Basisberechnung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:09 So 21.01.2007 | | Autor: | Phoney |
| Aufgabe | [mm] $\text{Es sei } [/mm] M = [mm] \{v_1,v_2,v_3,v_4\}\subseteq \mathbb R^5 \;\text{ mit }\; v_1=(1,0,1,0,1), v_2 [/mm] = (1,1,1,1,1), [mm] v_3=(1,2,1,2,1),v_4=(3,1,3,1,3)$
[/mm]
a) Bestimmen Sie eine Basis B' von Span M und ergänzen Sie diese zu einer Basis B von [mm] $\mathbb R^5$
[/mm]
b) Liegt [mm] $v_5 [/mm] = (1,2,3,4,5)$ in V? |
Hallo,
zu a) Ich habe das versucht mit Matrizen zu lösen:
[mm] $\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 & 0 & 1\\1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 1 & 2 & 1\\ 3 & 1 & 3 & 1 & 3\\ \end{pmatrix} [/mm] $
Ich beschreibe es ma. Ich habe die erste Zeile minus zweite Zeile, zweite minus dritte und dritte minus vierte gerechnet
[mm] $\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 & 0 & 1\\0 & 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & -1 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 5 & 0 & 5 & 0\\ \end{pmatrix}$
[/mm]
Und nun die zweite Mal 5 minus die letzte, die dritte mal 5 minus die letze
[mm] $\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 & 0 & 1\\0 & 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 &0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{pmatrix}$
[/mm]
Die Vektoren sind nun
[mm] $v_{S_1} [/mm] = (1,0,1,0,1), [mm] v_{S_2} [/mm] = (0,1,0,1,0)$
Diese habe ich mal auf vier Vektoren erweitert, da wird ja eine Basis von [mm] $\mathbb R^4$ [/mm] haben wollen
[mm] $v_{S_1} [/mm] = (1,0,1,0,1), [mm] v_{S_2} [/mm] = (0,1,0,1,0), [mm] v_{S_3}=(0,0,1,0,0), v_{S_4}=(0,0,0,1,0)$
[/mm]
Und das ergänzt auf $ [mm] IR^5$
[/mm]
[mm] $v_{S_1} [/mm] = (1,0,1,0,1), [mm] v_{S_2} [/mm] = (0,1,0,1,0), [mm] v_{S_3}=(0,0,1,0,0), v_{S_4}=(0,0,0,1,0), v_{5} [/mm] = (0,0,0,0,1) $
Zu b dachte ich mir, dass der Vektor [mm] v_5 [/mm] drin liegt, da dieser Vektor linear unabhängig ist von [mm] $v_1,v_2,v_3$ [/mm] ODER [mm] $v_4$. [/mm] Also [mm] $v_5$ [/mm] liegt in V.
Hierbei liegt aber mein größter Zweifel!
Gruß
Johann
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> [mm]\text{Es sei } M = \{v_1,v_2,v_3,v_4\}\subseteq \mathbb R^5 \;\text{ mit }\; v_1=(1,0,1,0,1), v_2 = (1,1,1,1,1), v_3=(1,2,1,2,1),v_4=(3,1,3,1,3)[/mm]
>
> a) Bestimmen Sie eine Basis B' von Span M und ergänzen Sie
> diese zu einer Basis B von [mm]\mathbb R^5[/mm]
> b) Liegt [mm]v_5 = (1,2,3,4,5)[/mm]
> in V?
> Die Vektoren sind nun
>
> [mm]v_{S_1} = (1,0,1,0,1), v_{S_2} = (0,1,0,1,0)[/mm]
Hallo,
ja, diese Vektoren sind eine Basis von M
>
> Diese habe ich mal auf vier Vektoren erweitert, da wird ja
> eine Basis von [mm]\mathbb R^4[/mm] haben wollen
Ja???? Wer sagt DAS denn? Es wird auch schwierig werden, den [mm] \IR^4 [/mm] mit Vektoren mit 5 Komponenten zu erzeugen. Allenfalls bekommt man einen zu [mm] \IR^4 [/mm] isomorphen Unterraum des [mm] \IR^5.
[/mm]
>
> [mm]v_{S_1} = (1,0,1,0,1), v_{S_2} = (0,1,0,1,0), v_{S_3}=(0,0,1,0,0), v_{S_4}=(0,0,0,1,0)[/mm]
Aber die Vektoren, mit denen Du ergänzt, sind ansonsten nicht so übel.
Die vier sind linear unabhängig und spannen einen 4-dimensionalen Unterraum des [mm] \IR^5 [/mm] auf, und wenn Du
>
> das ergänzt
durch
>
> [mm]v_{S_1} = (1,0,1,0,1), v_{S_2} = (0,1,0,1,0), v_{S_3}=(0,0,1,0,0), v_{S_4}=(0,0,0,1,0), v_{5} = (0,0,0,0,1)[/mm]
hast Du in der Tat eine Basis des [mm] \IR^5, [/mm] was ja gefragt war.
>
>
> Zu b dachte ich mir, dass der Vektor [mm]v_5[/mm] drin liegt, da
> dieser Vektor linear unabhängig ist von [mm]v_1,v_2,v_3[/mm] ODER
> [mm]v_4[/mm]. Also [mm]v_5[/mm] liegt in V.
>
> Hierbei liegt aber mein größter Zweifel!
Berechtigt.
Das ist Kuddelmuddel!
Zunächst mal meine ich, daß die Frage ist, ob [mm] v_5 [/mm] in M liegt. ('nen V haben wir doch gar nicht...)
Wann liegt [mm] v_5 [/mm] in M?
Wenn man ihn durch eine Linearkombination der Basisvektoren von M erzeugen kann.
Und? Kann man das?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:38 Mo 22.01.2007 | | Autor: | Phoney |
Hi.
> > [mm]\text{Es sei } M = \{v_1,v_2,v_3,v_4\}\subseteq \mathbb R^5 \;\text{ mit }\; v_1=(1,0,1,0,1), v_2 = (1,1,1,1,1), v_3=(1,2,1,2,1),v_4=(3,1,3,1,3)[/mm]
>
> >
> > a) Bestimmen Sie eine Basis B' von Span M und ergänzen Sie
> > diese zu einer Basis B von [mm]\mathbb R^5[/mm]
> > b) Liegt [mm]v_5 = (1,2,3,4,5)[/mm]
> > in V?
>
> > Die Vektoren sind nun
> >
> > [mm]v_{S_1} = (1,0,1,0,1), v_{S_2} = (0,1,0,1,0)[/mm]
>
> Hallo,
>
> ja, diese Vektoren sind eine Basis von M
>
> >
> > Diese habe ich mal auf vier Vektoren erweitert, da wird ja
> > eine Basis von [mm]\mathbb R^4[/mm] haben wollen
>
> Ja???? Wer sagt DAS denn? Es wird auch schwierig werden,
> den [mm]\IR^4[/mm] mit Vektoren mit 5 Komponenten zu erzeugen.
> Allenfalls bekommt man einen zu [mm]\IR^4[/mm] isomorphen Unterraum
> des [mm]\IR^5.[/mm]
>
> >
> > [mm]v_{S_1} = (1,0,1,0,1), v_{S_2} = (0,1,0,1,0), v_{S_3}=(0,0,1,0,0), v_{S_4}=(0,0,0,1,0)[/mm]
>
> Aber die Vektoren, mit denen Du ergänzt, sind ansonsten
> nicht so übel.
> Die vier sind linear unabhängig und spannen einen
> 4-dimensionalen Unterraum des [mm]\IR^5[/mm] auf, und wenn Du
> >
> > das ergänzt
>
> durch
> >
> > [mm]v_{S_1} = (1,0,1,0,1), v_{S_2} = (0,1,0,1,0), v_{S_3}=(0,0,1,0,0), v_{S_4}=(0,0,0,1,0), v_{5} = (0,0,0,0,1)[/mm]
>
> hast Du in der Tat eine Basis des [mm]\IR^5,[/mm] was ja gefragt
> war.
Also reichen die Vektoren [mm] v_{S_1},v_{S_2} [/mm] und [mm] v_{S_3}?
[/mm]
> > Zu b dachte ich mir, dass der Vektor [mm]v_5[/mm] drin liegt, da
> > dieser Vektor linear unabhängig ist von [mm]v_1,v_2,v_3[/mm] ODER
> > [mm]v_4[/mm]. Also [mm]v_5[/mm] liegt in V.
> >
> > Hierbei liegt aber mein größter Zweifel!
>
> Berechtigt.
> Das ist Kuddelmuddel!
>
> Zunächst mal meine ich, daß die Frage ist, ob [mm]v_5[/mm] in M
> liegt. ('nen V haben wir doch gar nicht...)
>
> Wann liegt [mm]v_5[/mm] in M?
> Wenn man ihn durch eine Linearkombination der
> Basisvektoren von M erzeugen kann.
> Und? Kann man das?
Ja, wahrscheinlich schon.
Die Definition, die mir da bekannt ist, ist [mm] v\in [/mm] V
v = [mm] \lambda_1*v_1+...+\lambda_n*v_n
[/mm]
Hier muesste ich dann ja gucken
[mm] v_5 [/mm] = [mm] \lambda_1*v_{S_1}+\lambdav_{S_2} [/mm]
Oder einfach nur [mm] $v_5 [/mm] = [mm] \lambda_1 v_1+\lambda_2*v_2+\lambda_3*v_3+\lambda_4*v_4$
[/mm]
Viele liebe grüße
Johann
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> Hi.
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> > > [mm]\text{Es sei } M = \{v_1,v_2,v_3,v_4\}\subseteq \mathbb R^5 \;\text{ mit }\; v_1=(1,0,1,0,1), v_2 = (1,1,1,1,1), v_3=(1,2,1,2,1),v_4=(3,1,3,1,3)[/mm]
>
> >
> > >
> > > a) Bestimmen Sie eine Basis B' von Span M und ergänzen Sie
> > > diese zu einer Basis B von [mm]\mathbb R^5[/mm]
> > > b) Liegt
> [mm]v_5 = (1,2,3,4,5)[/mm]
> > > in V?
> >
> > > Die Vektoren sind nun
> > >
> > > [mm]v_{S_1} = (1,0,1,0,1), v_{S_2} = (0,1,0,1,0)[/mm]
> >
> > Hallo,
> >
> > ja, diese Vektoren sind eine Basis von M
> >
> > >
> > > Diese habe ich mal auf vier Vektoren erweitert, da wird ja
> > > eine Basis von [mm]\mathbb R^4[/mm] haben wollen
> >
> > Ja???? Wer sagt DAS denn? Es wird auch schwierig werden,
> > den [mm]\IR^4[/mm] mit Vektoren mit 5 Komponenten zu erzeugen.
> > Allenfalls bekommt man einen zu [mm]\IR^4[/mm] isomorphen Unterraum
> > des [mm]\IR^5.[/mm]
> >
> > >
> > > [mm]v_{S_1} = (1,0,1,0,1), v_{S_2} = (0,1,0,1,0), v_{S_3}=(0,0,1,0,0), v_{S_4}=(0,0,0,1,0)[/mm]
>
> >
> > Aber die Vektoren, mit denen Du ergänzt, sind ansonsten
> > nicht so übel.
> > Die vier sind linear unabhängig und spannen einen
> > 4-dimensionalen Unterraum des [mm]\IR^5[/mm] auf, und wenn Du
> > >
> > > das ergänzt
> >
> > durch
> > >
> > > [mm]v_{S_1} = (1,0,1,0,1), v_{S_2} = (0,1,0,1,0), v_{S_3}=(0,0,1,0,0), v_{S_4}=(0,0,0,1,0), v_{5} = (0,0,0,0,1)[/mm]
>
> >
> > hast Du in der Tat eine Basis des [mm]\IR^5,[/mm] was ja gefragt
> > war.
>
> Also reichen die Vektoren [mm]v_{S_1},v_{S_2}[/mm] und [mm]v_{S_3}?[/mm]
Hallo,
das kommt darauf an, was Du im Schilde führst?
WOFÜR sollen sie "reichen"?
Eine Basis von M bilden, wie Du selbst festgestellt hattest, [mm] v_{S_1} [/mm] = (1,0,1,0,1), [mm] v_{S_2} [/mm] = (0,1,0,1,0), und Du hattest sie Duch [mm] v_{S_3}=(0,0,1,0,0), v_{S_4}=(0,0,0,1,0), v_{5} [/mm] = (0,0,0,0,1) zu einer Basis von [mm] \IR^5 [/mm] ergänzt.
>
> > > Zu b dachte ich mir, dass der Vektor [mm]v_5[/mm] drin liegt, da
> > > dieser Vektor linear unabhängig ist von [mm]v_1,v_2,v_3[/mm] ODER
> > > [mm]v_4[/mm]. Also [mm]v_5[/mm] liegt in V.
> > >
> > > Hierbei liegt aber mein größter Zweifel!
> >
> > Berechtigt.
> > Das ist Kuddelmuddel!
> >
> > Zunächst mal meine ich, daß die Frage ist, ob [mm]v_5[/mm] in M
> > liegt. ('nen V haben wir doch gar nicht...)
> >
> > Wann liegt [mm]v_5[/mm] in M?
> > Wenn man ihn durch eine Linearkombination der
> > Basisvektoren von M erzeugen kann.
> > Und? Kann man das?
>
> Ja, wahrscheinlich schon.
>
> Die Definition, die mir da bekannt ist, ist [mm]v\in[/mm] V
>
> v = [mm]\lambda_1*v_1+...+\lambda_n*v_n[/mm]
>
> Hier muesste ich dann ja gucken
>
> [mm]v_5[/mm] = [mm]\lambda_1*v_{S_1}+\lambda_2 v_{S_2}[/mm]
>
> Oder einfach nur [mm]v_5 = \lambda_1 v_1+\lambda_2*v_2+\lambda_3*v_3+\lambda_4*v_4[/mm]
Was heißt "einfach nur"? Diese zweite Variante ist doch viel, viel lästiger, da man es mit 4 Vektoren und 4 Variablen zu tun hat!
Nein, nimm lieber Deine beiden Basisvektoren.
Wenn Du [mm] \lambda_i [/mm] findest, so daß Du [mm] v_5 [/mm] darstellen kannst, liegt er drin, sonst eben nicht.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:19 Di 23.01.2007 | | Autor: | Phoney |
| Aufgabe | $ [mm] \text{Es sei } [/mm] M = [mm] \{v_1,v_2,v_3,v_4\}\subseteq \mathbb R^5 \;\text{ mit }\; v_1=(1,0,1,0,1), v_2 [/mm] = (1,1,1,1,1), [mm] v_3=(1,2,1,2,1),v_4=(3,1,3,1,3) [/mm] $
b) Liegt $ [mm] v_5 [/mm] = (1,2,3,4,5) $ in V? |
Hallo.
Also bei der Aufgabe b steige ich noch immer nicht durch...leider.
Also die Basis lautete
$B' [mm] =\{ v_{S_1}, v_{S_2}, v_{S_3}, v_{S_4}, v_{5} \}$ [/mm]
$B' [mm] =\{ (1,0,1,0,1), (0,1,0,1,0), (0,0,1,0,0), (0,0,0,1,0), (0,0,0,0,1)\}$ [/mm]
> > [mm]v_5[/mm] = [mm]\lambda_1*v_{S_1}+\lambda_2 v_{S_2}[/mm]
> >
> > Oder einfach nur [mm]v_5 = \lambda_1 v_1+\lambda_2*v_2+\lambda_3*v_3+\lambda_4*v_4[/mm]
>
>
> Was heißt "einfach nur"? Diese zweite Variante ist doch
> viel, viel lästiger, da man es mit 4 Vektoren und 4
> Variablen zu tun hat!
>
> Nein, nimm lieber Deine beiden Basisvektoren.
> Wenn Du [mm]\lambda_i[/mm] findest, so daß Du [mm]v_5[/mm] darstellen
> kannst, liegt er drin, sonst eben nicht.
Ich soll also nehmen
$(1,2,3,4,5) = [mm] \lambda_1 (1,0,1,0,1)+\lambda_2 [/mm] (0,1,0,1,0)$
Auf den ersten Blick erkenne ich, dass das keine Lösung hat.
Aber genau die Gleichung soll ich zeigen?
Grüße von
Johann
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> [mm]\text{Es sei } M = \{v_1,v_2,v_3,v_4\}\subseteq \mathbb R^5 \;\text{ mit }\; v_1=(1,0,1,0,1), v_2 = (1,1,1,1,1), v_3=(1,2,1,2,1),v_4=(3,1,3,1,3)[/mm]
>
> b) Liegt [mm]v_5 = (1,2,3,4,5)[/mm] in V?
> Hallo.
>
> Also bei der Aufgabe b steige ich noch immer nicht
> durch...leider.
>
> Also die Basis lautete
>
> [mm]B' =\{ v_{S_1}, v_{S_2}, v_{S_3}, v_{S_4}, v_{5} \}[/mm]
>
> [mm]B' =\{ (1,0,1,0,1), (0,1,0,1,0), (0,0,1,0,0), (0,0,0,1,0), (0,0,0,0,1)\}[/mm]
>
Hallo,
Du machst Dir und anderen das Duirchsteigen aber auch nicht gerade einfach. Manchmal habe ich den Eindruck, daß Du hier noch parallel eine andere Aufgabe bearbeitest.
Warum hast Du jetzt plötzlich zwei Basen B', die aber verschieden sind???
Was soll das überhaupt?
Lt. Aufgabe sollte doch B' die Basis des von [mm] \{v_1,...,v_4\} [/mm] aufgespannten Raumes sein, und die hattest Du ja auch bestimmt.
Bzgl. [mm] \{ (1,0,1,0,1), (0,1,0,1,0), (0,0,1,0,0), (0,0,0,1,0), (0,0,0,0,1)\} [/mm] hattest du richtigerweise mitgeteilt, daß es eine Basis des [mm] \IR^5 [/mm] ist, nämlich die, die Du durch Ergänzen von B' erhältst.
Möglicherweise ist auch [mm] \{ v_{S_1}, v_{S_2}, v_{S_3}, v_{S_4}, v_{5} \} [/mm] eine Basis des [mm] \IR^5, [/mm] ich hab' gar keine Lust, drüber nachzudenken, denn das war ja gar nicht gefragt.
>
> > > [mm]v_5[/mm] = [mm]\lambda_1*v_{S_1}+\lambda_2 v_{S_2}[/mm]
> > >
> > > Oder einfach nur [mm]v_5 = \lambda_1 v_1+\lambda_2*v_2+\lambda_3*v_3+\lambda_4*v_4[/mm]
>
> >
> >
> > Was heißt "einfach nur"? Diese zweite Variante ist doch
> > viel, viel lästiger, da man es mit 4 Vektoren und 4
> > Variablen zu tun hat!
> >
> > Nein, nimm lieber Deine beiden Basisvektoren.
> > Wenn Du [mm]\lambda_i[/mm] findest, so daß Du [mm]v_5[/mm] darstellen
> > kannst, liegt er drin, sonst eben nicht.
>
> Ich soll also nehmen
>
> [mm](1,2,3,4,5) = \lambda_1 (1,0,1,0,1)+\lambda_2 (0,1,0,1,0)[/mm]
>
> Auf den ersten Blick erkenne ich, dass das keine Lösung
> hat.
>
> Aber genau die Gleichung soll ich zeigen?
Wenn sie lkeine Lösung hat, wirst Duu nicht zeigen können, daß sie gilt.
Wenn Du zeigen kannst, daß die Gleichung keine Lösung hat, liegt eben [mm] v_5 [/mm] nicht im von [mm] \{v_1,...,v_4} [/mm] aufgespannten Raum.
Soll der V heißen? Was ist das V in der Aufgabe? So richtig hast Du es noch nicht erklärt.
Ich gehe bis auf weiteres davon aus, daß mit V der von [mm] \{v_1,...,v_4} [/mm] aufgespannte Raum gemeint ist.
Gruß v. Angela
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