Basisbestimmung von Unterraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:13 Mi 13.06.2007 | | Autor: | kobo |
| Aufgabe | Bestimmen sie je eine Basis von [mm] U_{1}, U_{2}, U_{1} \cap U_{2} [/mm] und [mm] U_{1}+U_{2} [/mm] für
[mm] U_{1} [/mm] := [mm] <\vektor{0 \\ 3 \\ 1 \\ -7},\vektor{4 \\ 3 \\ 2 \\ 1}> [/mm]
[mm] U_{2} [/mm] := [mm] <\vektor{3 \\ 0 \\ 1 \\ -1},\vektor{3 \\ 3 \\ 2 \\ -8},\vektor{1 \\ -1 \\ 0 \\ 2}> [/mm]
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Hallo, habe mal wieder einige Probleme....
Zuerst um 1. Aufgabenteil zur Bestimmung einer Basis von [mm] U_{1}:
[/mm]
Habe dann zuerstmal....
[mm] a*\vektor{0 \\ 3 \\ 1 \\ -7} [/mm] + [mm] b*\vektor{4 \\ 3 \\ 2 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] (1) 4b = 0
(2) 3a+3b = 0
(3) a+2b = 0
(4) -7a+b = 0
wodurch man bei (1) erkennt, dass b = 0 und somit a=b=0, also lin. unabh.
Nur wie bestimm ich nun ne Basis?
Beim 2. Aufgabenteil das gleiche für Basisbestimmung von [mm] U_{2} [/mm] :(
Beim 3. Aufgabenteil mit [mm] U_{1} \cap U_{2} [/mm] folgt ja:
[mm] a*\vektor{0 \\ 3 \\ 1 \\ -7} [/mm] + [mm] b*\vektor{4 \\ 3 \\ 2 \\ 1} [/mm] = [mm] c*\vektor{3 \\ 0 \\ 1 \\ -1} [/mm] + [mm] d*\vektor{3 \\ 3 \\ 2 \\ -8} [/mm] + [mm] e*\vektor{1 \\ -1 \\ 0 \\ 2}
[/mm]
und dann:
(1) 4b = 3c+3d+e
(2) 3a+3b = 3d-e
(3) a+2b = c+2d
(4) 7a+b = -c-8d+2e
Nur wie fang ich da an? Blick da nicht so durch wie man das am besten löst...
Ich freue mich schon auf Antworten :)
MfG
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo kobo,
> Bestimmen sie je eine Basis von [mm]U_{1}, U_{2}, U_{1} \cap U_{2}[/mm]
> und [mm]U_{1}+U_{2}[/mm] für
>
> [mm]U_{1}[/mm] := [mm]<\vektor{0 \\ 3 \\ 1 \\ -7},\vektor{4 \\ 3 \\ 2 \\ 1}>[/mm]
>
> [mm]U_{2}[/mm] := [mm]<\vektor{3 \\ 0 \\ 1 \\ -1},\vektor{3 \\ 3 \\ 2 \\ -8},\vektor{1 \\ -1 \\ 0 \\ 2}>[/mm]
>
> Hallo, habe mal wieder einige Probleme....
>
> Zuerst um 1. Aufgabenteil zur Bestimmung einer Basis von
> [mm]U_{1}:[/mm]
>
> Habe dann zuerstmal....
>
> [mm]a*\vektor{0 \\ 3 \\ 1 \\ -7}[/mm] + [mm]b*\vektor{4 \\ 3 \\ 2 \\ 1}[/mm]
> = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] (1) 4b = 0
> (2) 3a+3b = 0
> (3) a+2b = 0
> (4) -7a+b = 0
>
> wodurch man bei (1) erkennt, dass b = 0 und somit a=b=0,
> also lin. unabh. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Das kannst du auch direkt erkennen, denn wenn die Vektoren lin. abh. wären, müssten sie Vielfache voneinander sein, aber in der 1. Komponente des ersten Vektors ist ne 0 und damit kannst du die 1 in der ersten Komponente des zweiten Vektors nie erzeugen
>
> Nur wie bestimm ich nun ne Basis?
Na, der Raum wird von 2 Vektoren aufgespannt nach Def. [mm] U=
[/mm]
Nun sind [mm] v_1,v_2 [/mm] zudem linear unabh., also ein lin. unabh. Erzeugendensystem für diesen VR [mm] \Rightarrow...
[/mm]
>
> Beim 2. Aufgabenteil das gleiche für Basisbestimmung von
> [mm]U_{2}[/mm] :(
Ja, prüfe mal auf lineare Unabhängigkeit!! Wie ist die Dimension des Raumes, der von [mm] u_1,u_2,u_3 [/mm] aufgespannt wird?
> Beim 3. Aufgabenteil mit [mm]U_{1} \cap U_{2}[/mm] folgt ja:
>
> [mm]a*\vektor{0 \\ 3 \\ 1 \\ -7}[/mm] + [mm]b*\vektor{4 \\ 3 \\ 2 \\ 1}[/mm]
> = [mm]c*\vektor{3 \\ 0 \\ 1 \\ -1}[/mm] + [mm]d*\vektor{3 \\ 3 \\ 2 \\ -8}[/mm]
> + [mm]e*\vektor{1 \\ -1 \\ 0 \\ 2}[/mm]
>
> und dann:
>
> (1) 4b = 3c+3d+e
> (2) 3a+3b = 3d-e
> (3) a+2b = c+2d
> (4) 7a+b = -c-8d+2e
>
> Nur wie fang ich da an? Blick da nicht so durch wie man das
> am besten löst...
>
> Ich freue mich schon auf Antworten :)
>
> MfG
Löse zunächst mal (b), dann wird der Rest einfacher....
Dann vereinfacht sich insbesondere dein (richtiger) Ansatz für (c)
Bei (d) schreibe dir mal die Definition von U+V daneben,......
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:07 Mi 13.06.2007 | | Autor: | kobo |
> Na, der Raum wird von 2 Vektoren aufgespannt nach Def.
> [mm]U=[/mm]
> Nun sind [mm]v_1,v_2[/mm] zudem linear unabh., also ein lin. unabh.
> Erzeugendensystem für diesen VR [mm]\Rightarrow...[/mm]
>
ahso, also ist [mm] (\vektor{0 \\ 3 \\ 1 \\ -7}, \vektor{4 \\ 3 \\ 2 \\ 1}) [/mm] auch die Basis von [mm] U_{1} [/mm] oder versteh ich das falsch?
> Ja, prüfe mal auf lineare Unabhängigkeit!! Wie ist die
> Dimension des Raumes, der von [mm]u_1,u_2,u_3[/mm] aufgespannt
> wird?
Öhm die Dimension ist doch [mm] \IR^{3} [/mm] oder?
Und bei der Überpfüng auf lin. unabh.:
(1) 3c+3d+e = 0
(2) 3d+e = 0
(3) c+2d = 0
(4) -c-8d+2e = 0
durch (1)-(2) erhält man 3c=0 [mm] \Rightarrow [/mm] c=0 und daraus folg auch c=d=e=0 also sind die 3 Vektoren lin. unabh.
> Löse zunächst mal (b), dann wird der Rest einfacher....
>
> Dann vereinfacht sich insbesondere dein (richtiger) Ansatz
> für (c)
>
>
> Bei (d) schreibe dir mal die Definition von U+V
> daneben,......
Hmm, was meinst du mit "Löse zunächst nach (b)..." ? Also ich soll b zuerst durch die anderen Variablen ausdrücken? Nuja das ist ja mein Problem wie ich das am besten angeh... (1)-(2) oder (2)-(3) ....
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Hallo kobo,
> > Na, der Raum wird von 2 Vektoren aufgespannt nach Def.
> > [mm]U=[/mm]
> > Nun sind [mm]v_1,v_2[/mm] zudem linear unabh., also ein lin.
> unabh.
> > Erzeugendensystem für diesen VR [mm]\Rightarrow...[/mm]
> >
> ahso, also ist [mm](\vektor{0 \\ 3 \\ 1 \\ -7}, \vektor{4 \\ 3 \\ 2 \\ 1})[/mm]
> auch die Basis von [mm]U_{1}[/mm] oder versteh ich das falsch? ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
nein, ganz und gar nicht, das stimmt!
>
> > Ja, prüfe mal auf lineare Unabhängigkeit!! Wie ist die
> > Dimension des Raumes, der von [mm]u_1,u_2,u_3[/mm] aufgespannt
> > wird?
>
> Öhm die Dimension ist doch [mm]\IR^{3}[/mm] oder? ?????
Puh, das ist ja mal ein Quatsch  Nicht bös gemeint!!!
Die Dimension ist eine natürliche Zahl = Anzahl der Basisvektoren!!!!
>
> Und bei der Überpfüng auf lin. unabh.:
>
> (1) 3c+3d+e = 0
> (2) 3d+e = 0
> (3) c+2d = 0
> (4) -c-8d+2e = 0
>
> durch (1)-(2) erhält man 3c=0 [mm]\Rightarrow[/mm] c=0 und daraus
> folg auch c=d=e=0 also sind die 3 Vektoren lin. unabh. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
sie sind abhängig: [mm] u_3=\frac{2}{3}u_1-\frac{1}{3}u_2!!!
[/mm]
Also [mm] dim(U_2)=2(=dim(U_1))
[/mm]
>
> > Löse zunächst mal (b), dann wird der Rest einfacher....
> >
> > Dann vereinfacht sich insbesondere dein (richtiger) Ansatz
> > für (c)
> >
> >
> > Bei (d) schreibe dir mal die Definition von U+V
> > daneben,......
>
> Hmm, was meinst du mit "Löse zunächst nach (b)..." ? Also
> ich soll b zuerst durch die anderen Variablen ausdrücken?
> Nuja das ist ja mein Problem wie ich das am besten angeh...
> (1)-(2) oder (2)-(3) ....
>
Da steht: "löse [mm] \underline{mal} [/mm] (b)" = Aufgabe (b)
Damit ist (c) einfacher-...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:50 Do 14.06.2007 | | Autor: | kobo |
> Puh, das ist ja mal ein Quatsch Nicht bös gemeint!!!
> Die Dimension ist eine natürliche Zahl = Anzahl der
> Basisvektoren!!!!
Achso, immer schon direkt sein dann versteh ich es aus ;)
also [mm] dim(U_{2}) [/mm] = 3
> sie sind abhängig: [mm]u_3=\frac{2}{3}u_1-\frac{1}{3}u_2!!![/mm]
>
> Also [mm]dim(U_2)=2(=dim(U_1))[/mm]
ah okay, klingt logisch *g*
könnte man nun eigentlich auch [mm] u_{1} [/mm] durch [mm] u_{2} [/mm] und [mm] u_{3} [/mm] ausdrücken? Würde ja kein Unterschied machen, welchen Vektor ich durch welche 2 anderen ausdrücke, oder?
> Da steht: "löse [mm]\underline{mal}[/mm] (b)" = Aufgabe (b)
>
> Damit ist (c) einfacher-...
>
>
> Gruß
>
> schachuzipus
Hm joa das stimmt, dann hat man nur noch 4 Unbekannte und dann ist das alles etwas einfacher :)
(1) 4b = 3c + 3d
(2) 3a + 3b = 3d
(3) a + 2b = c + 2d
(4) -7a + b = -c -8d
aus (2) folgt: a + b = d
für d in (1), (3) und (4) einsetzen...
(1) 4b = 3c + 3a + 3b [mm] \Rightarrow [/mm] b = 3c + 3a
(3) a + 2b = c + 2a + 2b [mm] \Rightarrow [/mm] - a = c
(4) -7a + b = -c - 8a - 8b [mm] \Rightarrow [/mm] a + 9b = -c
für c in (1) und (4) einsetzen...
(1) b = -3a +3a [mm] \Rightarrow [/mm] b = 0
... da b = 0 ...
(4) a = -c
aus (2) folgt dann für a + 0 = d [mm] \Rightarrow [/mm] a = d
Somit folgt:
a = beliebig
b = 0
c = -a
d = a
lieg ich damit richtig ?
daraus würde dann ja folgen:
[mm]a*u_{1} + 0*u_{2} = -a*u_{3} + a*u_{4}[/mm]
und durch einsetzen:
[mm] a*\vektor{0 \\ 3 \\ 1 \\ -7} [/mm] = [mm] -a*\vektor{3 \\ 0 \\ 1 \\ -1} [/mm] + [mm] a*\vektor{3 \\ 3 \\ 2 \\ -8}
[/mm]
Und somit ist die Basis für [mm] U_{1} \cap U_{2}:
[/mm]
[mm] (\vektor{0 \\ 3 \\ 1 \\ -7})
[/mm]
Stimmt das soweit?
Und wie sieht das aus mit [mm] U_{1} [/mm] + [mm] U_{2}? [/mm] Wäre da eine Basis z.B.:
[mm] (\vektor{0 \\ 3 \\ 1 \\ -7}, \vektor{4 \\ 3 \\ 2 \\ 1}, \vektor{3 \\ 0 \\ 1 \\ -1})
[/mm]
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Hallo kobo,
> könnte man nun eigentlich auch [mm]u_{1}[/mm] durch [mm]u_{2}[/mm] und [mm]u_{3}[/mm]
> ausdrücken? Würde ja kein Unterschied machen, welchen
> Vektor ich durch welche 2 anderen ausdrücke, oder?
Jo, kann man, probiers doch mal...
> Hm joa das stimmt, dann hat man nur noch 4 Unbekannte und
> dann ist das alles etwas einfacher :)
>
>
> (1) 4b = 3c + 3d
> (2) 3a + 3b = 3d
> (3) a + 2b = c + 2d
> (4) -7a + b = -c -8d
>
> aus (2) folgt: a + b = d
>
> für d in (1), (3) und (4) einsetzen...
>
> (1) 4b = 3c + 3a + 3b [mm]\Rightarrow[/mm] b = 3c + 3a
> (3) a + 2b = c + 2a + 2b [mm]\Rightarrow[/mm] - a = c
> (4) -7a + b = -c - 8a - 8b [mm]\Rightarrow[/mm] a + 9b = -c
>
> für c in (1) und (4) einsetzen...
>
> (1) b = -3a +3a [mm]\Rightarrow[/mm] b = 0
> ... da b = 0 ...
> (4) a = -c
>
> aus (2) folgt dann für a + 0 = d [mm]\Rightarrow[/mm] a = d
>
> Somit folgt:
>
> a = beliebig
> b = 0
> c = -a
> d = a
>
> lieg ich damit richtig ?
ganz genau
>
> daraus würde dann ja folgen:
>
> [mm]a*u_{1} + 0*u_{2} = -a*u_{3} + a*u_{4}[/mm]
>
> und durch einsetzen:
>
> [mm]a*\vektor{0 \\ 3 \\ 1 \\ -7}[/mm] = [mm]-a*\vektor{3 \\ 0 \\ 1 \\ -1}[/mm]
> + [mm]a*\vektor{3 \\ 3 \\ 2 \\ -8}[/mm]
>
>
> Und somit ist die Basis für [mm]U_{1} \cap U_{2}:[/mm]
>
> [mm](\vektor{0 \\ 3 \\ 1 \\ -7})[/mm]
Also [mm] U_1\cap U_2=<\vektor{0 \\ 3 \\ 1 \\ -7}>, [/mm] also [mm] dim(U_1\cap U_2)=1
[/mm]
>
>
> Stimmt das soweit?
JA!!
>
> Und wie sieht das aus mit [mm]U_{1}[/mm] + [mm]U_{2}?[/mm] Wäre da eine Basis
> z.B.:
>
> [mm](\vektor{0 \\ 3 \\ 1 \\ -7}, \vektor{4 \\ 3 \\ 2 \\ 1}, \vektor{3 \\ 0 \\ 1 \\ -1})[/mm]
>
Wie hast du's denn gerechnet, ich habe gerade keine gesteigerte Lust, das nachzurechnen, poste doch mal deine Rechenschritte, dann gucken wir drüber... ist weniger Arbeit
LG
schachuzipus
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:02 Sa 16.06.2007 | | Autor: | kobo |
> Wie hast du's denn gerechnet, ich habe gerade keine
> gesteigerte Lust, das nachzurechnen, poste doch mal deine
> Rechenschritte, dann gucken wir drüber... ist weniger
> Arbeit
Nuja, also es gilt ja, dass wenn man die Basis von [mm] U_{1}\capU_{2} [/mm] zu einer Basis von [mm] U_{1} [/mm] sowie zu einer von [mm] U_{2} [/mm] ergänzt und diese dann vereinigt, erhält man eine Basis von [mm] U_{1}+U_{2}.
[/mm]
Und da hab ich einfach [mm] \vektor{0 \\ 3 \\ 1 \\ -7} [/mm] mit Vektoren von [mm] U_{1} [/mm] und [mm] U_{2} [/mm] erweitert.
Und somit bin ich zu diesem Ergebnis gekommen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Mo 18.06.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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