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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:52 Mi 21.01.2009 | | Autor: | ownshake |
| Aufgabe | Im [mm] \IR^2 [/mm] seien die Vektoren
u1= [mm] \vektor{2 \\ 1}, [/mm] u2= [mm] \vektor{1 \\ 2}
[/mm]
v1= [mm] \vektor{1 \\ 0}, [/mm] v2= [mm] \vektor{1 \\ 1}
[/mm]
gegeben.
a) Bestimmen sie die Transformationsmatrix T, um von der Basis {v1,v2} zur Basis {u1,u2} zu wechseln
b) Gegeben sei der Vektor x=3v1-v2. Benutzen Sie Aufgabenteil a), um die neuen Koordinaten des Vektors x bezüglich der Basis {u1,u2} zu bestimmen. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Guten Morgen :),
also Aufgabenteil a habe ich versucht alleine zu lösen. Da wir dieses Thema irgendwie noch nicht in der Vorlesung hatten, bin ich mir sehr unsicher, ob ich das so richtig gelöst habe.
Ich stelle jetzt mal meine Lösung rein:
a)
Basis {v1,v2} = B
Basis {u1,u2} = B'
S = Standardbarsis
Um eine Transformation von B nach B' durchzuführen, kann man erst B nach S transformieren und dann S nach B'.
Transformation von B nach S:
[mm] _{B}T_{S} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 } [/mm] = S
Die Transformationdmatrix von S nach B' bekommt man durch:
[mm] _{S}T_{B'} [/mm] = [mm] (_{B'}T_{S})^{-1}
[/mm]
Die Transformationsmatrix B' nach S besteht aus den Spalten der Basis B', welche man dann noch invertieren muss.
Um [mm] (_{B'}T_{S})^{-1} [/mm] zu bekommen muss man die Inverse der Matrix B' berechnen:
B' = [mm] \pmat{ 2 & 1 \\ 1 & 2 }
[/mm]
Inverse der Matrix berechnen:
Als Ergebnis habe ich dann:
[mm] (_{B'}T_{S})^{-1} [/mm] = [mm] \pmat{ \bruch{2}{3} & -\bruch{1}{3} \\ -\bruch{1}{3} & \bruch{2}{3} } [/mm] = B'
Nun bildet man noch das Produkt und man erhält die Transformationsmatrix B nach B':
[mm] \pmat{ \bruch{2}{3} & -\bruch{1}{3} \\ -\bruch{1}{3} & \bruch{2}{3} } [/mm] * [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 } [/mm] = [mm] \pmat{ \bruch{2}{3} & \bruch{1}{3} \\ \bruch{1}{3} & \bruch{1}{3} } [/mm] = T
Ich habe mich bei dieser Rechnung an einen guten Artikel aus diesem Forum gehalten...von Matheplanet.
Ich hoffe ich habe das alles richtig verstanden.
Kann mir jemand sagen, ob diese Lösung für Aufgabenteil a) so richtig ist?
Zu Aufgabenteil b)
Naja hier habe ich kaum was zu.
Vektor x= 3v1-v2
Da dachte ich mir:
Vektor x = [mm] 3*\vektor{1 \\ 0} [/mm] - [mm] \vektor{1 \\ 1}
[/mm]
= [mm] \vektor{3 \\ 0} [/mm] - [mm] \vektor{1 \\ 1}
[/mm]
= [mm] \vektor{2 \\ -1}
[/mm]
Nu habe ich bloss das Problem das ich einfach nicht weiter weiß was ich damit machen soll. Vielleicht kann mir ja einer helfen. Dazu ist zu sagen, dass ich noch nicht allzu viel Ahnung von diesem Thema habe und eine ausführliche Antwort super wäre :)
Liebe Grüße ownshake
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> Im [mm]\IR^2[/mm] seien die Vektoren
> u1= [mm]\vektor{2 \\ 1},[/mm] u2= [mm]\vektor{1 \\ 2}[/mm]
> v1= [mm]\vektor{1 \\ 0},[/mm]
> v2= [mm]\vektor{1 \\ 1}[/mm]
> gegeben.
>
> a) Bestimmen sie die Transformationsmatrix T, um von der
> Basis {v1,v2} zur Basis {u1,u2} zu wechseln
>
> b) Gegeben sei der Vektor x=3v1-v2. Benutzen Sie
> Aufgabenteil a), um die neuen Koordinaten des Vektors x
> bezüglich der Basis {u1,u2} zu bestimmen.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Guten Morgen :),
> also Aufgabenteil a habe ich versucht alleine zu lösen. Da
> wir dieses Thema irgendwie noch nicht in der Vorlesung
> hatten, bin ich mir sehr unsicher, ob ich das so richtig
> gelöst habe.
> Ich stelle jetzt mal meine Lösung rein:
>
> a)
> Basis {v1,v2} = B
> Basis {u1,u2} = B'
> S = Standardbarsis
>
> Um eine Transformation von B nach B' durchzuführen, kann
> man erst B nach S transformieren und dann S nach B'.
>
> Transformation von B nach S:
> [mm]_{B}T_{S}[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }[/mm] = S
>
> Die Transformationdmatrix von S nach B' bekommt man durch:
> [mm]_{S}T_{B'}[/mm] = [mm](_{B'}T_{S})^{-1}[/mm]
> Die Transformationsmatrix B' nach S besteht aus den
> Spalten der Basis B', welche man dann noch invertieren
> muss.
>
> Um [mm](_{B'}T_{S})^{-1}[/mm] zu bekommen muss man die Inverse der
> Matrix B' berechnen:
> B' = [mm]\pmat{ 2 & 1 \\ 1 & 2 }[/mm]
> Inverse der Matrix
> berechnen:
> Als Ergebnis habe ich dann:
> [mm](_{B'}T_{S})^{-1}[/mm] = [mm]\pmat{ \bruch{2}{3} & -\bruch{1}{3} \\ -\bruch{1}{3} & \bruch{2}{3} }[/mm]
> = B'
>
> Nun bildet man noch das Produkt und man erhält die
> Transformationsmatrix B nach B':
> [mm]\pmat{ \bruch{2}{3} & -\bruch{1}{3} \\ -\bruch{1}{3} & \bruch{2}{3} }[/mm]
> * [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }[/mm] = [mm]\pmat{ \bruch{2}{3} & \bruch{1}{3} \\ \red{-}\bruch{1}{3} & \bruch{1}{3} }[/mm]
> = T
>
> Ich habe mich bei dieser Rechnung an einen guten Artikel
> aus diesem Forum gehalten...von Matheplanet.
> Ich hoffe ich habe das alles richtig verstanden.
> Kann mir jemand sagen, ob diese Lösung für Aufgabenteil a)
> so richtig ist?
Hallo,
bis auf das Minuszeichen, welches ich eingefügt habe, ist das richtig.
(Nicht glücklich bin ich mit den Bezeichunungen Deiner Transformationsmatrizen. Macht ihr das in Eurer Vorlesung so?
In meiner Schreibweise ist [mm] _ST_B [/mm] die Matrix, die Koordinatenvektoren bzgl B in Standardkoordinaten umwandelt, also genau umgekehrt wie bei Dir, und diese Schreibweise ist recht vorteilhaft.)
Du hast nun jedenfalls die matrix gefunden, die Dir Vekoren in Koordinaten bzgl B in solche bzgl B' umwandelt.
> Zu Aufgabenteil b)
>
> Naja hier habe ich kaum was zu.
>
> Vektor x= 3v1-v2
In Koordinaten bzgl B lautet das [mm] x=\vektor{3\\-1}_{(B)}.
[/mm]
Diesen Vektor frißt Deine Matrix, heraus kommt er in Koodinaten bzgl B'. Das sind dann schon die gesuchten Koordinaten.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:05 Mi 21.01.2009 | | Autor: | ownshake |
Hey,
danke für deine Antwort.
Wie kommst du auf diesen Vektor:
$ [mm] x=\vektor{3\\-1}_{(B)}. [/mm] $ ?
ich kam auf
$ [mm] x=\vektor{2\\-1} [/mm] $
und was heisst ich gebe meiner Matrix den Vektor?
Meinst du damit das ich meine Matrix T mit dem Vektor multipliziere?
Oder Was genau macht man damit?
Wir hatten dieses ganze Thema noch nicht in der Vorlesung, deswegen weiß ich auch nicht wie man Sachen richtig benennt und wie man das überhaupt u lösen hat.
Wäre nett, wenn du mir nochmal hilst
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> Hey,
> danke für deine Antwort.
>
> Wie kommst du auf diesen Vektor:
>
> [mm]x=\vektor{3\\-1}_{(B)}.[/mm] ?
Hallo,
weil Du geschreiben hast x= [mm] 3v_1-v_2.
[/mm]
also hat der Vektor x bzgl der Basis [mm] (v_1, v_2) [/mm] die Koordinaten [mm] \vektor{3\\-1}_{(B)}.
[/mm]
Mit dem Index kennzeichne ich, daß es Koordinaten bzgl B sind.
>
> ich kam auf
>
> [mm]x=\vektor{2\\-1}[/mm]
>
> und was heisst ich gebe meiner Matrix den Vektor?
> Meinst du damit das ich meine Matrix T mit dem Vektor
> multipliziere?
Ja, natürlich. Heraus kommen dann die Koordinaten von x bzgl. [mm] (u_1,u_2).
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:39 Mi 21.01.2009 | | Autor: | ownshake |
ICh habe jetzt gerechnet:
$ [mm] \pmat{ \bruch{2}{3} & \bruch{1}{3} \\ -\bruch{1}{3} & \bruch{1}{3} } [/mm] $ * [mm] \vektor{3 \\ -1}
[/mm]
und erhalte:
[mm] \vektor{3 \\ \bruch{2}{3}}
[/mm]
Und das wären dann die Koordinaten des Vektors x bezüglich der Basis {u1,u2} oder?
Obwohl ich immernoch nicht verstehte woher der Vektor [mm] \vektor{3}{-1} [/mm] kommt. Ich verstehe nicht wie man darauf kommt. Für mich wäre [mm] \vektor{2}{-1} [/mm] logisch. Sorry das ich mich so blöd anstelle, aber ich komm da nicht hinter.
Stimmt denn ansich das ergebnis dann für Teil b?
[mm] \vektor{3 \\ \bruch{2}{3}}
[/mm]
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> ICh habe jetzt gerechnet:
>
> [mm]\pmat{ \bruch{2}{3} & \bruch{1}{3} \\ -\bruch{1}{3} & \bruch{1}{3} }[/mm]
> * [mm]\vektor{3 \\ -1}[/mm]
Hallo,
ja, das muß man rechnen.
> und erhalte:
>
> [mm]\vektor{3 \\ \bruch{2}{3}}[/mm]
Ich erhalte was anderes.
>
> Und das wären dann die Koordinaten des Vektors x bezüglich
> der Basis {u1,u2} oder?
Genau. Mal angenommen, Dein Ergebnis wäre richtig. Das würde dann bedeuten, daß man den Vektor x schreiben kann als [mm] x=3*u_1 [/mm] - [mm] 1*u_2.
[/mm]
>
> Obwohl ich immernoch nicht verstehte woher der Vektor
> [mm]\vektor{3}{-1}[/mm] kommt. Ich verstehe nicht wie man darauf
> kommt.
Das habe ich doch eigentlich gesat: weil [mm] x=3v_1+(-1)*v_2.
[/mm]
Für mich wäre [mm]\vektor{2}{-1}[/mm] logisch.
Das, was Du sagst, sind die Koordinaten von x bzgl der Standardbasis.
> Stimmt denn ansich das ergebnis dann für Teil b?
Du hast falsch multipliziert.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:53 Mi 21.01.2009 | | Autor: | ownshake |
Ups stimmt, da hab ich mich verrechnet.
Habe jetzt
x= [mm] \vektor{3 \\ 0}
[/mm]
herausbekommen.
Hoffe das stimmt diesmal ^^
Ok jetzt habe ich das auch mit [mm] \vektor{3 \\ -1}verstanden.
[/mm]
Vielen Dank, warst mir ne große Hilfe
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:09 Mi 21.01.2009 | | Autor: | ownshake |
Ich sehe gerade ich habe mich auch falsch ausgedrückt, eher gesagt die Aufgabe etwas falsch hier aufgeschrieben, weswegen du vielleicht nicht weisst was ich meine:
Und zwar habe ich bei x und v und u die Vektorpfeile über den Buchstaben vergessen.
Es müsste so lauten:
[mm] \vec{x} [/mm] = [mm] 3\vec{v1} [/mm] - [mm] \vec{v2}
[/mm]
und [mm] \vec{v1} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0}
[/mm]
und [mm] \vec{v2} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1}
[/mm]
deswegen dachte ich um [mm] \vec{x} [/mm] zu berechnen macht man das so:
[mm] \vec{x} [/mm] = 3* [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] - [mm] \vektor{1 \\ 1}
[/mm]
[mm] \vex{x} [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 0} [/mm] - [mm] \vektor{1 \\ 1}
[/mm]
[mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ -1}
[/mm]
Und das wäre dann der Vektor den ich mit der Transformationsmatrix T multiplizieren muss?
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> Ich sehe gerade ich habe mich auch falsch ausgedrückt, eher
> gesagt die Aufgabe etwas falsch hier aufgeschrieben,
> weswegen du vielleicht nicht weisst was ich meine:
>
> Und zwar habe ich bei x und v und u die Vektorpfeile über
> den Buchstaben vergessen.
>
> Es müsste so lauten:
>
> [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]3\vec{v1}[/mm] - [mm]\vec{v2}[/mm]
>
> und [mm]\vec{v1}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm]
> und [mm]\vec{v2}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 1}[/mm]
>
> deswegen dachte ich um [mm]\vec{x}[/mm] zu berechnen macht man das
> so:
>
> [mm]\vec{x}[/mm] = 3* [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm] - [mm]\vektor{1 \\ 1}[/mm]
> [mm]\vex{x}[/mm] =
> [mm]\vektor{3 \\ 0}[/mm] - [mm]\vektor{1 \\ 1}[/mm]
> [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ -1}[/mm]
>
> Und das wäre dann der Vektor den ich mit der
> Transformationsmatrix T multiplizieren muss?
Hallo,
ich hab' das schon genau richtig verstanden.
Du mußt die Matrix nicht mit [mm] \vektor{2 \\ -1} [/mm] multiplizieren.
[mm] \vektor{2 \\ -1} [/mm] ist der Koordinatenvektor von x bzgl der Standardbasis.
Aber Deine Matrix wandelt Koordinatenvektoren bzgl B in solche bzgl. B' um.
Es ist [mm] \vektor{2 \\ -1}=\vektor{3\\-1}_{(B)}= 3v_1 [/mm] + [mm] (-1)*v_2, [/mm] gesucht ist nun vektor{2 [mm] \\ -1}=\vektor{3\\-1}_{(B)}= \vektor{???\\???}_{(B')},
[/mm]
und wie der lautet, bekommst Du heraus, indem Du [mm] \vektor{3\\-1} [/mm] mit der Matrix multiplizierst, die die Tansformation von B nach B' vornimmt.
Da das Ganze im [mm] \IR^2 [/mm] spielt, kannst Du es ja aufzeichnen.
Erstmal ein nomales Koordinatensystem (also Standardbasis), den Vektor x=vektor{2 [mm] \\ [/mm] -1} eintragen.
Dann in einer anderen Farbe das Koordinatensystem, welches Du durch B erhältst. Der Vektor x bleibt unverändert, aber natürlich sind seine Koordinaten i neune System andere.
Nun kommst das dritte System ins Spiel, das von B' bestimmt wird. Natürlich hat der nach wie vor unveränderte Vektor x hier wieder andere Koordinaten.
Gruß v.Angela
>
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> Ups stimmt, da hab ich mich verrechnet.
> Habe jetzt
>
> x= [mm]\vektor{3 \\ 0}[/mm]
Hallo,
vielleicht rechnest Du mal ausführlich Deine Mutliplikation vor. "Zeile * Spalte", das ist Dir klar?
Gruß v. Angela
>
> herausbekommen.
> Hoffe das stimmt diesmal ^^
>
> Ok jetzt habe ich das auch mit [mm]\vektor{3 \\ -1}verstanden.[/mm]
>
> Vielen Dank, warst mir ne große Hilfe
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:49 Mi 21.01.2009 | | Autor: | ownshake |
Achso Zeile mal Spalte, hab das anders gedacht:
Rechenschritte:
( [mm] \bruch{2}{3} [/mm] * 3 ) + ( [mm] \bruch{1}{3} [/mm] * -1 ) = [mm] \bruch{5}{3}
[/mm]
( [mm] -\bruch{1}{3} [/mm] * 3 ) + ( [mm] \bruch{1}{3} [/mm] * -1 ) = [mm] -\bruch{4}{3}
[/mm]
[mm] \vektor{ \bruch{5}{3} \\ -\bruch{4}{3}}
[/mm]
Stimmt das so?
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> Achso Zeile mal Spalte, hab das anders gedacht:
>
> Rechenschritte:
>
> ( [mm]\bruch{2}{3}[/mm] * 3 ) + ( [mm]\bruch{1}{3}[/mm] * -1 ) =
> [mm]\bruch{5}{3}[/mm]
>
> ( [mm]-\bruch{1}{3}[/mm] * 3 ) + ( [mm]\bruch{1}{3}[/mm] * -1 ) =
> [mm]-\bruch{4}{3}[/mm]
>
> [mm]\vektor{ \bruch{5}{3} \\ -\bruch{4}{3}}[/mm]
>
> Stimmt das so?
Ja.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:28 Mi 21.01.2009 | | Autor: | ownshake |
Vielen Dank dann für die ganze Mühe :)
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