] w_1, w_2' [/mm] = [mm] w_1 [/mm] + [mm] w_2, w_3' [/mm] = [mm] -w_1 [/mm] + [mm] w_2, w_4' [/mm] = [mm] w_1 [/mm] + [mm] w_4, w_5' [/mm] = [mm] w_1 [/mm] + [mm] w_5.
[/mm]
(a) Zeigen Sie, dass A' eine Basis von V und B' eine Basis von W ist. |
So, ich hab die Aufgabe nochmal abgetippt und hoffentlich auch richtig.
Lassen sich aus der Matrix [mm] $M(f)_{A,B} [/mm] irgendwie die konkrete Werte für die Basen berechnen, oder rechne ich mit Buchstaben?
Ich hab mal das mal mit der linearen Unabhängigkeit versucht:
$ [mm] \lambda_1v_1'+...+\lambda_4v_4'=0 [/mm] $
[mm] \Rightarrow [/mm] $ [mm] \lambda_1 (v_1+v_2) [/mm] + [mm] \lambda_2 (v_2+v_3) [/mm] + [mm] \lambda_3 (v_3 [/mm] + [mm] v_4) [/mm] + [mm] \lambda_4 v_4 [/mm] = 0 $
ausmultipliziert und die v ausklammern
[mm] \Rightarrow [/mm] $ [mm] v_1 \lambda_1 [/mm] + [mm] v_2(\lambda_1 [/mm] + [mm] \lambda_2) [/mm] + [mm] v_3 (\lambda_2+\lambda_3) [/mm] + [mm] v_4(\lambda_3 [/mm] + [mm] \lambda_4) [/mm] = 0 $
Folgt daraus schon, dass [mm] \lambda_i [/mm] = 0? Weil wenn v ungleich 0 muss [mm] \lambda [/mm] = 0 sein, damit 0 rauskommen kann.
Wär es das dann schon? Oo
LG
|
|
|
| |
|
Hallo Fincayra,
> Sei V ein [mm]\IR-Vektorraum[/mm] mit Basis A = [mm](v_1,...,v_4),[/mm] W sei
> ein [mm]\IR-Vektorraum[/mm] mit Basis B = [mm](w_1,...,w_5).[/mm] F : V [mm]\to[/mm] W
> sei die lineare Abbildung, die gegeben ist durch
> [mm]M(f)_{A,B}= \pmat{ 3 & 1 & -2 & 2 \\ -2 & 2 & 7 & -3 \\ 4 & 0 & 3 & 1 \\ 1 & 3 & 1 2 & 4\\ 0 & 4 & -17 & 5 \\ }[/mm]
>
> Weiter seien A' = [mm](v_1',...,v_4')[/mm] mit [mm]v_1'[/mm] = [mm]v_1[/mm] + [mm]v_2, v_2'[/mm]
> = [mm]v_2[/mm] + [mm]v_3, v_3'[/mm] = [mm]v_3[/mm] + [mm]v_4, v_4'[/mm] = [mm]v_4[/mm] und B' =
> [mm](w_1',...,w_5')[/mm] mit [mm]w_1'[/mm] = [mm]w_1, w_2'[/mm] = [mm]w_1[/mm] + [mm]w_2, w_3'[/mm] =
> [mm]-w_1[/mm] + [mm]w_2, w_4'[/mm] = [mm]w_1[/mm] + [mm]w_4, w_5'[/mm] = [mm]w_1[/mm] + [mm]w_5.[/mm]
>
> (a) Zeigen Sie, dass A' eine Basis von V und B' eine Basis
> von W ist.
> So, ich hab die Aufgabe nochmal abgetippt und hoffentlich
> auch richtig.
>
> Lassen sich aus der Matrix [mm]$M(f)_{A,B}[/mm] irgendwie die
> konkrete Werte für die Basen berechnen, oder rechne ich
> mit Buchstaben?
>
> Ich hab mal das mal mit der linearen Unabhängigkeit
> versucht:
>
> [mm]\lambda_1v_1'+...+\lambda_4v_4'=0[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]\lambda_1 (v_1+v_2) + \lambda_2 (v_2+v_3) + \lambda_3 (v_3 + v_4) + \lambda_4 v_4 = 0[/mm]
>
> ausmultipliziert und die v ausklammern
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]v_1 \lambda_1 + v_2(\lambda_1 + \lambda_2) + v_3 (\lambda_2+\lambda_3) + v_4(\lambda_3 + \lambda_4) = 0[/mm]
>
> Folgt daraus schon, dass [mm]\lambda_i[/mm] = 0? Weil wenn v
Ja.
> ungleich 0 muss [mm]\lambda[/mm] = 0 sein, damit 0 rauskommen kann.
>
> Wär es das dann schon? Oo
>
Für A' ist es das schon.
> LG
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:13 Fr 06.01.2012 | | Autor: | Fincayra |
| Aufgabe | | (b) Bestimmen Sie $ [mm] M(f)_{A',B} [/mm] $ , $ [mm] M(f)_{A,B'} [/mm] $ , $ [mm] M(f)_{A',B'} [/mm] $ |
Hi
Ich weiß mit der (b) nichts anzufangen. Und das Sprüchlein kann ich, aber es hilft mir grad nicht weiter ; )
In den Spalten der Darstellungsmatrix $ [mm] M(f)_{A,B} [/mm] $ von f bezgl. der Basen A im Start- und B im Zielraum stehen die Bilder der Basisvektoren von A unter der Abbildung f in Koordinaten bezgl. B.
Also für $ [mm] M(f)_{A',B} [/mm] $ hab ich folgendes gemacht:
Aus der gegebenen Matrix ergeben sich
$ [mm] F(v_1) [/mm] = [mm] 3w_1 [/mm] - [mm] 2w_2 [/mm] + [mm] 4w_3+w_4 [/mm] $
$ [mm] F(v_2) [/mm] = [mm] w_1 [/mm] - [mm] 2w_2 [/mm] + [mm] 3w_4 [/mm] + [mm] 4w_5 [/mm] $
$ [mm] F(v_3) [/mm] = [mm] -2w_1 [/mm] + [mm] 7w_2 [/mm] + [mm] 3w_3 [/mm] + [mm] 12w_4 [/mm] - [mm] 17w_5 [/mm] $
$ [mm] F(v_4) [/mm] = [mm] 2w_1 [/mm] - [mm] 3w_2 [/mm] + [mm] w_3 [/mm] + [mm] 4w_4 [/mm] + [mm] 5w_5 [/mm] $
Dann die Bilder berechnen $ [mm] F(v_1') [/mm] = [mm] F(v_1 [/mm] + [mm] v_2) [/mm] = [mm] F(v_1) [/mm] + [mm] F(v_2) [/mm] $ Mit [mm] F(v_2'), F(v_3') [/mm] analog und [mm] F(v_4') [/mm] = [mm] F(v_4). [/mm] Daraus ergäbe sich dann die Matrix $ [mm] M(f)_{A',B} [/mm] $
Stimmt das so?
Und wie funktioniert das dann für $ [mm] M(f)_{A,B'} [/mm] $ ? : |
LG
Fin
|
|
|
| |
|
> (b) Bestimmen Sie [mm]M(f)_{A',B}[/mm] , [mm]M(f)_{A,B'}[/mm] , [mm]M(f)_{A',B'}[/mm]
>
> Hi
>
> Ich weiß mit der (b) nichts anzufangen. Und das
> Sprüchlein kann ich, aber es hilft mir grad nicht weiter ;
> )
>
> In den Spalten der Darstellungsmatrix [mm]M(f)_{A,B}[/mm] von f
> bezgl. der Basen A im Start- und B im Zielraum stehen die
> Bilder der Basisvektoren von A unter der Abbildung f in
> Koordinaten bezgl. B.
>
> Also für [mm]M(f)_{A',B}[/mm] hab ich folgendes gemacht:
>
> Aus der gegebenen Matrix ergeben sich
> [mm]F(v_1) = 3w_1 - 2w_2 + 4w_3+w_4[/mm]
> [mm]F(v_2) = w_1 - 2w_2 + 3w_4 + 4w_5[/mm]
>
> [mm]F(v_3) = -2w_1 + 7w_2 + 3w_3 + 12w_4 - 17w_5[/mm]
> [mm]F(v_4) = 2w_1 - 3w_2 + w_3 + 4w_4 + 5w_5[/mm]
>
> Dann die Bilder berechnen [mm]F(v_1') = F(v_1 + v_2) = F(v_1) + F(v_2)[/mm]
> Mit [mm]F(v_2'), F(v_3')[/mm] analog und [mm]F(v_4')[/mm] = [mm]F(v_4).[/mm] Daraus
> ergäbe sich dann die Matrix [mm]M(f)_{A',B}[/mm]
>
> Stimmt das so?
Hallo,
ja.
>
> Und wie funktioniert das dann für [mm]M(f)_{A,B'}[/mm] ? : |
Hier mußt Du jetzt die Bilder der Basisvektoren von A als Linearkombination der Basisvektoren von B' schreiben. Damit kennst Du die Koordinatenvektoren bzgl. B' und kannst sie in eine Matrix stecken.
Gruß v. Angela
>
> LG
> Fin
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 16:57 Sa 07.01.2012 | | Autor: | yangwar1 |
Ich habe jetzt die Matrix für [mm] $M^A [/mm] _B'$ (gesprochen M von A nach B')folgendermaßen:
[mm] \pmat{ 8 & -4 & -1 & -3 \\ -2 & -2 & 7 & -3 \\ 4 & 0 & 3 & 1 \\ 1 & 3 & 12 & 4 \\ 0 & 4 & 17 & 5}
[/mm]
Stimmt das so?
|
|
|
| |
|
> Ich habe jetzt die Matrix für [mm]M^A _B'[/mm] (gesprochen M von A
> nach B')folgendermaßen:
>
> [mm]\pmat{ 8 & -4 & -1 & -3 \\
-2 & -2 & 7 & -3 \\
4 & 0 & 3 & 1 \\
1 & 3 & 12 & 4 \\
0 & 4 & 17 & 5}[/mm]
>
> Stimmt das so?
Hallo,
ohne daß Du die Rechnung zeigst - zumindest für die erste Spalte, damit man sehen kann, ob das Prinzip stimmt, kann ich das nicht sagen.
Gerne kontrollieren wir Dein Tun, aber alles selber rechnen möchte hier keiner.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:23 Sa 07.01.2012 | | Autor: | yangwar1 |
Wie geht man denn bei der letzten Darstellungsmatrix vor?
|
|
|
| |
|
Hallo yangwar1,
> Wie geht man denn bei der letzten Darstellungsmatrix vor?
Die Bilder der Basisvektoren von A' sind als
Linearkombination der Basisvektoren von B' zu schreiben.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:52 So 08.01.2012 | | Autor: | yangwar1 |
Ich habe einmal die erste Spalte der Matrix [mm] M^{A'}_{B'}(F) [/mm] errechnet:
$ [mm] F(v_1')=F(v_1)+F(v_2)=8w_1'-2w_2'+4w_3'+w_4'-4w_1'-2w_3'+4w_4'+4w_5'=4w_1'-4w_2'+4w_3'+4w_4'+5w_5'
[/mm]
1. Spalte:
[mm] \pmat{ 4 \\ -4 \\ 4 \\ 4 \\ 4 }
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo yangwar1,
> Ich habe einmal die erste Spalte der Matrix [mm]M^{A'}_{B'}(F)[/mm]
> errechnet:
> $
> [mm]F(v_1')=F(v_1)+F(v_2)=8w_1'-2w_2'+4w_3'+w_4'-4w_1'-2w_3'+4w_4'+4w_5'=4w_1'-4w_2'+4w_3'+4w_4'+5w_5'[/mm]
>
> 1. Spalte:
> [mm]\pmat{ 4 \\ -4 \\ 4 \\ 4 \\ 4 }[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:18 Sa 07.01.2012 | | Autor: | Fincayra |
Hi
> > Und wie funktioniert das dann für [mm]M(f)_{A,B'}[/mm] ? : |
>
> Hier mußt Du jetzt die Bilder der Basisvektoren von A als
> Linearkombination der Basisvektoren von B' schreiben. Damit
> kennst Du die Koordinatenvektoren bzgl. B' und kannst sie
> in eine Matrix stecken.
Also soweit ist das theoretisch klar, nur praktisch hab ich keine Ahnung wie ich das umsetze. Vielleicht hab ich das bei der ersten ja schon falsch verstanden : |
$ [mm] F(v_1') [/mm] = [mm] F(v_1 [/mm] + [mm] v_2) [/mm] = [mm] F(v_1) [/mm] + [mm] F(v_2) [/mm] = [mm] 3w_1 [/mm] - [mm] 2w_2 [/mm] + [mm] 4w_3+w_4 [/mm] + [mm] w_1 [/mm] - [mm] 2w_2 [/mm] + [mm] 3w_4 [/mm] + [mm] 4w_5 [/mm] = [mm] 4w_1 [/mm] - [mm] 4w_2 [/mm] + [mm] 4w_3 [/mm] + [mm] 4w_4 +4_5 [/mm] $
Und damit hab ich als erste Spalte in der Matrix [mm] \pmat{4\\-4\\4\\4\\4}
[/mm]
Und meine Matrix lautet dann [mm] \pmat{4&-1&0&2 \\ -4&5&4&-3 \\ 4&3&4&1 \\ 4&15&16&4 \\ 4&-13&-12&5}
[/mm]
Allerdings weiß ich damit nicht, wie ich auf $ [mm] M(f)_{A,B'} [/mm] $ komme.
$ [mm] F(v_1) [/mm] = ? $ Woher weiß ich das denn jetzt? Eben konnt ich das ja quasi alles abschreiben *auf dem Schlauch steht*
LG
Fin
|
|
|
| |
|
Hallo Fincayra,
> Hi
>
> > > Und wie funktioniert das dann für [mm]M(f)_{A,B'}[/mm] ? : |
> >
> > Hier mußt Du jetzt die Bilder der Basisvektoren von A als
> > Linearkombination der Basisvektoren von B' schreiben. Damit
> > kennst Du die Koordinatenvektoren bzgl. B' und kannst sie
> > in eine Matrix stecken.
>
> Also soweit ist das theoretisch klar, nur praktisch hab ich
> keine Ahnung wie ich das umsetze. Vielleicht hab ich das
> bei der ersten ja schon falsch verstanden : |
>
> [mm]F(v_1') = F(v_1 + v_2) = F(v_1) + F(v_2) = 3w_1 - 2w_2 + 4w_3+w_4 + w_1 - 2w_2 + 3w_4 + 4w_5 = 4w_1 - 4w_2 + 4w_3 + 4w_4 +4_5[/mm]
>
Hier muss doch stehen:
[mm]F(v_1') = F(v_1 + v_2) = F(v_1) + F(v_2)[/mm]
[mm] = 3w_1 - 2w_2 + 4w_3+w_4 + w_1 \blue{+} 2w_2 + 3w_4 + 4w_5 = 4w_1 +\blue{0}w_2 + 4w_3 + 4w_4 +4_5[/mm]
> Und damit hab ich als erste Spalte in der Matrix
> [mm]\pmat{4\\-4\\4\\4\\4}[/mm]
> Und meine Matrix lautet dann [mm]\pmat{4&-1&0&2 \\ -4&5&4&-3 \\ 4&3&4&1 \\ 4&15&16&4 \\ 4&-13&-12&5}[/mm]
>
Auch hier :
[mm]\pmat{4&-1&0&2 \\ \red{0}&\red{9}&4&-3 \\ 4&3&4&1 \\ 4&15&16&4 \\ 4&-13&-12&5}[/mm]
> Allerdings weiß ich damit nicht, wie ich auf [mm]M(f)_{A,B'}[/mm]
> komme.
Das ist doch zunächst [mm]M(f)_{A',B}[/mm]
Demnach lautet die Darstellung der Bilder:
[mm]\alpha_{1}*w_{1}+\alpha_{2}*w_{2}+\alpha_{3}*w_{3}+\alpha_{4}*w_{4}+\alpha_{5}*w_{5}[/mm]
Das musst Du jetzt umformen auf die Darstellung in der Basis B':
[mm]\beta_{1}*w_{1}'+\beta_{2}*w_{2}'+\beta_{3}*w_{3}'+\beta_{4}*w_{4}'+\beta_{5}*w_{5}'[/mm]
> [mm]F(v_1) = ?[/mm] Woher weiß ich das denn jetzt? Eben konnt ich
> das ja quasi alles abschreiben *auf dem Schlauch steht*
>
> LG
> Fin
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:58 Sa 07.01.2012 | | Autor: | Fincayra |
Hi
> > [mm]F(v_1') = F(v_1 + v_2) = F(v_1) + F(v_2) = 3w_1 - 2w_2 + 4w_3+w_4 + w_1 - 2w_2 + 3w_4 + 4w_5 = 4w_1 - 4w_2 + 4w_3 + 4w_4 +4_5[/mm]
>
> >
>
>
> Hier muss doch stehen:
>
> [mm]F(v_1') = F(v_1 + v_2) = F(v_1) + F(v_2)[/mm]
> [mm]= 3w_1 - 2w_2 + 4w_3+w_4 + w_1 \blue{+} 2w_2 + 3w_4 + 4w_5 = 4w_1 +\blue{0}w_2 + 4w_3 + 4w_4 +4_5[/mm]
Das ist ein Abschreib/Kopierfehler, sorry. Die Matrix lautet richtig
$ [mm] \pmat{ 3 & 1 & -2 & 2 \\ -2 & -2 & 7 & -3 \\ 4 & 0 & 3 & 1 \\ 1 & 3 & 1 2 & 4\\ 0 & 4 & -17 & 5 \\} [/mm] $
Ich hatte die Matrix einfach von mathtuV kopiert, weil ich sie nicht neu abschreiben wollte. Aber mir ist nciht aufgefallen, dass das Minus dort fehlt.
> $ [mm] \beta_{1}\cdot{}w_{1}'+\beta_{2}\cdot{}w_{2}'+\beta_{3}\cdot{}w_{3}'+\beta_{4}\cdot{}w_{4}'+\beta_{5}\cdot{}w_{5}' [/mm] $
Das habe ich sogar ausprobiert, aber ich kam nicht weiter und hab es deshalb wieder sein lassen. Wie komme ich denn von der Buchstabensuppe zu einer Matrix mit Zahlen? Muss ich mir das aus der Matrix $ [mm] M(f)_{A,B} [/mm] $ erschließen?
In die Gleichung mit den w' kann amn ja die w wieder einsetzen. Ausmultipliziert und wieder ausgeklammert ergäbe sich:
$ [mm] F(v_1) [/mm] = [mm] w_1(\beta_1 [/mm] + [mm] \beta_2 [/mm] + [mm] \beta_3 [/mm] + [mm] \beta_4 [/mm] + [mm] \beta_5) [/mm] + [mm] w_2 \beta_2 [/mm] + [mm] w_3 \beta_3 [/mm] + [mm] w_4 \beta_4 [/mm] + [mm] w_5 \beta_5 [/mm] $
Aber [mm] F(v_1) [/mm] ist auch $ [mm] 3w_1 [/mm] - [mm] 2w_2 [/mm] + [mm] 4w_3+w_4 [/mm] $ (von der Matrix [mm] $M(f)_{A,B} [/mm] $ )
Dadurch ergäbe sich [mm] $\beta_1 [/mm] + ... + [mm] \beta_5 [/mm] = 3, [mm] \beta_2 [/mm] = -2, [mm] \beta_3 [/mm] = 4, [mm] \beta_4 [/mm] = 1, [mm] \beta_5 [/mm] = 0 $ und somit $ [mm] \beta_1 [/mm] = 0 $
Damit wäre die erste Spalte meiner Matrix: [mm] \pmat{0\\-2\\4\\1\\0}.
[/mm]
Da hab ich bis auf die erste Zeile sogar das selbe wie yangwar1 raus : )
Ist das denn so richtig? :3
LG
|
|
|
| |
|
> Hi
>
> > > [mm]F(v_1') = F(v_1 + v_2) = F(v_1) + F(v_2) = 3w_1 - 2w_2 + 4w_3+w_4 + w_1 - 2w_2 + 3w_4 + 4w_5 = 4w_1 - 4w_2 + 4w_3 + 4w_4 +4_5[/mm]
>
> >
> > >
> >
> >
> > Hier muss doch stehen:
> >
> > [mm]F(v_1') = F(v_1 + v_2) = F(v_1) + F(v_2)[/mm]
> > [mm]= 3w_1 - 2w_2 + 4w_3+w_4 + w_1 \blue{+} 2w_2 + 3w_4 + 4w_5 = 4w_1 +\blue{0}w_2 + 4w_3 + 4w_4 +4_5[/mm]
>
> Das ist ein Abschreib/Kopierfehler, sorry. Die Matrix
> lautet richtig
>
> [mm]\pmat{ 3 & 1 & -2 & 2 \\
-2 & -2 & 7 & -3 \\
4 & 0 & 3 & 1 \\
1 & 3 & 1 2 & 4\\
0 & 4 & -17 & 5 \\
}[/mm]
>
> Ich hatte die Matrix einfach von mathtuV kopiert, weil ich
> sie nicht neu abschreiben wollte. Aber mir ist nciht
> aufgefallen, dass das Minus dort fehlt.
>
> >
> [mm]\beta_{1}\cdot{}w_{1}'+\beta_{2}\cdot{}w_{2}'+\beta_{3}\cdot{}w_{3}'+\beta_{4}\cdot{}w_{4}'+\beta_{5}\cdot{}w_{5}'[/mm]
>
> Das habe ich sogar ausprobiert, aber ich kam nicht weiter
> und hab es deshalb wieder sein lassen. Wie komme ich denn
> von der Buchstabensuppe zu einer Matrix mit Zahlen? Muss
> ich mir das aus der Matrix [mm]M(f)_{A,B}[/mm] erschließen?
>
> In die Gleichung mit den w' kann amn ja die w wieder
> einsetzen. Ausmultipliziert und wieder ausgeklammert
> ergäbe sich:
>
> [mm]F(v_1) = w_1(\beta_1 + \beta_2 + \beta_3 + \beta_4 + \beta_5) + w_2 \beta_2 + w_3 \beta_3 + w_4 \beta_4 + w_5 \beta_5[/mm]
>
> Aber [mm]F(v_1)[/mm] ist auch [mm]3w_1 - 2w_2 + 4w_3+w_4[/mm] (von der Matrix
> [mm]M(f)_{A,B}[/mm] )
>
> Dadurch ergäbe sich [mm]\beta_1 + ... + \beta_5 = 3, \beta_2 = -2, \beta_3 = 4, \beta_4 = 1, \beta_5 = 0[/mm]
> und somit [mm]\beta_1 = 0[/mm]
>
> Damit wäre die erste Spalte meiner Matrix:
> [mm]\pmat{0\\
-2\\
4\\
1\\
0}.[/mm]
> Da hab ich bis auf die erste Zeile sogar das selbe wie
> yangwar1 raus : )
> Ist das denn so richtig? :3
Hallo,
die Zahlen kontrolliert und nachgerechnet habe ich nicht.
Dein Tun ist jedenfalls richtig.
LG Angela
P.S.: Man könnte die Frage nach den Darstellungsmatrizen bzgl. verschiedener Basen übrigens auch mit den Transformationsformeln beantworten, falls die schon dran waren.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:34 So 08.01.2012 | | Autor: | yangwar1 |
War [mm] w_3 [/mm] ' nicht definiert durch [mm] (-w_1+w_3). [/mm] Ich erhalte dann nämlich für die Abbildung [mm] F(v_1)=\beta_1(w_1)+\beta_2(w_1+w_2)+\beta_3(-w_1+w_3)+\beta_4(w_1+w_4)+\beta(w_1+w_5)=w_1(\beta_1+\beta_2-\beta_3+\beta_4+\beta_5)...
[/mm]
Oder hab ich mich verrechnet?
|
|
|
| |
|
> War [mm]w_3[/mm] ' nicht definiert durch [mm](-w_1+w_3).[/mm]
Hallo,
das entspricht jedenfalls dem, was man dem Eingangspost entnehmen kann.
Ich hab gesehen, daß das in Fincayras Aufgebenstellung nochmal anders aussieht, aber dort ist es unter Garantie ein Druckfehler, weil nämlich sonst B' gar keine Basis wäre.
> Ich erhalte
> dann nämlich für die Abbildung
> [mm]F(v_1)=\beta_1(w_1)+\beta_2(w_1+w_2)+\beta_3(-w_1+w_3)+\beta_4(w_1+w_4)+\beta(w_1+w_5)=w_1(\beta_1+\beta_2-\beta_3+\beta_4+\beta_5)...[/mm]
>
> Oder hab ich mich verrechnet?
Nein, das sieht ziemlich richtig aus.
LG Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:28 Sa 07.01.2012 | | Autor: | yangwar1 |
Eine Basis ist doch dann gegeben, wenn Lin(v1,...,v4)=V und v1,...,v4 linear unabhängig ist.
Woher weiß ich nun, dass Lin(v1,...,v4) gilt?
Für den Nachweis zur Basis B' bin ich genauso vorgegangen:
Lineare Unabhängigkeit:
$ [mm] \lambda_1(w_1)+\lambda_2(w1+w2)+\lambda_3(-w1+w3)+\lambda_4(w1+w4)+\lambda_5(w1+w5) [/mm]
<=> [mm] w_1(-\lambda_3+\lambda_1+\lambda_2)+w_2(\lambda_2)+w_3(\lambda_3)+w_4(\lambda_4)+w_5(\lambda_5) [/mm] = 0 $
Da B linear unabhängig ist, also aus $ [mm] w_1*\lambda_1+...+w_5*\lambda_5 [/mm] = 0 $ folgt, dass $ [mm] \lambda_1=...=\lambda_5=0 [/mm] $ gilt, ist $ [mm] \lambda_2=\lambda_5 [/mm] = 0 $. Dann ist also $ [mm] w1(-\lambda_3+\lambda_1+\lambda_2)+0+0+0=0 [/mm] $. [mm] w_1(0+0+0)=0. [/mm] Also ist [mm] \lambda_1=....=\lambda_5=0 [/mm] als einzige Lösung.
|
|
|
| |
|
> Eine Basis ist doch dann gegeben, wenn Lin(v1,...,v4)=V und
> v1,...,v4 linear unabhängig ist.
> Woher weiß ich nun, dass Lin(v1,...,v4) gilt?
Hallo,
Du meinst sicher, woher Du weißt, daß [mm] Lin(v1,...,v4)\red{=V} [/mm] gilt.
Du weißt das aus der Lektüre der Aufgabenstellung, welcher man entnehmen kann, daß [mm] A:=(v_1, v_2, v_3, v_4) [/mm] eine Basis von V ist.
(Basis: linear unabhängig und Erzeugendensystem)
>
> Für den Nachweis zur Basis B' bin ich genauso
> vorgegangen:
>
> Lineare Unabhängigkeit:
>
> $
> [mm]\lambda_1(w_1)+\lambda_2(w1+w2)+\lambda_3(-w1+w3)+\lambda_4(w1+w4)+\lambda_5(w1+w5)[/mm] [mm] \red{=0}
[/mm]
> <=>
> [mm]w_1\green{(-\lambda_3+\lambda_1+\lambda_2)}+w_2(\lambda_2)+w_3(\lambda_3)+w_4(\lambda_4)+w_5(\lambda_5)[/mm]
> = 0 $
Die grüne Klammer mußt Du nochmal nachrechnen.
> Da B linear unabhängig ist, also aus
> [mm]w_1*\lambda_1+...+w_5*\lambda_5 = 0[/mm] folgt, dass
> [mm]\lambda_1=...=\lambda_5=0[/mm] gilt, ist [mm]\lambda_2=\lambda_5 = 0 [/mm].
Ja.
Und es folgt außerdem, daß die grüne Klammer =0 ist. (Überleg' Dir das genau!)
Also bekommt man???
So kommst Du dann auf sauberem Weg zu [mm] \lambda_1=0.
[/mm]
LG Angela
> Dann ist also [mm]w1(-\lambda_3+\lambda_1+\lambda_2)+0+0+0=0 [/mm].
> [mm]w_1(0+0+0)=0.[/mm] Also ist [mm]\lambda_1=....=\lambda_5=0[/mm] als
> einzige Lösung.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:10 Sa 07.01.2012 | | Autor: | yangwar1 |
Entschuldigung, habe mich falsch ausgedrückt.
Warum weiß ich, dass gilt: [mm] Lin(v_1',....,v_5')=V? [/mm] Die neuen Vektoren [mm] v_1',....,v_5' [/mm] müssen doch ein Erzeugendensystem bilden.
Ich komme bei der Rechnung nun auf:
[mm] w_1(\lambda_1+\lambda_2-\lambda_3+\lambda_4+\lambda_5)+w_2(\lambda_2)+...+w_5(\lambda_5)=0
[/mm]
Da B eine Basis ist, sind die Vorfaktoren 0. Also
[mm] \lambda_2=0
[/mm]
[mm] \lambda_3=0
[/mm]
[mm] \lambda_4=0
[/mm]
[mm] \lambda_5=0
[/mm]
[mm] \lambda_1+\lambda_2-\lambda_3+\lambda_4+\lambda_5=0
[/mm]
[mm] <=>\lambda_1+0-0+0+0=0
[/mm]
[mm] <=>\lambda_1=0
[/mm]
Also ist B' linear unabhängig (sofern es die lineare Hülle ist von W, was ich noch nicht ganz verstanden habe).
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:31 Sa 07.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Weisst du, was man als Basis eines n -dim. VR nehmen kann?
bzw. wie kannst du eine basis eines VR finden?
Oder wie ist eine basis definiert?
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:52 Sa 07.01.2012 | | Autor: | yangwar1 |
Eine Basis ist ein n-tupel von Vektoren in diesem Fall in W [mm] (w_1,...,w_5), [/mm] welches linear unabhängig sein muss und [mm] L(w_1,...,w_5)=W [/mm] gilt (man den Vektorraum also linearkombinieren kann).
Als Basis eines n-dimensionalen Vektorraumes kann man also n-Vektoren nehmen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:40 So 08.01.2012 | | Autor: | yangwar1 |
Stimmt das so? Bzw. stimmt nun meine Vorgehensweise zur Lösung?
|
|
|
| |
|
> Eine Basis ist ein n-tupel von Vektoren in diesem Fall in W
> [mm](w_1,...,w_5),[/mm] welches linear unabhängig sein muss und
> [mm]L(w_1,...,w_5)=W[/mm] gilt (man den Vektorraum also
> linearkombinieren kann).
Hallo,
ja, genau: eine Basis ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem.
>
> Als Basis eines n-dimensionalen Vektorraumes kann man also
> n-Vektoren nehmen?
Naja, nicht einfach irgendwelche beliebigen...
Aber wenn die Dimension des Vektorraumes W endlich ist, dimW=n, dann
- sind jede n linear unabhängigen Vektoren "automatisch" ein Erzeugendensystem und damit eine Basis
- ist jedes Erzeugendensystem, welches aus n Vektoren besteht, "automatisch" linear unabhängig und damit eine Basis.
Die lineare Unabhängigkeit von B' zeigst Du im zweiten Anlauf richtig, bis auf den ersten Äquivalenzpfeil, welcher lediglich ein Folgepfeil sein darf.
LG Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:21 So 01.05.2011 | | Autor: | mathetuV |
hallo könntes du mir bitte bei dieser aufageb erkläre wie ich das zeigen soll
muss morgen abgeben.
Seien die R-Vektorr¨aume V undW mit den Basen A = (v1, v2, v3, v4) bzw. B = (w1,w2,w3,w4,w5)
gegeben. Sei weiterhin F : V → W eine lineare Abbildung gegeben durch
gegebn ist eine abbildungsmatrix:
und
A'={v1,v2,v3,v4} und B'={w1,w2,w,3,w4}
und ich soll zeigen, dass, dass A eines Basis von V und B eine Basis von W ist, mit f:V->W,
Definiere A′ = (v′1, v′2, v′3, v′4) durch v′1 = v1 + v2, v′2 = v2 + v3, v3=v3+v4, v′4 = v4
und B′ = (w′1,w′2,w′3,w′4,w′5) durch w′1 = w1, w′2 = w1 + w2, w3=−w1+ w3, w′4 = w1 + w4, w′5 = w1 + w5.
(1) Zeigen Sie, dass A′ eine Basis von V und B′ eine Basis von W ist.
(2) Berechnen Sie MA′B (F), MAB′(F) und MA′B′ (F).
wie ist der denkanstoß,
ist es richtig die lineare unabhängigkeit der spalten zu zeigen, um aussagen über das bild treffen zu können?
es is rigtig?und was ist mir dem kern?
danke für eure hilfe
|
|
|
|
