Basis von Lin(v1,v2,v3,v4) < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:52 Mi 26.11.2008 | | Autor: | Parkan |
| Aufgabe | Fuer v1 = (1; 2; 3; 0), v2 = (-1; 0; 2; 3), v3 = (4; 6; 7;-3) und v4 = (3; 8; 14; 3):
Bestimmen Sie eine Basis von Lin(v1; v2; v3; v4). Geben Sie eine geometrische Interpretation
des Ergebnisses. |
Hallo
Ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter. Kann mir jemand einen Ansatz geben?
Gruß Nina
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:50 Mi 26.11.2008 | | Autor: | uniklu |
Hallo!
Du musst das "Gaussian elimination" (Gaußsches Eliminationsverfahren) anwenden.
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 0 \\ -1 & 0 & 2 & 3 \\ 4 & 6 & 7 & -3 \\ 3 & 8 & 14 & 3}
[/mm]
d.h. du versuchst durch elementare zeilenumformungen - zb. vielfache der 2ten zeile von der ersten abziehen etc. nur 1 in der Hauptdiagonaeln zu bekommen.
hier die fertige Lösung - du solltest versuchen selbst auf darauf zu kommen:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & -2 & -3 \\ 0 & 1 & 5/2 & 3/2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0}
[/mm]
was bedeutet das nun?
die zwei nullzeilen sagen dir, dass v3 und v4 linear abhängig waren, dh. sie waren linearkombinationen von v1 und v2.
die basis ist die kleinste menge der l.u. vektoren, die dein system erzeugen.
das bedeutet, dass du mit den zwei vektoren, die du direkt ablesen kannst, alle deine anderen vektoren erzeugen kannst.
diese zwei vektoren spannen also dein system auf.
v1 = (1; 2; 3; 0), v2 = (-1; 0; 2; 3), v3 = (4; 6; 7;-3) und v4 = (3; 8; 14; 3):
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