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| Aufgabe | Basen: [mm] C=(v_{1},v_{2}), B=(e_{1},e_{2}) [/mm] wobei [mm] v_{1}=(2,-1), v_{2}=(1,1), [/mm] und [mm] e_{1}, e_{2} [/mm] jeweils die Standardbasisvektoren
f=(2x+2y,x+3y) Und ich soll jetzt Matrix zur Basis C berechnen. |
Nun haben wir in den Übungen den Weg gewählt:
[mm] f(v_{1})=(2,-1)=1*v_{1}+0*v_{2}
[/mm]
[mm] f(v_{2})=(4,4) =0*v_{1}+4*v_{2} [/mm] dann wäre die Matrix ja gefunden.
Nun habe ich mir aber gedacht, dass es genauso gut mit der Transformationsformel lösen kann.
Die Matrix zur Basis B ist [mm] \pmat{ 2 & 2 \\ 1 & 3 }
[/mm]
Dann brauche ich noch die Übergangsmatrizen:
also als erstes die Basisvektoren von B mit Hilfe der Basisvektoren von C ausdrücken:
[mm] f(e_{1})=(2,1)=\bruch{1}{3}*v_{1}+\bruch{4}{3}*v_{2}
[/mm]
[mm] f(e_{2})=(2,3)=\bruch{-1}{3}*v_{1}+\bruch{8}{3}*v_{2}
[/mm]
dann die 2.Übergangsmatrix:
[mm] f(v_{1})=(2,-1)=2*e_{1}-1*e_{2}
[/mm]
[mm] f(v_{2})=(4,4)=4*e_{1}+4*e_{2}
[/mm]
Nun möchte ich so die gesuchte Matrixberechnen,also
[mm] \pmat{ \bruch{1}{3} & \bruch{-1}{3} \\ \bruch{4}{3} & \bruch{8}{3} } [/mm] * [mm] \pmat{ 2 & 2 \\ 2 & 3 } [/mm] * [mm] \pmat{ 2 & -1 \\ 4 & 4 }
[/mm]
Nur komme ich da nicht auf
[mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 4 }
[/mm]
Macvhe ich einen Denkfehler oder ist mir ein Rechnefehler unterlaufen? Wäre sehr froh um Tipps jeglicher Art.. Diese Basenwechsel sind mir nichtganz geheuer.. :s
vielen lieben Dank, Grenzwert
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> Basen: [mm]C=(v_{1},v_{2}), B=(e_{1},e_{2})[/mm] wobei [mm]v_{1}=(2,-1), v_{2}=(1,1),[/mm]
> und [mm]e_{1}, e_{2}[/mm] jeweils die Standardbasisvektoren
> f=(2x+2y,x+3y) Und ich soll jetzt Matrix zur Basis C
> berechnen.
> Nun haben wir in den Übungen den Weg gewählt:
> [mm]f(v_{1})=(2,-1)=1*v_{1}+0*v_{2}[/mm]
> [mm]f(v_{2})=(4,4) =0*v_{1}+4*v_{2}[/mm] dann wäre die Matrix ja
> gefunden.
>
> Nun habe ich mir aber gedacht, dass es genauso gut mit der
> Transformationsformel lösen kann.
> Die Matrix zur Basis B ist [mm]\pmat{ 2 & 2 \\ 1 & 3 }[/mm]
>
> Dann brauche ich noch die Übergangsmatrizen:
> also als erstes die Basisvektoren von B mit Hilfe der
> Basisvektoren von C ausdrücken:
> [mm]f(e_{1})=(2,1)=\bruch{1}{3}*v_{1}+\bruch{4}{3}*v_{2}[/mm]
> [mm]f(e_{2})=(2,3)=\bruch{-1}{3}*v_{1}+\bruch{8}{3}*v_{2}[/mm]
Ja, aber: "die Basisvektoren von $B$" sind [mm] $e_1$ [/mm] und [mm] $e_2$ [/mm] und nicht etwa [mm] $f(e_1)$ [/mm] und [mm] $f(e_2)$ [/mm] (dies sind die Bilder der Basisvektoren von $B$ unter $f$). Also verwende besser folgende Beziehung:
[mm]e_1 = \frac{1}{3}v_1+\frac{1}{3}v_2[/mm]
[mm]e_2 = -\frac{1}{3}v_1+\frac{2}{3}v_2[/mm]
usw. usf.
Nachtrag (1. Revision): Die Beziehungen
[mm]v_1 = 2e_1-e_2[/mm] und [mm]v_2=e_1+e_2[/mm] sind gegeben, also können wir nun gleich die gesuchte Matrix von $f$ bezüglich der neuen Basis $C$ berechnen:
[mm]\pmat{\frac{1}{3} & -\frac{1}{3}\\\frac{1}{3} & \frac{2}{3}} \pmat{2 & 2 \\ 1 & 3}\pmat{2 & 1\\-1 & 1}=\pmat{1 & 0\\0 & 4}[/mm]
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