Basis von einem Raum?! < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:41 So 08.05.2005 | | Autor: | Max80 |
Hi @all.
Ich habe hier folgende Aufgabe und zwei kleine Fragen dazu :) :
Es sei V=IR3 .
Untersuche, ob die Vektoren a(1|3|2), b(2|1|4) und c(-2|1,5|-4) eine Basis von V bilden.
Nun Frage ich mich, was mit Basis genau gemeint ist. Es muss was mit linearer Abhängigkeit zu tun haben, weil es auf der selben Seite ist, jedoch weiss ich nicht was man nun genau berechnen soll.
Meine erste Überlegung war es, wie bisher einfache zu berechnen ob die linear abhängig sind. Also a=k*b+r*c
Nun ist es doch so, wenn für k und r eindeutige Lösungen vorhanden sind, sind die linear Abhängig. Wenn sie sich wiedersprechen, dann nicht. Was ist aber wenn ich 0 raus bekomme? Und wenn ich jetzt weiss ob die linear Abhängig sind, was nützt mir das bezüglich der Aufgabenstellung?? :)
danke für eure hilfe!!!
gruß
bunti
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:09 So 08.05.2005 | | Autor: | Oliver |
Hallo Bunti,
> Nun Frage ich mich, was mit Basis genau gemeint ist. Es
Eine Basis ist eine linear unabhängige Menge von Vektoren, die den gesamten Raum "aufspannt", d.h. Du kannst jeden Punkt im Raum als Linearkombination Deiner Basisvektoren darstellen, die Basisvektoren selbst lassen sich jedoch nicht als Linearkombination der übrigen Basisvektoren darstellen.
Allgemein besteht eine Basis eines n-dimensionalen Raumes aus n Vektoren, in Deinem Fall 3.
Wenn Du mehr hast, kannst Du sicher sein, dass sie untereinander linear abhängig sind.
Wenn Du weniger hast, können Sie nicht den gesamten Raum aufspannen. Du findest dann immer einen Vektor, der zu Deiner (potentiellen) "Basis" linear unabhängig ist und sich damit nicht mit Deinen "Basisvektoren" darstellen lässt.
Wenn Du genau 3 Vektoren hast - wie in Deiner Aufgabe - bleibt lediglich die lineare Abhängigkeit zu prüfen.
> Meine erste Überlegung war es, wie bisher einfache zu
> berechnen ob die linear abhängig sind. Also a=k*b+r*c
Genau.
> Nun ist es doch so, wenn für k und r eindeutige Lösungen
> vorhanden sind, sind die linear Abhängig. Wenn sie sich
> wiedersprechen, dann nicht. Was ist aber wenn ich 0 raus
> bekomme?
Du meinst für einen der beiden Werte k und r? Dann ist das doch auch eine eindeutige Lösung. Oder meinst Du für k und r? Dann wäre ja c der Nullvektor und kann schon per se kein Basisvektor sein.
Viele Grüße
Oliver
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