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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:32 Di 22.11.2011 | | Autor: | Trivial_ |
| Aufgabe | sei [mm] (b_{1},b_{2},...,b_{n}) [/mm] eine Basis eines Vektorraumes V. Beschreibe alle Vektoren x [mm] \in [/mm] V derart, dass jede der Familien [mm] (x,b_{2},...,b_{n}),(b_{1},x,...,b_{n}),...,(b_{1},...,b_{n-1},x) [/mm] eine Basis von V ist.
Anleitung: Stelle x als Linearkombination der Basis [mm] (b_{1},...,b_{n}) [/mm] dar. |
reicht es wenn ich x= [mm] \summe_{i=1}^{n} x_{i} b_{i} [/mm] schreibe??
lg
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> sei [mm](b_{1},b_{2},...,b_{n})[/mm] eine Basis eines Vektorraumes
> V. Beschreibe alle Vektoren x [mm]\in[/mm] V derart, dass jede der
> Familien
> [mm](x,b_{2},...,b_{n}),(b_{1},x,...,b_{n}),...,(b_{1},...,b_{n-1},x)[/mm]
> eine Basis von V ist.
> Anleitung: Stelle x als Linearkombination der Basis
> [mm](b_{1},...,b_{n})[/mm] dar.
> reicht es wenn ich x= [mm]\summe_{i=1}^{n} x_{i} b_{i}[/mm]
> schreibe??
> lg
>
moin Trivial,
Das reicht nicht ganz...
Es könnte dann etwa [mm] $x=b_1$ [/mm] sein, dann wäre deine zweite Familie keine Basis.
Der Ansatz ist schonmal gut, aber du musst noch ein wenig einschränken, ein paar Bedingungen an dein x stellen, damit es klappt.
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:06 Di 22.11.2011 | | Autor: | Trivial_ |
hallo schadow,
hast du vl ein paar tipps welche bedingungen das sein könnten?? :)))
lg
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Hmm, ein Tipp hast du schon im vorherigen Post, es könnte etwa $x = [mm] b_i$ [/mm] sein für ein gewisses i, das ist zu verhindern.
Wenn du eine Basis hast, dann kannst du damit alle Vektoren deines Vektorraums darstellen.
Ist also [mm] $(b_1,b_2,\cdots,b_{i-1},x,b_{i+1},\cdots,b_n)$ [/mm] eine Basis, so musst du alle Vektoren aus deinem Vektorraum damit darstellen können; insbesondere musst du auch [mm] $b_i$ [/mm] darstellen können.
Mache dir am besten an ein paar Beispielen klar, welche Form x haben muss, damit du in jedem der Fälle das entsprechende [mm] $b_i$ [/mm] darstellen kannst.
Ein bisschen rumspielen mit der Standardbasis im [mm] $\IR^3$ [/mm] dürfte reichen um herauszufinden, was x erfüllen muss.
Wenn du das erstmal weißt ist es nicht mehr so schwer das auch zu beweisen.
lg
Schadow
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:58 Di 22.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
nimm für die basis mal die Standardbasis . wie kannst du x nur wählen, wenn du JEDES [mm] b_i [/mm] durch x ersetzen kannst?
du weisst
[mm] a_k*x+\summe_{i=1,i\nek}^{n}\alpha_ib_i=0 [/mm] nur für alle [mm] \alpha_i=0 [/mm] und [mm] a_i=0
[/mm]
oder du kannst [mm] b_i [/mm] als Linearkombination aller restlichen [mm] b_k [/mm] und x darstellen
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:20 Mi 23.11.2011 | | Autor: | Trivial_ |
ich kann x durch 1 ersetzen und x=1 kann dann wandern??!!
oder bin ich da jetzt vom weg abgekommen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:53 Mi 23.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
x ist doch ein fester Vektor? was meinst du damit x=1
welchen vektor x kannst du zu b1=(1,0,0,,0), b2=(0,1,0,0) b3=(0,0,1,0); b4=(0,0,0,1) hinzufügen so dass du jeden der 4 nacheinander ersetzen kannst und es noch immer ne Basis ist?
stell b1 durch x und b2,b3,b4 dar, dann dasselbe x und stell b2 durch x,b1,b3,b4 dar usw!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:29 Mi 23.11.2011 | | Autor: | Trivial_ |
jetzt stehe ich absolut auf der leitung ich finde einfach keine lösung... :(
ich bin am verzweifeln
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Hallo,
ich kann dem Verlauf des Threads nicht entnehmen, was Du bisher probiert hast.
Du mußt, wenn Du nicht gleich eine zündende Idee hast, ein bißchen experimentieren, wie vorgeschlagen am besten mit ganz konkreten Beispielen.
Geh in den [mm] \IR^2. (b_1:=\vektor{1\\0}, b_2=\vektor{0\\1}) [/mm] ist eine Basis.
Nun sag doch mal einen Vektor x, so daß sowohl [mm] (x,b_2) [/mm] als auch [mm] (b_1,x) [/mm] eine Basis sind.
Dann dasselbe Spielchen mit [mm] \IR^3...
[/mm]
Diese konkrete Aufgabe solltest Du bewältigen können.
Gruß v. Angela
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