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| Aufgabe | Sei ein V ein k-VR. B= {v1,...,vn} sei eine endliche Basis. {w1,...,wr} Element aus V sei eine weitere linear unabhängige Menge. Dann gilt:
1.) r < oder = n
2.) Man kann r Vektoren aus B durch w1,...,wr austauschen, sodass man wieder eine Basis erhält. |
Hallo!
Ich versuche gerade diesen Satz zu beweisen, bzw den Beweis, der dazu im Buch steht, zu verstehen. Zu 1.) steht da nur "dies folgt aus den Basiseigenschaften".
Ich vermute, dass es etwas mit der Eigenschaft "unverkürzbares Erzeugendensytem" zu tun hat, aber ich komme leider nicht auf den Zusammenhang!
Kann mir da bitte jemand helfen? Das wäre toll!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Sei ein V ein k-VR. B= {v1,...,vn} sei eine endliche Basis.
> {w1,...,wr} Element aus V sei eine weitere linear
> unabhängige Menge. Dann gilt:
> 1.) r < oder = n
> 2.) Man kann r Vektoren aus B durch w1,...,wr austauschen,
> sodass man wieder eine Basis erhält.
> Hallo!
> Ich versuche gerade diesen Satz zu beweisen, bzw den
> Beweis, der dazu im Buch steht, zu verstehen. Zu 1.) steht
> da nur "dies folgt aus den Basiseigenschaften".
> Ich vermute, dass es etwas mit der Eigenschaft
> "unverkürzbares Erzeugendensytem" zu tun hat, aber ich
> komme leider nicht auf den Zusammenhang!
> Kann mir da bitte jemand helfen? Das wäre toll!
>
Hallo...
Du liegst mit deiner Vermutung ganz richtig. Wie du schon geschrieben hast ist eine Basis ein unverkürzbares Erzeugendensystem.
Nun gibt es einige äquivalente Bezeichnungen für eine Basis die dir aus der Vorlesung geläufig sein sollten. So wird eine Basis nicht nur als minimales Erzeugendensystem bezeichnet, wie du schon richtig gesagt hat sondern auch als maximal linear unabhängiges System. D.h. du findest in deinem Vektorraum nie eine Menge die aus mehr linear unabhängigen Elementen besteht, weil dann könntest du mit deiner Basis ja nicht alle Elemente der "neuen Menge" erzeugen, weil das ja gerade die Eigenschaft von linear unabhängig ist. Denn wenn ein Menge linear unabhängig ist bedeutet dies das die Elemente nicht aus Linearkombinationen der restlichen Elemente darstellbar sind, wenn r also größer als n wäre. Dann könnte deine Basis nicht den ganzen Vektorraum erzeugen, was es nach Voraussetzung aber tut. Und somit muss r [mm] \le [/mm] n sein.
Hast du die Erklärung soweit verstanden?...wenn nicht frag was dir nicht ganz klar ist. Ich versuche es dann nochmal auf eine andere Art und Weise zu erklären.
LG Schmetterfee
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:30 Sa 27.11.2010 | | Autor: | Mathe-Lily |
So habe ich es verstanden (endlich! *lach*)
Danke!
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