Basis von kern bestimmen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:45 Mo 02.05.2011 | | Autor: | Loriot95 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie mit Hilfe des Gaußschen Algorithmus eine Basis von [mm] Kern(f_{A}), f_{A}: \IR^{5} \to \IR^{4}, [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] Ax mit
A= [mm] \pmat{ 2 & 5 & 10 & 8 & 8 \\ 1 & 3 & 7 & 4 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & 1 & 4 & 0 & -2 } [/mm] |
Guten Morgen,
ich bräuchte eure Hilfe. Um eine Basis von [mm] Kern(f_{A}) [/mm] zu bestimmen, habe ich zunächst Ax = 0 gesetzt. Und somit A auf reduzierte Zeilenstufenform gebracht. Das Ergebnis sieht wie folgt aus:
rZSF(A) = [mm] \pmat{ 1 & 0 & -5 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 4 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 } [/mm] (hoffe es stimmt). Dann bleibt nur noch die folgende Gleichung übrig: [mm] x_{1} [/mm] + [mm] 24x_{3} -11x_{4} [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow x_{1}+24x_{3} [/mm] = [mm] 11x_{4}. Kern(f_{A}) [/mm] hängt also nur von zwei Variablen ab, d.h [mm] dim(Kern(f_{A}) [/mm] = 2. Setze [mm] x_{1} [/mm] = 1 und [mm] x_{3} [/mm] = 0. So erhalte ich den Vektor [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ \bruch{1}{11} \\ 0}. [/mm] Für [mm] x_{1} [/mm] = 0 und [mm] x_{3} [/mm] = 1 erhalte ich [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ \bruch{24}{11} \\ 0}. [/mm] Somit ist B = [mm] \{ \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ \bruch{1}{11} \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ \bruch{24}{11} \\ 0} \} [/mm] eine Basis von [mm] Kern(f_{A}). [/mm] Ist das so richtig?
LG Loriot95
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:11 Mo 02.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie mit Hilfe des Gaußschen Algorithmus eine
> Basis von [mm]Kern(f_{A}), f_{A}: \IR^{5} \to \IR^{4},[/mm] x
> [mm]\mapsto[/mm] Ax mit
>
> A= [mm]\pmat{ 2 & 5 & 10 & 8 & 8 \\ 1 & 3 & 7 & 4 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & 1 & 4 & 0 & -2 }[/mm]
>
> Guten Morgen,
>
> ich bräuchte eure Hilfe. Um eine Basis von [mm]Kern(f_{A})[/mm] zu
> bestimmen, habe ich zunächst Ax = 0 gesetzt. Und somit A
> auf reduzierte Zeilenstufenform gebracht. Das Ergebnis
> sieht wie folgt aus:
>
> rZSF(A) = [mm]\pmat{ 1 & 0 & -5 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 4 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
> (hoffe es stimmt).
Nicht ganz: oben rechts sollte eine 9 stehen, statt einer 1
> Dann bleibt nur noch die folgende
> Gleichung übrig: [mm]x_{1}[/mm] + [mm]24x_{3} -11x_{4}[/mm] = 0 [mm]\Rightarrow x_{1}+24x_{3}[/mm]
> = [mm]11x_{4}.
> Kern(f_{A})[/mm] hängt also nur von zwei Variablen
> ab,
Wie kommst Du darauf ??
FRED
> d.h [mm]dim(Kern(f_{A})[/mm] = 2. Setze [mm]x_{1}[/mm] = 1 und [mm]x_{3}[/mm] =
> 0. So erhalte ich den Vektor [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ \bruch{1}{11} \\ 0}.[/mm]
> Für [mm]x_{1}[/mm] = 0 und [mm]x_{3}[/mm] = 1 erhalte ich [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ \bruch{24}{11} \\ 0}.[/mm]
> Somit ist B = [mm]\{ \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ \bruch{1}{11} \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ \bruch{24}{11} \\ 0} \}[/mm]
> eine Basis von [mm]Kern(f_{A}).[/mm] Ist das so richtig?
>
> LG Loriot95
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:38 Mo 02.05.2011 | | Autor: | Loriot95 |
> > Bestimmen Sie mit Hilfe des Gaußschen Algorithmus eine
> > Basis von [mm]Kern(f_{A}), f_{A}: \IR^{5} \to \IR^{4},[/mm] x
> > [mm]\mapsto[/mm] Ax mit
> >
> > A= [mm]\pmat{ 2 & 5 & 10 & 8 & 8 \\ 1 & 3 & 7 & 4 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & 1 & 4 & 0 & -2 }[/mm]
>
> >
> > Guten Morgen,
> >
> > ich bräuchte eure Hilfe. Um eine Basis von [mm]Kern(f_{A})[/mm] zu
> > bestimmen, habe ich zunächst Ax = 0 gesetzt. Und somit A
> > auf reduzierte Zeilenstufenform gebracht. Das Ergebnis
> > sieht wie folgt aus:
> >
> > rZSF(A) = [mm]\pmat{ 1 & 0 & -5 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 4 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
> > (hoffe es stimmt).
>
>
> Nicht ganz: oben rechts sollte eine 9 stehen, statt einer
> 1
Danke habs noch mal neu berechnet. Nun stimmt es.
> > Dann bleibt nur noch die folgende
> > Gleichung übrig: [mm]x_{1}[/mm] + [mm]24x_{3} -11x_{4}[/mm] = 0 [mm]\Rightarrow x_{1}+24x_{3}[/mm]
> > = [mm]11x_{4}.
> Kern(f_{A})[/mm] hängt also nur von zwei
> Variablen
> > ab,
>
>
>
>
>
>
> Wie kommst Du darauf ??
Hab da Blödsinn gemacht. Nach rZSF(A) bleiben zwei Gleichungen übrig.
[mm] x_{1}-5x_{3}+4x_{4}+9x_{5} [/mm] = 0 und [mm] x_{2}+4x_{3}-2x_{5} [/mm] = 0. Multipliziere ich die erste Gleichung mit 4 und die zweite mit 5 und addiere beide, so er halte ich: [mm] x_{1}+\bruch{5}{4}x_{2}+4x_{4}+6\bruch{1}{2}x_{5} [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow x_{1} [/mm] = [mm] -\bruch{5}{4}x_{2}-4x_{4}-6 \bruch{1}{2}x_{5}. [/mm] Setze ich nun für [mm] x_{2}, x_{4}, x_{5} [/mm] jeweils eine 1 ein und die anderen beiden gleich 0, so erhalte ich als Basis:
B = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}, \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
> FRED
>
>
> > d.h [mm]dim(Kern(f_{A})[/mm] = 2. Setze [mm]x_{1}[/mm] = 1 und [mm]x_{3}[/mm] =
> > 0. So erhalte ich den Vektor [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ \bruch{1}{11} \\ 0}.[/mm]
> > Für [mm]x_{1}[/mm] = 0 und [mm]x_{3}[/mm] = 1 erhalte ich [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ \bruch{24}{11} \\ 0}.[/mm]
> > Somit ist B = [mm]\{ \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ \bruch{1}{11} \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ \bruch{24}{11} \\ 0} \}[/mm]
> > eine Basis von [mm]Kern(f_{A}).[/mm] Ist das so richtig?
> >
> > LG Loriot95
>
Hoffe so stimmt es nun.
LG Loriot95
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Hallo Loriot95,
> Hab da Blödsinn gemacht. Nach rZSF(A) bleiben zwei
> Gleichungen übrig.
> [mm]x_{1}-5x_{3}+4x_{4}+9x_{5}[/mm] = 0 und [mm]x_{2}+4x_{3}-2x_{5}[/mm] =
> 0. Multipliziere ich die erste Gleichung mit 4 und die
> zweite mit 5 und addiere beide, so er halte ich:
> [mm]x_{1}+\bruch{5}{4}x_{2}+4x_{4}+6\bruch{1}{2}x_{5}[/mm] = 0
> [mm]\Rightarrow x_{1}[/mm] = [mm]-\bruch{5}{4}x_{2}-4x_{4}-6 \bruch{1}{2}x_{5}.[/mm]
> Setze ich nun für [mm]x_{2}, x_{4}, x_{5}[/mm] jeweils eine 1 ein
> und die anderen beiden gleich 0, so erhalte ich als Basis:
>
> B = [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}, \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>
Nein, das ist keine Basis des Kerns.
> Hoffe so stimmt es nun.
>
> LG Loriot95
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:18 Mo 02.05.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Ich frage mal ganz blöd. Weshalb denn nicht? Habe ich mich verrechnet? Stimmt meine vorgehensweise überhaupt?
LG Loriot95
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Hallo Loriot95,
> Ich frage mal ganz blöd. Weshalb denn nicht? Habe ich mich
Weil kein Element Deiner Basis nicht im Kern liegt.
> verrechnet? Stimmt meine vorgehensweise überhaupt?
Vorgehensweise ist ok.
Bei der Ausführung ist Dir ein Fehler unterlaufen.
Wenn Du [mm]x_{2}=1, \ x_{4}=0, \ x_{5}=0[/mm] setzt,
so haben [mm]x_{1}[/mm] und [mm]x_{3}[/mm] einen von Null verschiedenen Wert.
>
> LG Loriot95
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:55 Mo 02.05.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Ok. Danke. Habe nun folgendes raus: B = [mm] \vektor{-\bruch{5}{4} \\ 1 \\ -\bruch{1}{4} \\ 0 \\ 0 }, \vektor{-4 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 }, \vektor{-6\bruch{1}{2} \\ 0 \\ \bruch{1}{2} \\ 0 \\ 1 } [/mm] . Wenn das nun wieder nicht stimmt poste ich mal detailliert meine Rechnung.
LG Loriot95
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Hallo Loriot95,
> Ok. Danke. Habe nun folgendes raus: B =
> [mm]\vektor{-\bruch{5}{4} \\ 1 \\ -\bruch{1}{4} \\ 0 \\ 0 }, \vektor{-4 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 }, \vektor{-6\bruch{1}{2} \\ 0 \\ \bruch{1}{2} \\ 0 \\ 1 }[/mm]
> . Wenn das nun wieder nicht stimmt poste ich mal
> detailliert meine Rechnung.
Die Basis ist richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> LG Loriot95
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:30 Mo 02.05.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Dann vielen Dank für deine Hilfe :)
LG Loriot95
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