Basisvektoren, Basislösung < Operations Research < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:57 Mi 19.10.2011 | | Autor: | Marcel08 |
| Aufgabe | | Das System Ax=b, [mm] x_{1}\in\IR, x_{i}\ge0 [/mm] für i=2,...,n geht durch die Substitution [mm] x_{1}:=x_{1}'-x_{1}'' [/mm] mit [mm] x_{1}'\ge0 [/mm] und [mm] x_{1}''\ge0 [/mm] in ein LP mit nichtnegativen Entscheidungsvariablen über. Zeigen Sie, dass in jeder Basislösung [mm] x_{1}'*x_{1}''=0 [/mm] gilt! |
Hallo zusammen!
Für den Fall, dass m'=rang(A) den Rang der [mm] (m\times{n})-Matrix [/mm] A bezeichnet, liegt eine Basislösung x genau dann vor, wenn n-m' der Variablen [mm] x_{i} [/mm] gleich 0 und die zu den restlichen Variablen gehörenden Spaltenvektoren [mm] a_{j} [/mm] linear unabhängig sind.
Angenommen sei nun der nichttriviale Fall, dass [mm] x_{1} [/mm] ein Basisvektor einer Basislösung ist. Aus der Beziehung [mm] x_{1}:=x_{1}'-x_{1}'' [/mm] folgt unmittelbar, dass auch die Differenz [mm] x_{1}'-x_{1}'' [/mm] und somit auch [mm] x_{1}' [/mm] und [mm] x_{1}'' [/mm] selbst Basisvektoren der betrachteten Basislösung sind. (Darf man das hier so einfach auftrennen?)
Dies würde allerdings bedeuten, dass die Anzahl der Basisvektoren die Dimension der betrachteten Basislösung (genau um einen Basisvektor) übersteigt, infolgedessen das vorliegende System der Basisvektoren nicht mehr linear unabhängig sein kann.
Daraus wiederum schließe ich, dass die beiden Basisvektoren [mm] x_{1}' [/mm] und [mm] x_{1}'' [/mm] nicht zusammen in einer (linear unabhängigen) Basislösung auftreten können, womit dann die Beziehung [mm] x_{1}'*x_{1}''=0 [/mm] gezeigt wäre.
Kann man die Aufgabe auf diese Weise lösen? Gibt es möglicherweise an irgendeiner Stelle Unstimmigkeiten? Über hilfreiche Tipps würde ich mich freuen; vielen Dank!
Viele Grüße, Marcel
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:46 Fr 21.10.2011 | | Autor: | Stoecki |
so ganz stimmt das nicht. wären beide variablen, die x = [mm] x^{+}-x^{-} [/mm] in der basis, müsste eine andere variable einfach nur dafür rausfliegen. das wäre bei deiner argumentation möglich. aber betrachte mal die koeffizienten vor dem [mm] x^{+} [/mm] und dem [mm] x^{-}. [/mm] eine basismatrix muss immer den vollen rang haben. wie ist das denn hier?
gruß bernhard
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:44 Fr 21.10.2011 | | Autor: | Marcel08 |
Hallo!
> so ganz stimmt das nicht. wären beide variablen, die x =
> [mm]x^{+}-x^{-}[/mm] in der basis, müsste eine andere variable
> einfach nur dafür rausfliegen. das wäre bei deiner
> argumentation möglich. aber betrachte mal die
> koeffizienten vor dem [mm]x^{+}[/mm] und dem [mm]x^{-}.[/mm] eine basismatrix
> muss immer den vollen rang haben. wie ist das denn hier?
Nun ja, die beiden Variablen [mm] x^{+} [/mm] und [mm] x^{-} [/mm] unterscheiden sich innerhalb der angegebenen Beziehung [mm] x_{1}=x^{+}-x^{-} [/mm] nur durch den Faktor (-1). Analytisch müsste das Ganze wie folgt aussehen:
[mm] Ax=b\gdw\pmat{ a11 & \cdots & a1n \\ \vdots & & \vdots \\ am1 & \cdots & amn }*\vektor{x'-x'' \\ x2 \\ \vdots \\ xn}=\vektor{b1 \\ \vdots \\ bm}\gdw\pmat{ a11*x'-a11*x''+\cdots+a1n*xn \\ a21*x'-a21*x''+\cdots+a2n*xn \\ \vdots \\ am1*x'-am1*x''+\cdots+amn*xn }=\vektor{b1 \\ \vdots \\ bm }
[/mm]
Dabei wären dann die ersten beiden Spaltenvektoren des berechneten Matrizenproduktes linear abhängig. Kann man das so sehen?
> gruß bernhard
Viele Grüße, Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:49 Mo 24.10.2011 | | Autor: | Marcel08 |
Eine Antwort würde mich nach wie vor interessieren, vielen Dank!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:10 Mo 24.10.2011 | | Autor: | Stoecki |
ja. da die basislösung aber wie der name schon sagt aus einer basismatrix bestehen muss, sprich vollen rang hat, ist eine der beiden variablen immer im nichtbasisteil. und das war zu zeigen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:42 Mo 24.10.2011 | | Autor: | Marcel08 |
Vielen Dank!
|
|
|
|
