Basis von Vektoren < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:57 Di 22.11.2011 | | Autor: | Mathegirl |
| Aufgabe | [mm] (x_1,x_2,x_3)\in \IR^3
[/mm]
Die Basis ist: [mm] (v_1,v_2): v_1=(1,0,1) [/mm] und [mm] v_2=(0,1,0) [/mm] |
Könnt ihr mir erklären wie man auf diese Basis kommt? Das habe ich soeben in einem Buch gelesen aber ich versteh nicht wie man darauf kommt!
MfG
mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> [mm](x_1,x_2,x_3)\in \IR^3[/mm]
> Die Basis ist: [mm](v_1,v_2): v_1=(1,0,1)[/mm]
> und [mm]v_2=(0,1,0)[/mm]
> Könnt ihr mir erklären wie man auf diese Basis kommt?
> Das habe ich soeben in einem Buch gelesen aber ich versteh
> nicht wie man darauf kommt!
Weil das Blödsinn ist.
>
>
> MfG
> mathegirl
Grüße
ChopSuey
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Das ist die Lösung aus einem Mathebuch (Gerd Fischer!!)
MfG
Mathegirl
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Hallo,
> Das ist die Lösung aus einem Mathebuch (Gerd Fischer!!)
und die Aufgabe lautete, die Basis des $ [mm] \IR^3 [/mm] $ zu bestimmen, oder was?
>
> MfG
> Mathegirl
Grüße
ChopSuey
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Mein fehler, sorry, ich habe da was wichtiges vergessen. Natürlich muss es heißen:
[mm] {(x_1,x_2,x_3)\in \IR^3: x_1=x_3}
[/mm]
Die Aufgabe war: Gib eine Basis für den Vektorraum an.
Mathegirl
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> Mein fehler, sorry, ich habe da was wichtiges vergessen.
> Natürlich muss es heißen:
>
> [mm]\{(x_1,x_2,x_3)\in \IR^3: x_1=x_3\}[/mm]
Hallo,
nun, mit diesem "unbedeutenden" Detail bekommt die Aufgabe Sinn.
Kannst Du denn mal ein paar Vektoren sagen, die in dieser Menge sind?
Wie müssen die gemacht sein?
Gruß v. Angela
>
> Die Aufgabe war: Gib eine Basis für den Vektorraum an.
>
>
> Mathegirl
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:36 Fr 25.11.2011 | | Autor: | davux |
Hallo,
ich hatte vorhin schonmal angesetzt, hier eine Antwort zu verfassen, aber dann wieder abgebrochen. Grund genug für einen neuen Ansatz.
Also was ziemlich klar ist, behaupte ich mal, dass durch die Einschränkung [mm] $x_1=x_3$ [/mm] zwei Basisvektoren das minimale Erzeugendensystem bilden. Es gibt kein Spielraum für weitere Kombinationen der trivialen Basisvektoren, behaupte ich mal etwas salopp, d.h. es ergeben sich nur zwei Möglichkeiten, welche Komponenten 0 und welche 1 sein können, wenn man sich an die Standardbasis hält, was ja in diesem Fall naheliegt. Es geht aber auch mit allen erdenklichen Vielfachen, solange die Einschränkung, die erste und dritte Komponente der Vektoren ist gleich, eingehalten wird. Folglich könnte man auch eine Basis wie [mm] $v_1=(-7,42,-7)$ [/mm] und [mm] $v_2=(25,5,25)$ [/mm] raten, oder?
Soweit meine Interpretation.
Bei den Vektoren, die in diesem Fall erzeugt werden können, handelt es sich aus Sicht der Basis um alle Vektoren, die mit den Basisvektoren erzeugt werden können. Dabei greift man auf die Linearkombination zurück. Es müsste dann etwa so aussehen:
[mm] v=\lambda_1 v_1+\lambda_2 v_2 [/mm] mit [mm] \lambda_1,\lambda_2\in\IR
[/mm]
Also alle Vektoren lassen sich in dieser Form schreiben. Da es sich um zwei linear unabhängige Vektoren [mm] v_1, v_2 [/mm] handelt, die den Vektorraum aufspannen, handelt es sich bei diesem um eine Ebene. Alle v in diesem Vektorraum liegen also in der Ebene, die durch [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] aufgespannt wird. Die Ebene beginnt im Ursprung, vorstellbar als ein Parallelogramm, solange man sich nur auf die Darstellung von [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] bezieht. Darüberhinaus ist der aufgespannte Vektorraum für ein reelles vielfaches von [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] definiert.
#1: Ich habe es doch mal in eine Frage umgewandelt.
Gruß,
Dave
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:38 Fr 25.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo Dave
was du sagst ist alles nicht falsch.
aber du sagst es so wortreich, dass es mühsam zu lesen ist.
Du hast recht: x1=x3 ist eine ebene durch 0 also ein 2d Unterraum von [mm] \IR^3
[/mm]
jetz kann man 2 bel. lin. unabh. Vektoren in der ebene nehmen. nimmt aber die einfachsten. (dann muss man di lin Unabh. nicht mehr beweisen.
der einfachste ist auf der x2-Achse also [mm] v1=(0,1,0)^T [/mm] dann den dazu senkrechten (1,0,1) der offensichtlich x1=x3 erfüllt. fertig.
jetzt hab ich auch schon zuviele Worte verloren.
einfach v1 und v2 hinschreiben und zeigen, dass a*v1+b*v2=(b,a,b) alle gesuchten vektoren erzeugt.
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:52 Sa 26.11.2011 | | Autor: | davux |
Ja, erstmal ist es schwer jemanden zu finden mit dem man reden kann, dann ist es schwer sich kurz zu fassen, je nachdem wieviele Definitionen man gebrauchen könnte. Die Frage war ja, was in der Menge für Vektoren enthalten sind. Ich habe das ganze etwas von hinten aufgezäumt, oder ist es richtiger es von der Basis her zu erklären, auch wenn es nicht so ganz der Aufgabe entspricht?
Wenn ich die Menge so sehe, dann würde ich doch sagen, es sind Vektoren enthalten bei denen die erste und dritte Komponente gleich ist. Dann gibt es darin Vektoren, die sich zum einen nur um die zweite Komponente unterscheiden, und es gibt Vektoren, die sich nur um die erste, also auch der dritten, Komponenten unterscheiden.
Gut, also im Grunde ist das nun beinahe schon eins, und ob man sich nun von der Basis her näher und über die Vektoren etwas aussagt, oder man nähert sich von der Menge aus der Ausgabenstellung her, um sich ein Bild von den Vektoren zu machen, ist ziemlich gleichwertig.
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| Aufgabe | [mm] {(x_1,x_2,x_3,x_4)\in \IR^4: x_1+3x_2+2x_4=0 ; 2x_1+x_2+x_3=0}
[/mm]
Ich weiß, dass die Basis hierfür wie folgt aussehen muss:
[mm] v_1=(3,-1,-5,0)
[/mm]
[mm] v_2=(-1,1,1,-1) [/mm] |
Könnt ihr mir vielleicht an dem Beispiel nochmal erklären, wie man dieser Basis bestimmt? Bzw. wie man allgemein vorgeht um eine Basis zu bestimmen?
Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> [mm]{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in \IR^4: x_1+3x_2+2x_4=0 ; 2x_1+x_2+x_3=0}[/mm]
>
> Ich weiß, dass die Basis hierfür wie folgt aussehen
> muss:
> [mm]v_1=(3,-1,-5,0)[/mm]
> [mm]v_2=(-1,1,1,-1)[/mm]
>
> Könnt ihr mir vielleicht an dem Beispiel nochmal
> erklären, wie man dieser Basis bestimmt? Bzw. wie man
> allgemein vorgeht um eine Basis zu bestimmen?
>
Löse das Gleichungssystem
[mm]x_{1}+3*x_{3}+2*x_{4}=0[/mm]
[mm]2*x_{1}+x_{2}+x_{3}=0[/mm]
Dann kommt wahrscheinlich nicht die Basis heraus,
die oben steht.
Diese oben genannten Vektoren bilden trotzdem eine Basis,
da sie aus Linearkombinationen der vorigen Basis (die Basis,
die aus dem Gleichungssytem stammt) bestehen, und diese
darüber hinaus linear unabhängig sind.
> Mathegirl
Gruss
MathePower
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Ich erhalte für das Gleichungssystem keine Lösung, auch nicht wenn ich es mit einem Programm kontrolliere.
Ich erhalte immer die Meldung "keine Lösung"
Wie genau kommt man denn auf die vorgegebene Lösung die ich angegeben habe?
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:21 So 27.11.2011 | | Autor: | hippias |
Keine Loesung ist unmoeglich: Das Gleichungssystem besitzt wenigstens die Loesung $x=0$! Versuche es mit dem Gauss-Verfahren.
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Damit hab ich es ja versucht!
Aber ich kriege keine Lösung heraus!
und alle x=0 ist ja auch nicht die Lösung die hier herauskommen soll!
Mathegirl
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Hallo,
Du suchst eine Basis von L:= [mm] \{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in \IR^4: x_1+3x_2+2x_4=0 ; 2x_1+x_2+x_3=0\}.
[/mm]
In L sind all die Vektoren [mm] x=\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}, [/mm] für deren Einträge gilt [mm] x_1+3x_2+2x_4=0 [/mm] und [mm] 2x_1+x_2+x_3=0.
[/mm]
Um diese Lösungen zu finden, bring erstmal die Koeffizientenmatrix des GSs auf ZSF.
Dann kann man Dir zeigen, wie es weitergeht.
Gruß v. Angela
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DA fängt das Problem schon an!
2 Gleichungen mit 4 Variablen auf zeilenstufenform bringen?
Daran scheitere ich leider.
Oder habe ich das falsch verstanden?
Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> DA fängt das Problem schon an!
> 2 Gleichungen mit 4 Variablen auf zeilenstufenform
> bringen?
> Daran scheitere ich leider.
>
Dann poste doch Deine bisherigen Rechenschritte.
> Oder habe ich das falsch verstanden?
>
Nein, das hast Du schon richtig verstanden.
>
> Mathegirl
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:39 So 27.11.2011 | | Autor: | hippias |
Natuerlich ist $0$ keine fuer uns interessante Loesung, aber die beiden Vektoren [mm] $v_{1}$ [/mm] und [mm] $v_{2}$, [/mm] die Du doch schon als Loesung kennst, liefern doch zwei nicht triviale Loesungen. Das kann doch nur heissen, dass Du Dich irgendwo verrechnet hast. Also versuche es nocheinmal oder zeige einmal Deine Rechnung.
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Aber diese [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] sind doch aus Aufgabenteil a) kann ich die bei b so einfach nutzen?
Mathegirl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:04 So 27.11.2011 | | Autor: | hippias |
Vergiss, was ich ueber Loesungen gesagt habe, es ist nicht wichtig; es hat mich nur erstaunt, dass sich keine Loesung ergeben haben soll. Hast Du schon etwas zur Stufenform?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:49 So 27.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. Aufgabe 2 hat mit 1 nichts zu tun.
2. du hast auch schon mal in nem anderen thread gezeigt, dass du das mit Lösung missverstehst. offensichtlich betrachtest du als "Lösung" nur, wenn du für je der unbekannten eine Zahl raus kriegst. es gibt auch GS die unendlich viele lösungen haben. ein eifaches Beispiel:
x1+x2=0 hat die Lösungsmenge [mm] r*\vektor{1\\-1}
[/mm]
x1+x2+x3=0 hat die Lösungsmenge x1=r,x2=s x3=-(r+s)
r,s beliebige reelle zahlen!
Gruss leduart
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 09:38 Mo 28.11.2011 | | Autor: | Mathegirl |
Das verstehe ich ja, aber wie komme ich auf die Basis die in dem Buch angeben war? Bzw ich habe immernoch nicht verstanden, wie ich eine Basis richtig bilde.
Ich habe es leider nicht hinbekommen das LGS zu lösen...:(
Mathegirl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:10 Mo 28.11.2011 | | Autor: | hippias |
Nenne mir doch biite die Koeffizientenmatrix des LGS. Danach loesen wir es und ermittlen eine Basis.
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okay, die Koeffizientenmatrix ist dann:
[mm] \pmat{ 1 & 3 & 0 & 4 & 0 \\ 2 & 1 & 1 & 0 & 0}
[/mm]
Das problem ist, ich weiß nicht das genaue Vorgehen wie man eine Basis ermittelt.
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:27 Mo 28.11.2011 | | Autor: | hippias |
> [mm]\pmat{ 1 & 3 & 0 & 4 & 0 \\ 2 & 1 & 1 & 0 & 0}[/mm]
>
> Das problem ist, ich weiß nicht das genaue Vorgehen wie
> man eine Basis ermittelt.
>
> Mathegirl
Jetzt bringt man die Matrix zuerst in Stufenform, d.h man versucht so gut es geht die Koeffizientenmatrix in eine Einheitsmatrix umzuwandeln; wenn man das hat, wird sich die Basis leicht bestimmen lassen.
Zur Bestimmung der Stufenform benutzt man das Gauss-Verfahren: Hier schlage ich vor, dass Du das doppelte der ersten Zeile von der zweiten Zeile abziehst. Danach addierst Du das [mm] $\frac{3}{5}$-fache [/mm] der neuen zweiten Zeile zur ersten Zeile. Was erhaeltst Du?
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wenn ich mich nicht verrechnet habe erhalte ich:
[mm] \pmat{ 1 & 3 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & \bruch{3}{5} & -\bruch{4}{5} & 0}
[/mm]
dann ist [mm] x_4=\bruch{4}{3} [/mm] oder?
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:43 Mo 28.11.2011 | | Autor: | hippias |
> wenn ich mich nicht verrechnet habe erhalte ich:
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> [mm]\pmat{ 1 & 3 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & \bruch{3}{5} & -\bruch{4}{5} & 0}[/mm]
>
> dann ist [mm]x_4=\bruch{4}{3}[/mm] oder?
>
> Mathegirl
Du hast Dich verrechnet.
1. Das doppelte der ersten Zeile von der zweiten Zeile abziehen.
2. Danach addierst Du das $ [mm] \frac{3}{5} [/mm] $-fache der neuen zweiten Zeile zur ersten Zeile. Was erhaeltst Du?
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