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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:26 Mi 02.02.2005 | | Autor: | Shaguar |
Moin,
lerne grade für LA-Klausur und bei dem Basiswechsel steht noch nen großes Fragezeichen. Wir hatten zwar mal ne Aufgabe in der Übung aber die hat uns der Tutor praktisch vorgerechnet und zum grundsäztlichen Verfahren leider nicht viel erzählt. War jetzt auf unzähligen Seiten und hab in Scripten rumgeforscht und wollte jetzt nochmal nen Feedback ob ich das so Richtig verstanden habe.
Also gegeben ist eine Matrix A [mm] \in K^{n\timesn} [/mm] mit der Basis [mm] B={b_1,...,b_n}.
[/mm]
Stelle A bezüglich der Basis [mm] C={c_1,...,c_n} [/mm] dar.
So lautet ja ungefähr immer die Aufgabenstellung.
Ich würde jetzt die Basisvektoren von C durch die von B darstellen:
[mm] c_1=\alpha_1b_1+....+\alpha_nb_n
[/mm]
[mm] c_2=\beta_1b_1+...+\beta_nbn
[/mm]
[mm] \vdots
[/mm]
[mm] c_n=\gamma_1b1+...\gamma_nb_n
[/mm]
Aus den Koeefizienten würde ich nun die Übergangsmatrix(Transformationsmatrix) S folgendermaßen bekommen:
[mm] S=\pmat{\alpha_1 & \cdots & \alpha_n \\ \beta_1 & \cdots & \beta_n \\ \vdots & & \vdots \\ \gamma_1 & \cdots & \gamma_n}
[/mm]
So und wenn ich jetzt die Matrix A bezüglich C darstellen will muss ich folgendes rechnen:
[m]A'=S*A*S^{-1}[/m]
Dann ist A' doch die gesuchte Matrix oder?
_________________________________________________________________
Mhh ich habe auch noch andere Methoden gefunden z.B.:
Die Basis B als Matrix(B') geschrieben mit den Basisvektoren als Spaltenvektoren.
Die Basis C als Matrix(C') geschrieben mit den Basisvektoren als Spaltenvektoren.
Dann ist die Transformationsmatrix S=B'^{-1}*C'
genauere Angaben ![[]](/images/popup.gif) hier
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Kann jemand mir helfen bzw. sagen, ob ich das so richtig verstanden hat?
Vielen Dank
Shaguar
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:33 Mi 02.02.2005 | | Autor: | Micha |
Hallo!
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> Also gegeben ist eine Matrix A [mm]\in K^{n\timesn}[/mm] mit der
> Basis [mm]B={b_1,...,b_n}.
[/mm]
> Stelle A bezüglich der Basis [mm]C={c_1,...,c_n}[/mm] dar.
>
> So lautet ja ungefähr immer die Aufgabenstellung.
>
> Ich würde jetzt die Basisvektoren von C durch die von B
> darstellen:
>
> [mm]c_1=\alpha_1b_1+....+\alpha_nb_n
[/mm]
> [mm]c_2=\beta_1b_1+...+\beta_nbn
[/mm]
> [mm]\vdots
[/mm]
> [mm]c_n=\gamma_1b1+...\gamma_nb_n
[/mm]
>
> Aus den Koeefizienten würde ich nun die
> Übergangsmatrix(Transformationsmatrix) S folgendermaßen
> bekommen:
>
> [mm]S=\pmat{\alpha_1 & \cdots & \alpha_n \\ \beta_1 & \cdots & \beta_n \\ \vdots & & \vdots \\ \gamma_1 & \cdots & \gamma_n}
[/mm]
Grundsätzlich gilt, dass ein Basiswechsel von B nach C auch eine lineare Abbildung ist. Zu dieser linearen Abbildung gehört auch eine darstellende Matrix. Nämlich die Transformationsmatrix S. Wie bei jeder anderen linearen Abbildung auch sind dabei die Spalten der Matrix S die Bilder der Basisvektoren von der Basis, von der du ausgehst (hier also B). Damit ist deine Matrix einfach transponiert die, die du eigentlich haben willst!
>
>
> So und wenn ich jetzt die Matrix A bezüglich C darstellen
> will muss ich folgendes rechnen:
>
> [m]A'=S*A*S^{-1}[/m]
Das ist richtig so! Aber aufgepasst! [mm] S^{-1} [/mm] transformiert in die entgegengesetzte Richtung wie S (also Vektoren aus C-Darstellung werden zu Vektoren in B-Darstellung). Dann verarbeitet die Matrix A, die die darstellende Matrix zur Basis B ist, die Vektoren zu anderen Vektoren in der B-Darstellung und das S wandelt die Vektoren wieder zurück in die C-Darstellung.
Die Warnung deshalb, weil die Schreibweise [mm] SAS^{-1} [/mm] auch mal als [mm] S^{-1}AS [/mm] auftaucht und umgekehrt. Einige Professoren machen da ein ziemliches Durcheinander zum Teil. Also immer dazu Gedanken machen, was die Matrizen eigentlich verarbeiten und in welcher Basisdarstellung!
>
> Dann ist A' doch die gesuchte Matrix oder?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") ok.
Gruß Micha 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:48 Mi 02.02.2005 | | Autor: | Shaguar |
Moin,
Danke für die schnelle Antwort das hilft mir schon sehr weiter!!!
> Hallo!
> >
> > Also gegeben ist eine Matrix A [mm]\in K^{n\timesn}[/mm] mit der
>
> > Basis [mm]B={b_1,...,b_n}.
[/mm]
> > Stelle A bezüglich der Basis [mm]C={c_1,...,c_n}[/mm] dar.
> >
> > So lautet ja ungefähr immer die Aufgabenstellung.
> >
> > Ich würde jetzt die Basisvektoren von C durch die von B
>
> > darstellen:
> >
> > [mm]c_1=\alpha_1b_1+....+\alpha_nb_n
[/mm]
> > [mm]c_2=\beta_1b_1+...+\beta_nbn
[/mm]
> > [mm]\vdots
[/mm]
> > [mm]c_n=\gamma_1b1+...\gamma_nb_n
[/mm]
> >
> > Aus den Koeefizienten würde ich nun die
> > Übergangsmatrix(Transformationsmatrix) S folgendermaßen
>
> > bekommen:
> >
> > [mm] S=\pmat{\alpha_1 & \cdots & \alpha_n \\ \beta_1 & \cdots & \beta_n \\ \vdots & & \vdots \\ \gamma_1 & \cdots & \gamma_n}
[/mm]
>
>
> Grundsätzlich gilt, dass ein Basiswechsel von B nach C auch
> eine lineare Abbildung ist.
klar
>Zu dieser linearen Abbildung
> gehört auch eine darstellende Matrix. Nämlich die
> Transformationsmatrix S. Wie bei jeder anderen linearen
> Abbildung auch sind dabei die Spalten der Matrix S die
> Bilder der Basisvektoren von der Basis, von der du ausgehst
> (hier also B). Damit ist deine Matrix einfach transponiert
> die, die du eigentlich haben willst!
Also müsste mein S so aussehen:
[mm] S=\pmat{\alpha_1 & \beta_1 & \cdots & \gamma_1 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \alpha_n & \beta_n & \cdots & \gamma_n}
[/mm]
Würde mich wunder könntest du dir das nochmal genau anschauen. Ich habe nämlich nicht die Basisvektoren sondern die Koeffizienten in die Matrix geschrieben.
> >
> >
> > So und wenn ich jetzt die Matrix A bezüglich C darstellen
>
> > will muss ich folgendes rechnen:
> >
> > [m]A'=S*A*S^{-1}[/m]
>
> Das ist richtig so! Aber aufgepasst! [mm]S^{-1}[/mm] transformiert
> in die entgegengesetzte Richtung wie S (also Vektoren aus
> C-Darstellung werden zu Vektoren in B-Darstellung). Dann
> verarbeitet die Matrix A, die die darstellende Matrix zur
> Basis B ist, die Vektoren zu anderen Vektoren in der
> B-Darstellung und das S wandelt die Vektoren wieder zurück
> in die C-Darstellung.
> Die Warnung deshalb, weil die Schreibweise [mm]SAS^{-1}[/mm] auch
> mal als [mm]S^{-1}AS[/mm] auftaucht und umgekehrt. Einige
> Professoren machen da ein ziemliches Durcheinander zum
> Teil. Also immer dazu Gedanken machen, was die Matrizen
> eigentlich verarbeiten und in welcher Basisdarstellung!
Ja dieses Durcheinander ging direkt aus der Vorlesung in meinen Kopf.
ich schreib es nochmal auf zum verstehen: man rechnet ja von rechts nach links
[mm] A*S^{-1} [/mm] die entstehende Matrix(A'') beschreibt die lineare Abbildung in B
S*A''=A' beschreibt dann die lineare Abbildung in C so wie wir das wollen.
mhh ich hab das verstanden.
>
> >
> > Dann ist A' doch die gesuchte Matrix oder?
> ok.
>
> Gruß Micha
>
Und wenn ich das richtig verstanden habe kann ich auch wie schon in der ersten Frage erwähnt auch so machen um auf S zu kommen:
ich nehme einfach das Bsp von der Seite wo ich das herhabe:
[mm] B={\vektor{1\\2\\3},\vektor{1\\3\\5},\vektor{1\\3\\6}}
[/mm]
[mm] C={\vektor{1\\1\\1},\vektor{-2\\1\\1},\vektor{3\\5\\6}}
[/mm]
=> [mm] V=\pmat{1&1&1\\2&3&3\\3&5&6} W=\pmat{1&-2&3\\1&1&5\\1&1&6}
[/mm]
[mm] V^{-1}=\pmat{3&-1&0\\-3&3&-1\\1&-2&1}
[/mm]
[mm] S=V^{-1}*W=\pmat{2&-7&4\\-1&8&0\\0&-3&-1}
[/mm]
Und dann zu einem A dargestellt in B gilt dann A' dargestellt in C
[mm] A'=SAS^{-1}
[/mm]
Stimmt das so?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:23 Do 03.02.2005 | | Autor: | Micha |
Hallo nochmal!
>
>
> Würde mich wunder könntest du dir das nochmal genau
> anschauen. Ich habe nämlich nicht die Basisvektoren sondern
> die Koeffizienten in die Matrix geschrieben.
???
> Ja dieses Durcheinander ging direkt aus der Vorlesung in
> meinen Kopf.
> ich schreib es nochmal auf zum verstehen: man rechnet ja
> von rechts nach links
exakt
> [mm]A*S^{-1}[/mm] die entstehende Matrix(A'') beschreibt die lineare
> Abbildung in B
> S*A''=A' beschreibt dann die lineare Abbildung in C so
> wie wir das wollen.
> mhh ich hab das verstanden.
gut... 
>
> Und wenn ich das richtig verstanden habe kann ich auch wie
> schon in der ersten Frage erwähnt auch so machen um auf S
> zu kommen:
> ich nehme einfach das Bsp von der Seite wo ich das
> herhabe:
>
>
>
>
> [mm]B={\vektor{1\\2\\3},\vektor{1\\3\\5},\vektor{1\\3\\6}}
[/mm]
> [mm]C={\vektor{1\\1\\1},\vektor{-2\\1\\1},\vektor{3\\5\\6}}
[/mm]
>
> => [mm]V=\pmat{1&1&1\\2&3&3\\3&5&6} W=\pmat{1&-2&3\\1&1&5\\1&1&6}
[/mm]
>
> [mm]V^{-1}=\pmat{3&-1&0\\-3&3&-1\\1&-2&1}
[/mm]
>
> [mm]S=V^{-1}*W=\pmat{2&-7&4\\-1&8&0\\0&-3&-1}
[/mm]
>
> Und dann zu einem A dargestellt in B gilt dann A'
> dargestellt in C
> [mm]A'=SAS^{-1}
[/mm]
>
>
> Stimmt das so?
>
Um den Basiswechsel von B nach C auszudrücken musst du den Umweg über die kanonische Basisnehmen (das ist das, was du machst, wenn du die Basisvektoren in die Matrix schreibst.) Ich habe die mal das Schema aufgezeichnet, was du dabei eigentlich machst.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Du siehst, dass ich für den Weg in Richtung S auch den Weg V rückwärts laufen kann [mm] ($V^{-1}$) [/mm] und anschließend in Richtung W gehen. Also muss auch in der Reihenfolge die Verknüpfung der Matrizen sein. (Ich bitte hierbei zu entschuldigen, dass ich die Abbildungen entsprechend ihrer Matrizen benannt habe, aber ich denke so wird es am deutlichsten.)
Kurzum: $S = [mm] W$$V^{-1}$ [/mm] und nicht die umgekehrte Reihenfolge!
Gruß Micha
(Gute Nacht!)
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: GIF) [nicht öffentlich]
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