Basis von ZR, Ker und Im < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei A die Matrix und sei x der Spaltenvektor
A= [mm] \pmat{ 1 & 2 & -2 & 1 & -1 \\ 2 & 4 & -3 & 2 & -1 \\ 3 & 6 & -4 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & -3 & 1 &-3 }; [/mm] x= [mm] \pmat{ x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \\ x_{5}}.
[/mm]
Sei [mm] L:\IR^{5} \to \IR^{4} [/mm] die lineare Abbildung L(x) = A*x. Finden Sie Basen für ZR(A), Ker(L) und Im(L). |
Also habe ich bei der Aufgabe mit ZR(A) angefangen:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & -2 & 1 & -1 \\ 2 & 4 & -3 & 2 & -1 \\ 3 & 6 & -4 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & -3 & 1 &-3 } [/mm] ~~> [mm] \pmat{ 1 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 }
[/mm]
Daraus würde folgen, dass dies die Basenvektoren wären: (1,2,0,1,0), (0,0,1,0,0), (0,0,0,0,1).
Dann würde ich zu den Basen des Kerns übergehen. Dazu habe ich mir im Internet ein paar Videos und Beispiele angeguckt und anhand von denen so weiter gemacht:
[mm] Kern(L)=Kern(A)=\{v\inV\|Av=0\}
[/mm]
[mm] v_{1}+2v_{2}+v_{4}=0
[/mm]
[mm] v_{3}=0 [/mm] und [mm] v_{5}=0
[/mm]
Da [mm] v_{2} [/mm] und [mm] v_{4} [/mm] freie Variablen sind, darf man beliebig für sie wählen: [mm] v_{2}=v_{4}=1, [/mm] also erhält man
[mm] Kern(L)=\pmat{ -3 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 }.
[/mm]
Dies wäre dann auch gleichzeitig die Basis des Kerns, denn da der Kern nur aus einem Vektor besteht ist der auch linear unabhängig.
Hier bin ich mir jedoch unsicher, ob man den Kern wirklich so bestimmen darf bzw. die freien Variablen einfach wählen darf. Kann mir dabei jemand helfen?
Beim Bild habe ich weniger im Internet gefunden, und das hat mir alles nicht wirklich geholfen.
Nachdem was ich gefunden habe, wäre
Im(A)= [mm] \{\pmat{ 1 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \\ 0}, \pmat{ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0}, \pmat{ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 }\}.
[/mm]
Und dann wären die Vektoren die Basis vom Bild, die linear unabhängig zueinander sind, doch das sind irgendwie doch alle, oder?
Kann mir jemand erklären wie ich die Basis vom Kern und insbesondere die Basis vom Bild bestimme.
Liebe Grüße und ein Danke im Vorraus Jana.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:37 Fr 06.12.2013 | | Autor: | phychem |
Hallo
Zur Basis des Kerns:
Ja, zur Bestimmung einer Basis des Kerns muss man das LGS
A*x=0
lösen. Die Lösungsmenge dieses LGS entspricht ja dem Kern. Eine Basis erhält man nun, indem man jeweils eine der freien Variablen gleich 1 und die anderen gleich Null setzt. Hast du also zwei freie Variablen, hat der Kern die Dimension 2, d.h. du solltest eine Basis mit zwei Mitgliedern erhalten (den ersten erhälst du, indem du die erste freie Variabel 1 und die andere 0 setzt, die zweite indem du die erste f.V 0 und die zweite f.V 1 setzt).
Zur Basis des Zeilenraums:
Da der Zeilenraum bei elementaren Zeilenumformungen ja erhalten bleibt, kannst du eine Basis bestimmen, indem du die Matrix durch elementare Zeilenumformungen (keine Spaltenumformungen! also nicht etwa Spalten vertauschen) auf Zeilenstufenform bringst: Bei den nicht-leeren Zeilen handelt es sich dann um eine Basis des ZR. Hab das jetzt nicht nachgerechnet, aber das scheinst du richtig gemacht zu haben.
Zur Basis des Bilds:
Entscheidend ist zu verstehen, dass es sich beim Bild um den Spaltenraum handelt. Eine einfache Möglichkeit um eine Basis des Bilds zu bestimmen, ist deshalb die Überführung der Matrix durch elementare Spaltenumformungen auf Spaltenstufenform (keine Zeilenumformungen!). Oder was aus Gewohnheit meist angenehmer ist: Die Transponierte durch elementare Zeilenumformungen auf Zeilenstufenform bringen. Bei den nicht-leeren Spalten bzw. (im Fall der Transponierten) Zeilen handelt es sich dann um die gesuchten Basisvektoren.
PS: Eine andere (nicht ganz so intuitive) Möglichkeit um eine Basis des Bilds zu bestimmen: Man bringt die Matrix durch elementare Zeilenumformungen auf Zeilenstufenform. Betrachte nun diejenige Spalten, die ein Pivotelement enthalten: All jene Spalten der ursprünglichen (!) Matrix, die durch die Zeilenumformungen zu Pivotspalten wurden, bilden eine Basis des Spaltenraums bzw. des Bilds. Das ist ein ganz angenehmer Trick, vorallem, wenn man die Matrix bereits schon in einer anderen Teilaufgabe auf Zeilenstufenform gebracht hat und nicht auch noch die Transponierte auf Zeilenstufenform bringen möchte.
Gruss
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