Basisbestimmung der Dualbasis < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:52 Do 19.04.2012 | | Autor: | yangwar1 |
| Aufgabe | Es sei V der [mm] \IR [/mm] Vektorraum der Polynome über [mm] \IR [/mm] vom Grad höchstens 2. Wir betrachten die Basis B = [mm] (1,X-1,(X-1)^2).
[/mm]
1. Bestimmen Sie die zu B gehörende Dualbasis B* = [mm] (\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3). [/mm] Geben Sie für i=1,...,3 jeweils [mm] \lambda_i(a_0+a_1X+a_2X^2) [/mm] an. |
Nach Definition muss doch gelten, dass [mm] \lambda_i(v_j)=0, [/mm] falls i [mm] \not= [/mm] j und [mm] \lambda_i(v_j)=1, [/mm] falls i=j. Also zur Bestimmung des ersten Basisvektor der Dualbasis B* zu B ein [mm] \lambda_1 [/mm] gefunden werden, sodass:
[mm] \lambda_1(1)=1, \lambda_1(X-1)=0 [/mm] und [mm] \lambda_1((x-1)^2)=0. [/mm]
Allgemein bildet [mm] \lambda [/mm] Funktionen der Form [mm] a_0+a_1X+a_2X^2 [/mm] ab.
Für [mm] \lambda_1(1) [/mm] wäre ein mögliche Funktion doch:
[mm] \lambda_1(a_0+a_1X+a_2X^2):=a_0+a_1+a_2, [/mm] da dann gilt:
[mm] \lambda_1(1)=1+0+0=1, \lambda_1(X-1)=1-1+0=0, \lambda_1(x^2-2x+1)=\lambda_1((x-1)^2)=1-2+1=0
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:39 Do 19.04.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Es sei V der [mm]\IR[/mm] Vektorraum der Polynome über [mm]\IR[/mm] vom Grad
> höchstens 2. Wir betrachten die Basis B =
> [mm](1,X-1,(X-1)^2).[/mm]
> 1. Bestimmen Sie die zu B gehörende Dualbasis B* =
> [mm](\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3).[/mm] Geben Sie für i=1,...,3
> jeweils [mm]\lambda_i(a_0+a_1X+a_2X^2)[/mm] an.
>
>
> Nach Definition muss doch gelten, dass [mm]\lambda_i(v_j)=0,[/mm]
> falls i [mm]\not=[/mm] j und [mm]\lambda_i(v_j)=1,[/mm] falls i=j. Also zur
> Bestimmung des ersten Basisvektor der Dualbasis B* zu B ein
> [mm]\lambda_1[/mm] gefunden werden, sodass:
> [mm]\lambda_1(1)=1, \lambda_1(X-1)=0[/mm] und [mm]\lambda_1((x-1)^2)=0.[/mm]
> Allgemein bildet [mm]\lambda[/mm] Funktionen der Form
> [mm]a_0+a_1X+a_2X^2[/mm] ab.
> Für [mm]\lambda_1(1)[/mm] wäre ein mögliche Funktion doch:
> [mm]\lambda_1(a_0+a_1X+a_2X^2):=a_0+a_1+a_2,[/mm] da dann gilt:
> [mm]\lambda_1(1)=1+0+0=1, \lambda_1(X-1)=1-1+0=0, \lambda_1(x^2-2x+1)=\lambda_1((x-1)^2)=1-2+1=0[/mm]
Nicht nur eine mögliche, sondern die einzige.
Tipp: Schreibe
[mm] a_0+a_1X+a_2X^2 =a_0 +a_1[(X-1)+1] + a_2 [(X-1)^2 +2(X-1) +1] = a_2(X-1)^2 +(2a_2+a_1)(X-1) +(a_0+a_1+a_2)*1[/mm].
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:37 Mo 23.04.2012 | | Autor: | Fincayra |
Hi
> Für [mm]\lambda_1(1)[/mm] wäre ein mögliche Funktion doch:
> [mm]\lambda_1(a_0+a_1X+a_2X^2):=a_0+a_1+a_2,[/mm] da dann gilt:
> [mm]\lambda_1(1)=1+0+0=1, \lambda_1(X-1)=1-1+0=0, \lambda_1(x^2-2x+1)=\lambda_1((x-1)^2)=1-2+1=0[/mm]
>
Kann mir bitte jemand erklären, wie ich darauf komme?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:38 Mo 23.04.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> > Für [mm]\lambda_1(1)[/mm] wäre ein mögliche Funktion doch:
> > [mm]\lambda_1(a_0+a_1X+a_2X^2):=a_0+a_1+a_2,[/mm] da dann gilt:
> > [mm]\lambda_1(1)=1+0+0=1, \lambda_1(X-1)=1-1+0=0, \lambda_1(x^2-2x+1)=\lambda_1((x-1)^2)=1-2+1=0[/mm]
> >
>
> Kann mir bitte jemand erklären, wie ich darauf komme?
Das habe ich meiner Antwort doch fast komplett vorgerechnet. Du brauchst nur noch die Linearität und die Definition der dualen Basis einsetzen.
Viele Grüße
Rainer
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