Basisebene in Normalvektorform < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:30 Mi 12.10.2011 | | Autor: | drahmas |
| Aufgabe | Die Punkte A(3/-2/0), B(4/6/3) und C(6/2/-1) sind die Basispunkte einer dreiseitigen Pyramide ABCD mit der Spitze D(5/1/13).
Bestimmen Sie die Gleichung der Basisebene in Normalvektorform. |
Hallo,
wenn ich die Ebene in Normalvektorform bestimmen soll, gilt ja:
[mm] \epsilon: \overrightarrow{n}*(\overrightarrow{X}-\overrightarrow{A})=0
[/mm]
Da X = beliebiger Punkt auf der Ebene, A= fester Punkt auf der Ebene und [mm] \overrightarrow{n} [/mm] = Normalvektor, ist es dann demnach richtig, den Normalvektor aus zwei der Basispunkte der Pyramide zu errechnen, z.B. [mm] \overrightarrow{ab}\times\overrightarrow{bc} [/mm] als festen Punkt z.B. "B" nimmt und als beliebigen Punkt z.B. "C" und dass dann in die Formel [mm] \epsilon: \overrightarrow{n}*(\overrightarrow{X}-\overrightarrow{A})=0 [/mm] einsetzt? Oder liege ich da komplett falsch?
Besten Dank
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Hallo,
ein wenig Kuddelmuddel hast du in deinen Überlegungen noch drin:
- für den Normalenvektor benötigst du drei Punkte oder zwei Kantenvektoren (das meinst du wohl aber so)
- für den festen Punkt kannst du B nehmen, ja. Aber der freie Punkt ist und bleibt [mm] \overrightarrow{X}
[/mm]
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:14 Mi 12.10.2011 | | Autor: | drahmas |
Danke,
wäre demzufolge
[mm] \overrightarrow{AB}=\vektor{4 \\ 6 \\ 3}-\vektor{3 \\ -2 \\ 0}=\vektor{1 \\ 8 \\ 3}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{AC}=\vektor{6 \\ 2 \\ -1}-\vektor{3 \\ -2 \\ 0}=\vektor{3 \\ 4 \\ -1}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\vektor{-10 \\ 1 \\ -10}
[/mm]
[mm] \epsilon:\vektor{-10 \\ 1 \\ -10}*\begin{pmatrix}\overrightarrow{X}-\vektor{6 \\ 2 \\ -1}\end{pmatrix}=0
[/mm]
richtig?
Beste Dank…
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:22 Mi 12.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> Danke,
>
> wäre demzufolge
>
> [mm]\overrightarrow{AB}=\vektor{4 \\ 6 \\ 3}-\vektor{3 \\ -2 \\ 0}=\vektor{1 \\ 8 \\ 3}[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{AC}=\vektor{6 \\ 2 \\ -1}-\vektor{3 \\ -2 \\ 0}=\vektor{3 \\ 4 \\ -1}[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\vektor{-10 \\ 1 \\ -10}[/mm]
>
> [mm]\epsilon:\vektor{-10 \\ 1 \\ -10}*\begin{pmatrix}\overrightarrow{X}-\vektor{6 \\ 2 \\ -1}\end{pmatrix}=0[/mm]
>
> richtig?
Sieht gut aus
FRED
>
> Beste Dank…
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:30 Mi 12.10.2011 | | Autor: | drahmas |
Danke,
wenn ich die höhe der Pyramide bestimmen soll, kann ich ja der Einfachheit halber, die Höhe zw. Ebene [mm] \epsilon [/mm] und Punkt D bestimmen, oder?
[mm] h=\begin{vmatrix}
\bruch{\begin{pmatrix} -10 \\ 1 \\ -10 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix}\begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 13 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\end{pmatrix}}{\begin{vmatrix}
\begin{pmatrix} -10 \\ 1 \\ -10 \end{pmatrix}
\end{vmatrix}}
\end{vmatrix}=10,37
[/mm]
Passt das auch so?
Beste Grüße
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> Danke,
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> wenn ich die höhe der Pyramide bestimmen soll, kann ich ja
> der Einfachheit halber, die Höhe zw. Ebene [mm]\epsilon[/mm] und
> Punkt D bestimmen, oder?
Hallo,
ja, die Höhe ist der Abstand der Spitze zur Grundfläche der Pyramide.
>
> [mm]h=\begin{vmatrix} \bruch{\begin{pmatrix} -10 \\
1 \\
-10 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix}\begin{pmatrix} 5 \\
1 \\
13 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 3 \\
2 \\
0 \end{pmatrix}\end{pmatrix}}{\begin{vmatrix} \begin{pmatrix} -10 \\
1 \\
-10 \end{pmatrix} \end{vmatrix}} \end{vmatrix}=10,37[/mm]
>
> Passt das auch so?
Die Zahlen mag ich nicht nachrechnen.
Aber Du hast die falsche Ebenengleichung genommen, nicht wahr?
Gruß v. Angela
>
> Beste Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:32 Mi 12.10.2011 | | Autor: | drahmas |
Hallo,
danke für die Antwort.
Die falsche Ebenengleichung? Mir sind auf Anhieb nur zwei Normalvektorformen bekannt. Entweder die oben verwendete oder [mm] \overrightarrow{n}*\overrightarrow{x}=\overrightarrow{n}*\overrightarrow{P}, [/mm] aber das hat damit doch nichts zu tun, oder? Hab das seltsamerweise so in meinem Skript stehen, unter "Normalvektorform einer Ebene" ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]") .
Wie kann man das noch machen?
Beste Grüße
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Hallo,
es geht mir nicht um die Form Deiner Ebenengleichung, sondern um die vorkommenden Zahlen.
Gruß v. Angela
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