Basisvektor vom Unteraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | In [mm] R^{3} [/mm] sind Teilmengen [mm] U_{a}:=\{ \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}} \in R^{3} | x_{1} + 2x_{2} + 3x_{3} = a, a \in R \} [/mm] erklärt.
Für welche a [mm] \in [/mm] R ist [mm] U_{a} [/mm] ein Unterraum von [mm] R^{3} [/mm] ?
Geben Sie für diese a jeweils eine Basis von [mm] U_{a} [/mm] an. |
Mein Ansatz:
Im Unterraum muss das Nullelement enthalten sein, also muss für [mm] x_{1} [/mm] + [mm] 2x_{2} [/mm] + [mm] 3x_{3} [/mm] = 0 rauskommen.
Falls a [mm] \not= [/mm] 0, so ist [mm] U_{a} [/mm] kein Unterraum von [mm] R_{3}.
[/mm]
Also muss a=0 sein.
Nun suche ich Basisvektoren [mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}, [/mm] die die Gleichung [mm] x_{1} [/mm] + [mm] 2x_{2} [/mm] + [mm] 3x_{3} [/mm] = 0 erfüllen.
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Hallo,
lt. Aufgabenstellung werden ja mehrere Werte für a gesucht, aber ich habe nur einen Wert für a gefunden.
Außerdem, wenn ich mir den Vektor als Graph in einem Koordinatensystem vorstelle, gibt es meines Erachtens unendlich viele Basen - kann ich mir einfach eine Basis raussuchen und die für [mm] U_{0} [/mm] festlegen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:16 Sa 10.01.2015 | | Autor: | hippias |
Deine Loesung fuer $a$ ist richtig und es genuegt eine Basis - unter den unendlich vielen Moeglichkeiten - anzugeben.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:22 Sa 10.01.2015 | | Autor: | Ne0the0ne |
Alles klar, danke für die fixe Antwort.
Habe dann als Basis für [mm] U_{0} [/mm] = [mm] \{\vektor{1 \\ 1 \\ -1}\} [/mm] festgelegt.
Damit sollte die Aufgabe gänzlich gelöst sein. 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:38 Sa 10.01.2015 | | Autor: | hippias |
Achtung, Dein Vektor liegt zwar in [mm] $U_{0}$, [/mm] aber er spannt den Raum nicht auf: [mm] $U_{0}$ [/mm] ist groesser.
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Stimmt.
Die Basis von [mm] R^{3} [/mm] muss ja aus (höchstens?) drei l.u. Vektoren bestehen.
Müssen dann diese fehlende Vektoren auch die Bedingung [mm] x_{1}+2x_{2}+3x_{3}=0 [/mm] erfüllen?
Dann müsste ich also noch 2 weitere Vektoren finden.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:14 Sa 10.01.2015 | | Autor: | hippias |
> Stimmt.
> Die Basis von [mm]R^{3}[/mm] muss ja aus (höchstens?) drei l.u.
> Vektoren bestehen.
> Müssen dann diese fehlende Vektoren auch die Bedingung
> [mm]x_{1}+2x_{2}+3x_{3}=0[/mm] erfüllen?
Lies' doch die Aufgabenstellung: darin steht nichts davon, dass eine Basis von [mm] $\IR^{3}$ [/mm] gefragt ist.
> Dann müsste ich also noch 2 weitere Vektoren finden.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:57 Sa 10.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> Stimmt.
> Die Basis von [mm]R^{3}[/mm] muss ja aus (höchstens?) drei l.u.
> Vektoren bestehen.
> Müssen dann diese fehlende Vektoren auch die Bedingung
> [mm]x_{1}+2x_{2}+3x_{3}=0[/mm] erfüllen?
> Dann müsste ich also noch 2 weitere Vektoren finden.
Die Gl. [mm]x_{1}+2x_{2}+3x_{3}=0[/mm] beschreibt eine Ebene im [mm] \IR^3 [/mm] (die den Ursprung enthält.
Das bedeutet: dim [mm] U_0=2.
[/mm]
In der Schule hast Du doch sicher die Koordinatenform einer Ebene in Parameterform umgewandelt. Mach das hier mal. Dann kannst Du Basisvektoren locker ablesen !
FRED
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In der Tat habe ich im Abitur Ebenengleichung umgeformt.
Dabei weiß ich, das dann von [mm] x_{1}+2x_{2}+3x_{3}=0 [/mm] der Normalenvektor [mm] \overrightarrow{n} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] ist.
Der Normalenvektor [mm] \overrightarrow{n} [/mm] muss dann jetzt mit beiden Richtungsvektoren [mm] \overrightarrow{a} [/mm] und [mm] \overrightarrow{b} [/mm] bei der Multiplikation, also [mm] \overrightarrow{n} [/mm] * [mm] \overrightarrow{a/b}=0 [/mm] ergeben.
Sind dann die Richtungsvektoren mögliche Basisvektoren von [mm] U_{0}?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:00 Sa 10.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> In der Tat habe ich im Abitur Ebenengleichung umgeformt.
>
> Dabei weiß ich, das dann von [mm]x_{1}+2x_{2}+3x_{3}=0[/mm] der
> Normalenvektor [mm]\overrightarrow{n}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 3}[/mm]
> ist.
>
> Der Normalenvektor [mm]\overrightarrow{n}[/mm] muss dann jetzt mit
> beiden Richtungsvektoren [mm]\overrightarrow{a}[/mm] und
> [mm]\overrightarrow{b}[/mm] bei der Multiplikation, also
> [mm]\overrightarrow{n}[/mm] * [mm]\overrightarrow{a/b}=0[/mm] ergeben.
>
> Sind dann die Richtungsvektoren mögliche Basisvektoren von
> [mm]U_{0}?[/mm]
Ja
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:03 Sa 10.01.2015 | | Autor: | Ne0the0ne |
Wie immer ein Riesendank an allen fleißigen Tipper.
Dank euch bin ich wieder ein Stück näher zum Erfolg, durch die Klausur zu kommen!
MfG Ne0the0ne
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