Basis zu Eigenraum < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:23 Sa 19.07.2008 | | Autor: | x2mirko |
| Aufgabe | A = [mm] \pmat{ -3 & -2 & 4 \\ 5 & 4 & a \\ 0 & 0 & 2}
[/mm]
Berechnen sie zu jedem Eigenwert von A die Dimension und eine Basis des zugehörigen Eigenraums. |
Soweit die Aufgabe. Ich bin gerade dabei, mich auf die Klausur vorzubereiten und ich hänge gerade in dieser Aufgabe einer alten Klausur fest. Mein Ansatz sieht wie folgt aus:
Zunächst mal sind die Eigenwerte [mm] \lambda_{1} [/mm] = 2 und [mm] \lambda_{2} [/mm] = -1
also setze ich ein in (A - [mm] \lambda [/mm] * E) * x = 0 :
[mm] \pmat{ -5 & -2 & 4 \\ 5 & 2 & a \\ 0 & 0 & 0} [/mm] = 0
Indem ich Zeile 1 zu Zeile 2 addiere erhalte ich:
[mm] \pmat{ -5 & -2 & 4 \\ 0 & 0 & a + 4 \\ 0 & 0 & 0} [/mm] = 0
Und jetzt wirds etwas schwierig. Klar ist, dass ich eine Fallunterscheidung für a brauche (a = -4 / a [mm] \not= [/mm] -4). Die Dimensionen sind auch noch klar: für a = -4 ist der Rang der Matrix 1 und damit kann die Dimension auch nur 1 sein. Für a [mm] \not= [/mm] -4 ist Rang = 2 und damit die Dimension 2.
Aber weiter steh ich aufm Schlauch. Ich weiß, dass ich eigentlich das schwerste geschafft hab und der rest eigentlich total einfach ist, aber ich komm grade echt nicht weiter. Blackout. Würde mich also über Hilfe freuen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Mirko,
> A = [mm]\pmat{ -3 & -2 & 4 \\ 5 & 4 & a \\ 0 & 0 & 2}[/mm]
>
> Berechnen sie zu jedem Eigenwert von A die Dimension und
> eine Basis des zugehörigen Eigenraums.
> Soweit die Aufgabe. Ich bin gerade dabei, mich auf die
> Klausur vorzubereiten und ich hänge gerade in dieser
> Aufgabe einer alten Klausur fest. Mein Ansatz sieht wie
> folgt aus:
>
> Zunächst mal sind die Eigenwerte [mm]\lambda_{1}[/mm] = 2 und
> [mm]\lambda_{2}[/mm] = -1 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> also setze ich ein in (A - [mm]\lambda[/mm] * E) * x = 0 :
>
> [mm]\pmat{ -5 & -2 & 4 \\ 5 & 2 & a \\ 0 & 0 & 0}[/mm] = 0
>
> Indem ich Zeile 1 zu Zeile 2 addiere erhalte ich:
>
> [mm]\pmat{ -5 & -2 & 4 \\ 0 & 0 & a + 4 \\ 0 & 0 & 0}[/mm] = 0
>
> Und jetzt wirds etwas schwierig. Klar ist, dass ich eine
> Fallunterscheidung für a brauche (a = -4 / a [mm]\not=[/mm] -4). Die
> Dimensionen sind auch noch klar: für a = -4 ist der Rang
> der Matrix 1 und damit kann die Dimension auch nur 1 sein.
> Für a [mm]\not=[/mm] -4 ist Rang = 2 und damit die Dimension 2.
Nein umgekehrt, für $a=-4$ ist [mm] $rg(A-2\mathbb{E}_3)=1$ [/mm] und damit ist der Kern, also der Eigenraum 2dim.
Du hast in diesem Falle ja "nur" die erste Zeile [mm] $-5x_1-2x_2+4x_3=0$
[/mm]
Also 1 Gleichung in 3 Unbekannten, damit 2 frei wählbare Parameter, setze [mm] $x_3=t, x_2=s$ [/mm] mit [mm] $s,t\in\IR$
[/mm]
Dann ist [mm] $x_1=-\frac{2}{5}s+\frac{4}{5}t$
[/mm]
Also ist ein Vektor aus dem Kern von [mm] $(A-2\mathbb{E}_3)$ [/mm] von der Gestalt
[mm] $\vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{-\frac{2}{5}s+\frac{4}{5}t\\s\\t}=\vektor{-\frac{2}{5}s\\s\\0}+\vektor{\frac{4}{5}t\\0\\t}$
[/mm]
[mm] $=s\cdot{}\vektor{...\\...\\...}+t\cdot{}\vektor{...\\...\\...}$
[/mm]
Also ist eine Basis des Kerns: ...
Im anderen Fall [mm] $a\neq [/mm] -4$ ist der [mm] $rg(A-2\mathbb{E}_3)=2$, [/mm] damit also [mm] $dim(Kern(A-2\mathbb{E}_3))=1$
[/mm]
Mit der zweiten Zeile hast du [mm] $(a+4)\cdot{}x_3=0$, [/mm] also [mm] $x_3=...$
[/mm]
Mit Zeile 1 bestimme dann [mm] $x_1, x_2$ [/mm] und du hast deine gesuchte Basis
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> Aber weiter steh ich aufm Schlauch. Ich weiß, dass ich
> eigentlich das schwerste geschafft hab und der rest
> eigentlich total einfach ist, aber ich komm grade echt
> nicht weiter. Blackout. Würde mich also über Hilfe freuen.
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG
schachuzipus
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