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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Basis zu Matrix
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Basis zu Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:47 Mi 10.03.2010
Autor: neu_ling

A = [mm] \pmat{ 2 & 1 \\ 0 & 1 } [/mm]
X = [mm] \pmat{ x & y \\ y & z } [/mm]
V = Vektorraum der reellen symmetrischen 2 x 2 Matrizen

Gesucht: Matrix Endomorphismus von V mit
X [mm] \mapsto AXA^{t} [/mm]
bzgl. geeigneter Basis.

Mein bisheriges Vorgehen:
Ich habe die Matrix [mm] AXA^{t} [/mm] ausgerechnet und erhalte die Matrix

X' = [mm] \pmat{ 4x+4y+z & 2y+z \\ 2y+z & z } [/mm]

Wie finde ich nun die Abbildungsmatrix bzgl. einer Basis? Die Matrix muss ja reell sein, dann finde ich aber keine lineare Abbildung.

gruzz


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.



        
Bezug
Basis zu Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:05 Mi 10.03.2010
Autor: fred97


> A = [mm]\pmat{ 2 & 1 \\ 0 & 1 }[/mm]
>  X = [mm]\pmat{ x & y \\ y & z }[/mm]
>  V
> = Vektorraum der reellen symmetrischen 2 x 2 Matrizen
>  
> Gesucht: Matrix Endomorphismus von V mit
>  X [mm]\mapsto AXA^{t}[/mm]
>  bzgl. geeigneter Basis.
>  
> Mein bisheriges Vorgehen:
>  Ich habe die Matrix [mm]AXA^{t}[/mm] ausgerechnet und erhalte die
> Matrix
>  
> X' = [mm]\pmat{ 4x+4y+z & 2y+z \\ 2y+z & z }[/mm]
>  
> Wie finde ich nun die Abbildungsmatrix bzgl. einer Basis?
> Die Matrix muss ja reell sein, dann finde ich aber keine
> lineare Abbildung.
>  
> gruzz
>  
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
>  Wir tasten uns mal langsam vor.

Es ist also V = Vektorraum der reellen symmetrischen 2 x 2 Matrizen und

             [mm] \phi:V \to [/mm] V gegeben durch: [mm] $\phi(X) [/mm] = [mm] AXA^t$ [/mm]

Zunächst: welche Dimension hat V ? Kannst Du eine Basis von V angeben ?

Sei [mm] B_1, [/mm] ..., [mm] B_n [/mm] eine Basis von V. Dann hat für j [mm] \in [/mm] {1, .., n } das Bild [mm] \phi(B_j) [/mm] die eindeutige Darstellung

             [mm] \phi(B_j) [/mm] = [mm] \alpha_{1j}B_1+ [/mm] ...+ [mm] \alpha_{nj}B_n [/mm]

Wie sieht die j-te Spalte der Abbildungsmatrix von [mm] \phi [/mm] aus ?

FRED

Bezug
                
Bezug
Basis zu Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:25 Mi 10.03.2010
Autor: neu_ling

also ich bin der Meinung, dass V die Dimension 2 hat, da sie 2 Basisvektoren enthält... nämlich
[mm] B=<{\vektor{x \\ y},\vektor{y \\ z}}>, [/mm] da diese linear unabhängig sind.

also, wenn ich jetzt sage
$ [mm] \phi(B_{1}) $=a_{1}*\vektor{x \\ y} [/mm] + [mm] a_{2}*\vektor{y \\ z}=\vektor{4x+4y+z \\ 2y+z} [/mm]
dann kann ich ja das z nicht herstellen...

Bezug
                        
Bezug
Basis zu Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:51 Mi 10.03.2010
Autor: schachuzipus

Hallo neu_ling,

> also ich bin der Meinung, dass V die Dimension 2 hat, da
> sie 2 Basisvektoren enthält... nämlich
>  [mm]B=<{\vektor{x \\ y},\vektor{y \\ z}}>,[/mm] da diese linear
> unabhängig sind. [notok]

Wie willst du denn mit diesen Vektoren [mm] $2\times [/mm] 2$-Matrizen erzeugen???

Allg. ist der VR der [mm] $2\times [/mm] 2$-Matrizen mit Einträgen aus einem Körper [mm] $\mathbb{K}$ [/mm] isomorph zum [mm] $\mathbb{K}^{2\cdot{}2}=\mathbb{K}^4$, [/mm] hat also Dimension 4.

Die Standardbasis ist [mm] $\mathcal{B}=\left\{\pmat{1&0\\0&0},\pmat{0&1\\0&0},\pmat{0&0\\1&0},\pmat{0&0\\0&1}\right\}$ [/mm]

Und die symmetrischen Matrizen [mm] $\pmat{x&y\\y&z}$ [/mm] kannst du doch offensichtlich darstellen als [mm] $x\cdot{}\pmat{1&0\\0&0}+y\cdot{}\pmat{0&1\\1&0}+z\cdot{}\pmat{0&0\\0&1}$ [/mm]

$V$ ist also 3-dimensionaler UVR des VRes der [mm] $2\times [/mm] 2$-Matrizen.

Versuch's damit nochmal weiter ...

>  
> also, wenn ich jetzt sage
>  [mm]\phi(B_{1})[/mm][mm] =a_{1}*\vektor{x \\ y}[/mm] + [mm]a_{2}*\vektor{y \\ z}=\vektor{4x+4y+z \\ 2y+z}[/mm]
>  
> dann kann ich ja das z nicht herstellen...

Gruß

schachuzipus

Bezug
                                
Bezug
Basis zu Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:16 Mi 10.03.2010
Autor: neu_ling

Ja, so macht das natürlich mehr Sinn. Also, dann hab ich mal weitergerechnet:

[mm] \phi(B_{1}) [/mm] = [mm] a_{1}\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] + [mm] a_{2}\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] + [mm] a_{3}\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 } [/mm] = [mm] \pmat{ 4 & 0 \\ 0 & 0} [/mm]
[mm] a_{1}=4, a_{2}=0, a_{3}=0 [/mm]

[mm] \phi(B_{2}) [/mm] = [mm] a_{1}\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] + [mm] a_{2}\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] + [mm] a_{3}\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 } [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 1} [/mm]
[mm] a_{1}=1, a_{2}=1, a_{3}=1 [/mm]

[mm] \phi(B_{3}) [/mm] = [mm] a_{1}\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] + [mm] a_{2}\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] + [mm] a_{3}\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 } [/mm] = [mm] \pmat{ 4 & 2 \\ 2 & 0} [/mm]
[mm] a_{1}=4, a_{2}=0, a_{3}=2 [/mm]

Wie stelle ich jetzt die Abbildungsmatrix her?

Bezug
                                        
Bezug
Basis zu Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:25 Mi 10.03.2010
Autor: fred97


> Ja, so macht das natürlich mehr Sinn. Also, dann hab ich
> mal weitergerechnet:
>  
> [mm]\phi(B_{1})[/mm] = [mm]a_{1}\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }[/mm] + [mm]a_{2}\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
> + [mm]a_{3}\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }[/mm] = [mm]\pmat{ 4 & 0 \\ 0 & 0}[/mm]
>  
> [mm]a_{1}=4, a_{2}=0, a_{3}=0[/mm]

Diese Zahlen sind die 1. Spalte der gesuchten Matrix

>  
> [mm]\phi(B_{2})[/mm] = [mm]a_{1}\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }[/mm] + [mm]a_{2}\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
> + [mm]a_{3}\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 1}[/mm]
>  
> [mm]a_{1}=1, a_{2}=1, a_{3}=1[/mm]

2. Spalte


>  
> [mm]\phi(B_{3})[/mm] = [mm]a_{1}\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }[/mm] + [mm]a_{2}\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
> + [mm]a_{3}\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }[/mm] = [mm]\pmat{ 4 & 2 \\ 2 & 0}[/mm]
>  
> [mm]a_{1}=4, a_{2}=0, a_{3}=2[/mm]


3. Spalte

FRED

>  
> Wie stelle ich jetzt die Abbildungsmatrix her?


Bezug
                                                
Bezug
Basis zu Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:28 Mi 10.03.2010
Autor: neu_ling

aber wie geht das, dass meine Matrix eine 3 x 3 Matrix ist? Beispielsweise, wenn ich eine Basis abbilden will 2 x 2, wie soll ich dann die Multiplikation durchführen?

[mm] X\in Mat(\IR,2\times2) [/mm]
[mm] AXA^{t}\in Mat(\IR,2\times2) [/mm]

jetzt müsste doch gelten mit der Abbildungsmatrix B [mm] \in Mat(\IR,3\times3) [/mm]

[mm] BX=AXA^{t} [/mm]
aber die Multiplikation ist ja so ungültig?!

Bezug
                                                        
Bezug
Basis zu Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:34 Mi 10.03.2010
Autor: angela.h.b.


> aber wie geht das, dass meine Matrix eine 3 x 3 Matrix ist?
> Beispielsweise, wenn ich eine Basis abbilden will 2 x 2,
> wie soll ich dann die Multiplikation durchführen

Hallo,

[willkommenmr].

Ich gehe davon aus, daß die Abbildungsmatrix, die [mm] 3\times [/mm] 3 -Matrix M jetzt steht.

Nun ist [mm] \phi(X) [/mm] nicht etwa M*X.

Sondern: Du mußt die Matrix M mit dem Vektor des [mm] \IR^3 [/mm] multiplizieren, welcher der Koordinatenvektor von X bzgl der von Dir gewählten Basis [mm] (B_1, B_2, B_3) [/mm] ist.

Auch das Ergebnis ist ein Spaltenvektor - der Koordinatenvektor des Bildes [mm] \phi(X) [/mm] in Koordinaten bzgl. der obigen Basis.

Gruß v. Angela

>  
> [mm]X\in Mat(\IR,2\times2)[/mm]
>  [mm]AXA^{t}\in Mat(\IR,2\times2)[/mm]
>  
> jetzt müsste doch gelten mit der Abbildungsmatrix B [mm]\in Mat(\IR,3\times3)[/mm]
>  
> [mm]BX=AXA^{t}[/mm] ?
> aber die Multiplikation ist ja so ungültig?!


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