Basis von Lin. Hülle < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:51 Mo 21.11.2011 | | Autor: | bammbamm |
| Aufgabe | Die Vektoren [mm] v_{1} [/mm] und [mm] v_{2} [/mm] bilden eine Basis von [mm] L(v_{1},v_{2},v_{3}). [/mm] Wahr oder Falsch ?
[mm] v_{1}=(3,0,3,6), v_{2}=(2,-1,1,2), v_{3}=(-1,1,0,0) [/mm] |
Hallo
Ich habe bereits in einer Teilaufgabe darüber gezeigt, dass [mm] v_{1} [/mm] und [mm] v_{2} [/mm] lin. unabhängig sind.
Eine Basis von [mm] L(v_{1},v_{2},v_{3}) [/mm] bilden die Vektoren [mm] v_{1},v_{2} [/mm] und [mm] v_{3} [/mm] ja genau dann, wenn alle drei lin. unabhängig sind ?!
Es heißt aber ob [mm] v_{1} [/mm] und [mm] v_{2} [/mm] eine Basis von [mm] L(v_{1},v_{2},v_{3}) [/mm] bilden ? Wie soll ich das verstehen ? Ist es automatisch keine Basis, weil eine Basis von [mm] L(v_{1},v_{2},v_{3}) [/mm] nur von 3 lin. unabhängigen Vektoren gebildet werden kann ?
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> Die Vektoren [mm]v_{1}[/mm] und [mm]v_{2}[/mm] bilden eine Basis von
> [mm]L(v_{1},v_{2},v_{3}).[/mm] Wahr oder Falsch ?
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> [mm]v_{1}=(3,0,3,6), v_{2}=(2,-1,1,2), v_{3}=(-1,1,0,0)[/mm]
> Hallo
>
> Ich habe bereits in einer Teilaufgabe darüber gezeigt,
> dass [mm]v_{1}[/mm] und [mm]v_{2}[/mm] lin. unabhängig sind.
Das ist ein guter Schritt
>
> Eine Basis von [mm]L(v_{1},v_{2},v_{3})[/mm] bilden die Vektoren
> [mm]v_{1},v_{2}[/mm] und [mm]v_{3}[/mm] ja genau dann, wenn alle drei lin.
> unabhängig sind ?!
Ja.
>
> Es heißt aber ob [mm]v_{1}[/mm] und [mm]v_{2}[/mm] eine Basis von
> [mm]L(v_{1},v_{2},v_{3})[/mm] bilden ? Wie soll ich das verstehen ?
Die Frage ist, ob du aus Linearkombinationen von [mm]v_1,v_2[/mm] alle Vektoren aus [mm]L(v_1,v_2,v_3)[/mm] darstellen kannst.
> Ist es automatisch keine Basis, weil eine Basis von
> [mm]L(v_{1},v_{2},v_{3})[/mm] nur von 3 lin. unabhängigen Vektoren
> gebildet werden kann ?
Nein.
Beispiel [mm]v_1=(1,0),v_2=v_3=(0,1)[/mm] in [mm]\IR[/mm]-Vektorräumen
[mm]V:=L(v_1,v_2,v_3)=IR^2[/mm] Eine Basis von [mm]V[/mm] kann hier auch aus 2 lin. unabh. Vektoren gebildet werden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:58 Mo 21.11.2011 | | Autor: | bammbamm |
Hallo,
Ich muss also einfach prüfen, ob v1,v2,v3 lin. unabhängig sind um aussagen zu können ob die Behauptung wahr oder falsch ist ?
Wenn ich dann allerdings mein LGS aufstelle und auflöse, erhalte ich:
b=c und b=-3*a (=c)
Also sind die Vektoren linear abhängig und es ist keine Basis ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:22 Mo 21.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> Ich muss also einfach prüfen, ob v1,v2,v3 lin. unabhängig
> sind um aussagen zu können ob die Behauptung wahr oder
> falsch ist ?
>
> Wenn ich dann allerdings mein LGS
Gehört das Dir ?
Welches LGS ? Warum schreibst Du es nicht hier rein ?
> aufstelle und auflöse,
> erhalte ich:
>
> b=c und b=-3*a (=c)
Meine Güte ! Was soll das ? Was sollen wir damit anfangen ? Was sind a,b,c ?
>
> Also sind die Vektoren linear abhängig und es ist keine
> Basis ?
Die Vektoren [mm] v_1,v_2 [/mm] und [mm] v_3 [/mm] sind linear abhängig. Damit ist die Dimension von [mm] L(v_1,v_2,v_3) \le [/mm] 2.
Die Vektoren [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] sind linear unabhängig. Damit ist die Dimension von [mm] L(v_1,v_2,v_3) \ge [/mm] 2.
Fazit: dim [mm] L(v_1,v_2,v_3) [/mm] = 2 und [mm] \{v_1,v_2 \} [/mm] ist eine Basis von [mm] L(v_1,v_2,v_3) [/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:48 Di 22.11.2011 | | Autor: | Chris161 |
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